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第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第11講 第1課時
A組 基礎關
1.已知m是實數(shù)，函數(shù)f(x)＝x2(x－m)，若f′(－1)＝－1，則函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間是( )
A.
B.
C.，(0，＋∞)
D.∪(0，＋∞)
答案 C
解析 因為f(x)＝x2(x－m)＝x3－mx2，所以f′(x)＝3x2－2mx，又因為f′(－1)＝－1，所以3(－1)2－2m(－1)＝－1，解得m＝－2，所以f′(x)＝3x2＋4x＝x(3x＋4)，由f′(x)>0得x<－或x>0，所以函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間是，(0，＋∞).
2.若冪函數(shù)f(x)的圖象過點，則函數(shù)g(x)＝exf(x)的單調遞減區(qū)間為( )
A.(－∞，0) B．(－∞，－2)
C.(－2，－1) D．(－2,0)
答案 D
解析 設f(x)＝xα，由題意得＝α，
所以α＝2，所以g(x)＝exf(x)＝exx2，
所以g′(x)＝ex2x＋exx2＝xex(x＋2)．
由g′(x)<0得－2
0時，由導函數(shù)f′(x)＝ax2＋bx＋c的圖象可知，導函數(shù)在區(qū)間(0，x1)內的值是大于0的，則在此區(qū)間內函數(shù)f(x)單調遞增．只有D項符合題意.
4.已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax，則“a>0”是“f(x)在R上單調遞增”的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
答案 A
解析 當a≥0時，f′(x)＝3x2＋a≥0，f(x)在R上單調遞增，“a>0”是“f(x)在R上單調遞增”的充分不必要條件．故選A.
5.函數(shù)f(x)＝－(af(b)
D.f(a)，f(b)大小關系不能確定
答案 C
解析 因為f′(x)＝－＝，當x<1時有f′(x)<0，故f(x)在x<1時為減函數(shù)，從而有f(a)>f(b).
6.(2016全國卷Ⅰ)若函數(shù)f(x)＝x－sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)單調遞增，則a的取值范圍是( )
A.[－1,1] B.
C. D.
答案 C
解析 解法一：f′(x)＝1－cos2x＋acosx＝1－(2cos2x－1)＋acosx＝－cos2x＋acosx＋，f(x)在R上單調遞增，則f′(x)≥0在R上恒成立，令cosx＝t，t∈[－1,1]，則－t2＋at＋≥0在[－1,1]上恒成立，即4t2－3at－5≤0在[－1,1]上恒成立，
令g(t)＝4t2－3at－5，則
解得－≤a≤，故選C.
解法二：取a＝－1，則f(x)＝x－sin2x－sinx，f′(x)＝1－cos2x－cosx，但f′(0)＝1－－1＝－<0，不具備在(－∞，＋∞)單調遞增的條件，故排除A，B，D.故選C.
7.設f(x)，g(x)均是定義在R上的奇函數(shù)，當x<0，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且f(－2)＝0，則不等式f(x)g(x)<0的解集是( )
A.(－2,0)∪(2，＋∞) B．(－2,2)
C.(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(0,2)
答案 C
解析 令F(x)＝f(x)g(x)，則F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，∵當x<0時，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，∴函數(shù)F(x)＝f(x)g(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)，
∵f(x)，g(x)均為奇函數(shù)，∴F(－x)＝f(－x)g(－x)＝f(x)g(x)＝F(x)，即得函數(shù)F(x)＝f(x)g(x)為偶函數(shù)，又f(－2)＝0，可得f(2)＝0，即F(2)＝f(2)g(2)＝0，結合上述條件可作出函數(shù)F(x)＝f(x)g(x)的草圖，由圖可得f(x)g(x)<0的解集為(－∞，－2)∪(2，＋∞)，故選C.
8.函數(shù)f(x)＝1＋x＋cosx在上的單調遞增區(qū)間是________．
答案
解析 f′(x)＝－sinx.
由解得00，解得a>－3，
所以實數(shù)a的取值范圍是(－3,0)∪(0，＋∞).
B組 能力關
1.對于R上可導的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x－1)f′(x)≥0，則必有( )
A.f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1)
C.f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)>2f(1)
答案 C
解析 由題意知(x－1)f′(x)≥0，所以或函數(shù)y＝f(x)在(－∞，1)上單調遞減，f(0)>f(1)；在[1，＋∞)上單調遞增，f(2)>f(1)，所以f(0)＋f(2)>2f(1)；若函數(shù)y＝f(x)為常數(shù)函數(shù)，則f(0)＋f(2)＝2f(1)．故選C.
2.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x)＋f′(x)>1，f(0)＝4，則不等式exf(x)>ex＋3(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為( )
A.(0，＋∞) B．(－∞，0)∪(3，＋∞)
C.(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(3，＋∞)
答案 A
解析 設g(x)＝exf(x)－ex(x∈R)，
則g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex
＝ex[f(x)＋f′(x)－1]，
因為f(x)＋f′(x)>1，
所以f(x)＋f′(x)－1>0，所以g′(x)>0，
所以g(x)＝exf(x)－ex在定義域上單調遞增，
因為exf(x)>ex＋3，所以g(x)>3，
又因為g(0)＝e0f(0)－e0＝4－1＝3，
所以g(x)>g(0)，所以x>0.
3.(2018張掖一診)若函數(shù)f(x)＝－x2＋x＋1在區(qū)間上單調遞減，則實數(shù)a的取值范圍是________．
答案
解析 f′(x)＝x2－ax＋1，∵函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調遞減，∴f′(x)≤0在區(qū)間上恒成立，
∴即解得a≥，
∴實數(shù)a的取值范圍為.
4.已知函數(shù)f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋2ln x．
(1)若曲線y＝f(x)在x＝1和x＝3處的切線互相平行，求a的值；
(2)求f(x)的單調區(qū)間．
解 f′(x)＝ax－(2a＋1)＋.
(1)因為曲線y＝f(x)在x＝1和x＝3處的切線互相平行，所以f′(1)＝f′(3)，即a－(2a＋1)＋2＝3a－(2a＋1)＋，解得a＝.
(2)f′(x)＝ax－(2a＋1)＋＝
＝，
若a≤0，當x∈(0,2)時，f′(x)>0；當x∈(2，＋∞)時，f′(x)<0.
所以f(x)在(0,2)上單調遞增，在(2，＋∞)上單調遞減．
若00；
當x∈時，f′(x)<0.
所以f(x)在(0,2)，上單調遞增，在上單調遞減．
若a>，當x∈或x∈(2，＋∞)時，f′(x)>0；當x∈時，f′(x)<0.
所以f(x)在，(2，＋∞)上單調遞增，在上單調遞減；
若a＝，當x∈(0，＋∞)時，f′(x)≥0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調遞增.
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