2019高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.3 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 新人教B版選修2-2.doc

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2.3　數(shù)學(xué)歸納法 1．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單命題． 2．理解數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟的作用，進(jìn)一步規(guī)范書寫的語(yǔ)言結(jié)構(gòu)． 數(shù)學(xué)歸納法 一個(gè)與自然數(shù)相關(guān)的命題，如果(1)當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立；(2)在假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，且k≥n0)時(shí)命題成立的前提下，推出當(dāng)n＝______時(shí)命題也成立，那么可以斷定，這個(gè)命題對(duì)n取第一個(gè)值后面的所有正整數(shù)成立． 數(shù)學(xué)歸納法是專門證明與自然數(shù)集有關(guān)的命題的一種方法，它是一種完全歸納法，是對(duì)不完全歸納法的完善．證明分兩步，其中第一步是命題成立的基礎(chǔ)，稱為“歸納奠基”；第二步解決的是延續(xù)性問(wèn)題，又稱“歸納遞推”．運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)命題時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： (1)兩個(gè)步驟缺一不可； (2)在第一步中，n的初始值不一定從1取起，也不一定只取一個(gè)數(shù)(有時(shí)需取n＝n0，n0＋1等)，證明應(yīng)視具體情況而定； (3)第二步中，證明n＝k＋1時(shí)命題成立，必須使用歸納假設(shè)，否則就會(huì)打破數(shù)學(xué)歸納法步驟間的嚴(yán)密邏輯關(guān)系，造成推理無(wú)效； (4)證明n＝k＋1時(shí)命題成立，要明確求證的目標(biāo)形式，一般要湊出歸納假設(shè)里給出的形式，以便使用歸納假設(shè)，然后再去湊出當(dāng)n＝k＋1時(shí)的結(jié)論，這樣就能有效減少論證的盲目性． 【做一做】對(duì)于不等式＜n＋1(n∈N＋)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過(guò)程如下： (1)當(dāng)n＝1時(shí)，＜1＋1，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋)時(shí)，不等式成立，即＜k＋1， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ＝＜＝(k＋1)＋1， ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立． 上述證法(　　)． A．過(guò)程全部正確 B．n＝1時(shí)驗(yàn)證不正確 C．歸納假設(shè)不正確 D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確 1．利用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)有哪些注意事項(xiàng)？ 剖析：(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)命題的關(guān)鍵在第二步，即n＝k＋1時(shí)命題為什么成立？n＝k＋1時(shí)命題成立是利用假設(shè)n＝k時(shí)命題成立，根據(jù)有關(guān)的定理、定義、公式、性質(zhì)等數(shù)學(xué)結(jié)論推證出來(lái)的，而不是直接代入，否則n＝k＋1時(shí)命題成立也成假設(shè)了，命題并沒(méi)有得到證明． (2)用數(shù)學(xué)歸納法可證明有關(guān)的正整數(shù)問(wèn)題，但并不是所有的正整數(shù)問(wèn)題都能用數(shù)學(xué)歸納法證明，學(xué)習(xí)時(shí)要具體問(wèn)題具體分析． 2．運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)易犯的錯(cuò)誤有哪些？ 剖析：(1)對(duì)項(xiàng)數(shù)估算的錯(cuò)誤，特別是尋找n＝k與n＝k＋1的關(guān)系時(shí)，項(xiàng)數(shù)發(fā)生什么變化被弄錯(cuò)． (2)沒(méi)有利用歸納假設(shè)：歸納假設(shè)是必須要用的．假設(shè)是起橋梁作用的，橋梁斷了就通不過(guò)去了． (3)關(guān)鍵步驟含糊不清，“假設(shè)n＝k時(shí)結(jié)論成立，利用此假設(shè)證明n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立”是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵一步，也是證明問(wèn)題中最重要的環(huán)節(jié)，對(duì)推導(dǎo)的過(guò)程要把步驟寫完整，注意證明過(guò)程的嚴(yán)謹(jǐn)性、規(guī)范性． 題型一 用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式 【例題1】用數(shù)學(xué)歸納法證明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋. 分析：左邊式子的特點(diǎn)為：各項(xiàng)分母依次為1,2，3，…，2n，右邊式子的特點(diǎn)為：分母由n＋1開始，依次增大1，一直到2n，共n項(xiàng)． 反思：理解等式的特點(diǎn)：在等式左邊，當(dāng)n取一個(gè)值時(shí)，對(duì)應(yīng)兩項(xiàng)，即－；在等式右邊，當(dāng)n取一個(gè)值時(shí)，對(duì)應(yīng)一項(xiàng)．無(wú)論n取何值，應(yīng)保證等式左邊有2n項(xiàng)，而等式右邊有n項(xiàng)，然后再按數(shù)學(xué)歸納法的步驟要求給出證明． 題型二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 【例題2】已知a＞0，b＞0，n＞1，n∈N＋，用數(shù)學(xué)歸納法證明：≥n. 反思：應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，往往通過(guò)拼湊項(xiàng)或拆項(xiàng)用上歸納假設(shè)，再應(yīng)用放縮法或其他證明不等式的方法證得n＝k＋1時(shí)命題成立． 題型三 歸納——猜想——證明 【例題3】某數(shù)列的第一項(xiàng)為1，并且對(duì)所有的自然數(shù)n≥2，數(shù)列的前n項(xiàng)之積為n2. (1)寫出這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)； (2)寫出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式并加以證明． 分析：根據(jù)數(shù)列前五項(xiàng)寫出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，要注意觀察數(shù)列中各項(xiàng)與其序號(hào)變化的關(guān)系，歸納出構(gòu)成數(shù)列的規(guī)律．同時(shí)還要特別注意第一項(xiàng)與其他各項(xiàng)的差異，必要時(shí)可分段表示．證明這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式可用數(shù)學(xué)歸納法． 