四川省成都市高中數(shù)學 第二章 推理與證明 第4課時 反證法同步測試 新人教A版選修2-2.doc
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第4課時 反證法 基礎達標(水平一) 1.若a,b,c不全為0,則只需( ). A.abc≠0 B.a,b,c中至少有一個為0 C.a,b,c中只有一個是0 D.a,b,c中至少有一個不為0 【解析】a,b,c不全為0,即a,b,c中至少有一個不為0. 【答案】D 2.若兩個數(shù)之和為正數(shù),則這兩個數(shù)( ). A.一個是正數(shù),一個是負數(shù) B.都是正數(shù) C.至少有一個是正數(shù) D.都是負數(shù) 【解析】這兩個數(shù)中至少有一個是正數(shù).否則,若這兩個數(shù)都不是正數(shù),則它們的和一定是非正數(shù),這與“兩個數(shù)之和為正數(shù)”相矛盾,故選C. 【答案】C 3.有以下結論: ①已知p3+q3=2,求證p+q≤2,用反證法證明時,可假設p+q≥2; ②已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求證方程x2+ax+b=0的兩根的絕對值都小于1,用反證法證明時可假設方程有一根x1的絕對值大于或等于1,即假設|x1|≥1. 下列說法中正確的是( ). A.①與②的假設都錯誤 B.①與②的假設都正確 C.①的假設正確;②的假設錯誤 D.①的假設錯誤;②的假設正確 【解析】用反證法證明問題時,其假設是原命題的否定,故①的假設應為“p+q>2”;②的假設為“兩根的絕對值不都小于1”.故①的假設錯誤,②的假設正確. 【答案】D 4.若a2+b2=c2,則a,b,c( ). A.都是偶數(shù) B.不可能都是偶數(shù) C.都是奇數(shù) D.不可能都是奇數(shù) 【解析】假設a,b,c都是奇數(shù),則a2,b2,c2都是奇數(shù),因此a2+b2為偶數(shù),而c2為奇數(shù),即a2+b2≠c2,這與a2+b2=c2矛盾,所以假設不成立,所以a,b,c不可能都是奇數(shù). 【答案】D 5.用反證法證明命題“若x2-(a+b)x+ab≠0,則x≠a且x≠b”時,應假設 . 【解析】“x≠a且x≠b”形式的否定為“x=a或x=b”. 【答案】x=a或x=b 6.用反證法證明“一個三角形不能有兩個直角”有三個步驟: ①∠A+∠B+∠C=90+90+∠C>180,這與三角形內角和為180矛盾,故假設錯誤; ②所以一個三角形不能有兩個直角; ③假設△ABC中有兩個直角,不妨設∠A=90,∠B=90. 上述步驟的正確順序為 . 【解析】由反證法證明的步驟,知先反證,即③;再推出矛盾,即①;最后做出判斷,肯定結論,即②.所以正確的順序應為③①②. 【答案】③①② 7.過平面α內的一點A作直線a,使得a⊥α,求證:直線a是唯一的. 【解析】假設直線a不唯一,則過點A至少還有一條直線b,使得b⊥α. 因為直線a與直線b是兩條相交直線,所以直線a與直線b可以確定一個平面β. 設α和β相交于過點A的直線c, 因為a⊥α,b⊥α,所以a⊥c,b⊥c. 因此,在平面β內,過直線c上的點A就有兩條直線a,b垂直于直線c,這與“平面內過直線上一點只能作一條該直線的垂線”矛盾,所以假設不成立, 故直線a是唯一的. 拓展提升(水平二) 8.設a,b,c為正實數(shù),P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,則“PQR>0”是“P,Q,R同時大于零”的( ). A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【解析】若P>0,Q>0,R>0,則必有PQR>0;反之,若PQR>0,也必有P>0,Q>0,R>0.因為當PQR>0時,若P,Q,R不同時大于零,則P,Q,R中必有兩個負數(shù),一個正數(shù).不妨設P<0,Q<0,R>0,即a+b
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