反思：先計(jì)算出一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)，用不完全歸納法猜想得到通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法給予證明，這是解數(shù)列問(wèn)題的常見(jiàn)思路． 題型四 易錯(cuò)辨析 易錯(cuò)點(diǎn)：在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)兩步缺一不可，且在證明由n＝k到n＝k＋1命題成立時(shí)必須用上歸納假設(shè)，否則證明過(guò)程就是錯(cuò)誤的． 【例題4】用數(shù)學(xué)歸納法證明： ＋＋＋…＋＝. 錯(cuò)證：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝，右邊＝＝，等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)等式成立，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，直接使用裂項(xiàng)相減法求得 ＋＋＋…＋＋ ＝ ＝＝，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式成立． 由(1)和(2)，可知等式對(duì)一切n∈N＋都成立． 1用數(shù)學(xué)歸納法證明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n－1)(n∈N＋)，從“n＝k到n＝k＋1”左端需增乘的代數(shù)式為(　　)． A．2k＋1 B．2(2k＋1) C． D． 2平面內(nèi)原有k條直線，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)記為f(k)，則增加一條直線后，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為(　　)． A．f(k)＋k B．f(k)＋1 C．f(k)＋k＋1 D．kf(k) 3利用數(shù)學(xué)歸納法證明＋＋＋…＋＜1(n∈N＋，且n≥2)時(shí)，第二步由n＝k到n＝k＋1時(shí)不等式左端的變化是(　　)． A．增加了這一項(xiàng) B．增加了和兩項(xiàng) C．增加了和兩項(xiàng)，同時(shí)減少了這一項(xiàng) D．以上都不對(duì) 4用數(shù)學(xué)歸納法證明“若f(n)＝1＋＋＋…＋，則n＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝nf(n)(n∈N＋，且n≥2)”時(shí)，第一步要證的式子是___________________________________． 5在數(shù)列{an}中，a1＝1，且Sn，Sn＋1,2S1成等差數(shù)列，則S2，S3，S4分別為________，由此猜想Sn＝________. 答案： 基礎(chǔ)知識(shí)梳理 k＋1 【做一做】D　因?yàn)閺膎＝k到n＝k＋1的證明過(guò)程中沒(méi)有用到歸納假設(shè)，故從n＝k到n＝k＋1的推理不正確． 典型例題領(lǐng)悟 【例題1】證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1－＝＝＝右邊， ∴等式成立． (2)假設(shè)n＝k時(shí)等式成立，即 1－＋－＋…＋－ ＝＋＋…＋. 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 左邊＝1－＋－＋…＋－＋－ ＝＋－ ＝＋ ＝＋…＋＋＋＝右邊． ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立． 由(1)和(2)，知等式對(duì)任意nN＋都成立． 【例題2】證明：(1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝，右邊＝()2，左邊－右邊＝2≥0，不等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(kN＋，k＞1)時(shí)，不等式成立，即≥k，因?yàn)閍＞0，b＞0，k＞1，kN＋，所以(ak＋1＋bk＋1)－(akb＋abk)＝(a－b)(ak－bk)≥0，于是ak＋1＋bk＋1≥akb＋abk. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，k＋1＝k≤＝≤＝，∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立． 由(1)和(2)，知對(duì)于a＞0，b＞0，n＞1，nN＋，不等式≥n恒成立． 【例題3】解：(1)已知a1＝1，由題意，得a1a2＝22， ∴a2＝22. ∵a1a2a3＝32，∴a3＝. 同理，可得a4＝，a5＝. 因此該數(shù)列的前五項(xiàng)為1,4，，，. (2)觀察這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)，猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)為 an＝ 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n≥2時(shí)，an＝. ①當(dāng)n＝2時(shí)，a2＝＝22，等式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2)時(shí)，結(jié)論成立，即ak＝. ∵a1a2…ak－1＝(k－1)2， a1a2…ak－1akak＋1＝(k＋1)2， ∴ak＋1＝＝＝＝. ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也成立． 根據(jù)①和②，可知當(dāng)n≥2時(shí)，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是an＝. ∴an＝ 【例題4】錯(cuò)因分析：由n＝k到n＝k＋1時(shí)等式的證明沒(méi)有用歸納假設(shè)，是典型的套用數(shù)學(xué)歸納法的一種偽證． 正確證法：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝＝，右邊＝，等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)， ＋＋＋…＋＝成立． 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ＋＋＋…＋＋ ＝＋＝＝ ＝＝， ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式成立． 由(1)和(2)，可得對(duì)一切nN＋等式都成立． 隨堂練習(xí)鞏固 1．B　n＝k時(shí)，左邊＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)，而n＝k＋1時(shí)， 左邊＝[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]…[(k＋1)＋(k－1)][(k＋1)＋k][(k＋1)＋(k＋1)] ＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2) ＝2(k＋1)(k＋2)…(k＋k)(2k＋1)． 2．A　第k＋1條直線與原來(lái)k條直線相交，最多有k個(gè)交點(diǎn)． 3．C　不等式左端共有n＋1項(xiàng)，且分母是首項(xiàng)為n，公差為1，末項(xiàng)為2n的等差數(shù)列，當(dāng)n＝k時(shí)，左端為＋＋＋…＋；當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端為＋＋＋…＋＋＋，對(duì)比兩式，可得結(jié)論． 4．2＋f(1)＝2f(2)　起點(diǎn)n0＝2，觀察等式左邊最后一項(xiàng)，將n＝2代入即可． 5．，，　　由題意，得2Sn＋1＝Sn＋2S1，且S1＝a1＝1，令式子中的n分別取1,2,3，可得S2＝，S3＝，S4＝，從而猜想Sn＝.