2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 第1講 空間幾何體的表面積和體積（文）學(xué)案.docx

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第1講空間幾何體的表面積和體積 考向預(yù)測 1．三視圖的識別和簡單應(yīng)用； 2．簡單幾何體的表面積與體積計算． 1．空間幾何體的三視圖 (1)幾何體的擺放位置不同，其三視圖也不同，需要注意長對正、高平齊、寬相等． (2)由三視圖還原幾何體：一般先從俯視圖確定底面，再利用正視圖與側(cè)視圖確定幾何體． 2．空間幾何體的兩組常用公式 (1)正柱體、正錐體、正臺體的側(cè)面積公式： ①S柱側(cè)＝ch(c為底面周長，h為高)； ②S錐側(cè)＝ch′(c為底面周長，h′為斜高/母線)； ③S臺側(cè)＝(c＋c′)h′(c′，c分別為上下底面的周長，h′為斜高/母線)； ④S球表＝4πR2(R為球的半徑)． (2)柱體、錐體和球的體積公式： ①V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)； ②V錐體＝Sh(S為底面面積，h為高)； ③V球＝πR3． 熱點(diǎn)一　空間幾何體的三視圖與直觀圖 【例1】　(1) (2018張家口期中)如圖所示，在正方體中，為的中點(diǎn)，則圖中陰影部分在平面上的正投影是（　?。? A． B． C． D． (2)(2017泰安模擬)某三棱錐的三視圖如圖所示，其側(cè)視圖為直角三角形，則該三棱錐最長的棱長等于(　　) A．4 B． C． D．5 解析　(1)由題意，點(diǎn)在平面上的投影是的中點(diǎn)， 、在平面上的投影是它本身，所以在平面上的正投影是C中陰影部分， 故選C. (2)根據(jù)幾何體的三視圖，知該幾何體是底面為直角三角形，兩側(cè)面垂直于底面，高為5的三棱錐P－ABC(如圖所示)． 棱錐最長的棱長PA＝＝． 答案　(1)C　(2)C 探究提高　1．由直觀圖確定三視圖，一要根據(jù)三視圖的含義及畫法和擺放規(guī)則確認(rèn)．二要熟悉常見幾何體的三視圖． 2．由三視圖還原到直觀圖的思路 (1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面． (2)根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對應(yīng)的棱、面的位置． (3)確定幾何體的直觀圖形狀． 【訓(xùn)練1】 (1)(2017蘭州模擬)如圖，在底面邊長為1，高為2的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P是平面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，則三棱錐P－BCD的正視圖與側(cè)視圖的面積之和為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)(2016天津卷)將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為(　　) 解析　(1)設(shè)點(diǎn)P在平面A1ADD1的射影為P′，在平面C1CDD1的射影為P″，如圖所示． ∴三棱錐P－BCD的正視圖與側(cè)視圖分別為△P′AD與△P″CD， 因此所求面積S＝S△P′AD＋S△P″CD＝12＋12＝2． (2)由幾何體的正視圖和俯視圖可知該幾何體的直觀圖如圖①，故其側(cè)視圖為圖②． 答案　(1)B　(2)B 熱點(diǎn)二　幾何體的表面積與體積 【例2】　(1)(2018上饒期末)如圖所示為一個幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（　?。? A． B． C． D． (2)(2017山東卷)由一個長方體和兩個圓柱構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為________． 解析　(1)根據(jù)三視圖可得該幾何體是有一個圓柱挖去兩個圓柱所得，作出幾何體的直觀圖（如圖）， 則該幾何體的表面積為．故選C． (2)該幾何體由一個長、寬、高分別為2，1，1的長方體和兩個半徑為1，高為1的圓柱體構(gòu)成，所以V＝211＋2π121＝2＋． 答案　(1)C　(2)2＋． 探究提高　1．由幾何體的三視圖求其表面積：(1)關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及度量大?。?2)還原幾何體的直觀圖，套用相應(yīng)的面積公式． 2．(1)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理． (2)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用． 3．求不規(guī)則幾何體的體積：常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解． 【訓(xùn)練2】 (1) (2017棗莊模擬)如圖，某三棱錐的三視圖是三個邊長相等的正方形及對角線，若該三棱錐的體積是，則它的表面積是________． (2)(2016山東卷)一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示．則該幾何體的體積為(　　) A．＋π B．＋π C．＋π D．1＋π 解析　(1)由題設(shè)及幾何體的三視圖知，該幾何體是一個正方體截去4個三棱錐后剩余的內(nèi)接正三棱錐B－A1C1D(如圖所示)． 設(shè)正方體的棱長為a，則幾何體的體積是V＝a3－4a2a＝a3＝， ∴a＝1，∴三棱錐的棱長為， 因此該三棱錐的表面積為S＝4()2＝2． (2)由三視圖知該四棱錐是底面邊長為1，高為1的正四棱錐，結(jié)合三視圖可得半球半徑為，從而該幾何體的體積為121＋π＝＋π． 答案　(1)2;(2) C． 熱點(diǎn)三　多面體與球的切、接問題 【例3】　(2019廣東一模)《九章算術(shù)》中將底面為長方形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”.現(xiàn)有一陽馬，其正視圖和側(cè)視圖是如圖所示的直角三角形．若該陽馬的頂點(diǎn)都在同一個球面上，則該球的體積為（） A． B． C． D． 解析　 如圖所示，該幾何體為四棱錐，底面為長方形. 其中底面，，，. 易知該幾何體與變成為的長方體有相同的外接球， 則該陽馬的外接球的直徑為.球體積為：. 答案A. 探究提高　1．與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題． 2．若球面上四點(diǎn)P，A，B，C，PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長方體或正方體確定直徑解決外接問題． 【訓(xùn)練3】(2017濟(jì)南一中月考)已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90，C為該球面上的動點(diǎn)．若三棱錐O－ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為(　　) A．36π B．64π C．144π D．256π 解析　因?yàn)椤鰽OB的面積為定值，所以當(dāng)OC垂直于平面AOB時，三棱錐O－ABC的體積取得最大值．由R2R＝36，得R＝6．從而球O的表面積S＝4πR2＝144π． 答案　C  1．(2018全國I卷)已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為（） A． B． C． D． 2．(2018全國I卷)已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為 A． B． C． D． 3．(2018全國III卷)設(shè)是同一個半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為（） A． B． C． D． 4．(2018全國II卷)已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45，若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為__________． 1．(2018全國III卷)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是（） A． B． C． D． 2．(2017浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(　　) A．＋1 B．＋3 C．＋1 D．＋3 3．(2016四川卷)已知三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是________． 4．(2017江蘇卷)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是________． 5．(2015全國Ⅱ卷)如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4．過點(diǎn)E，F(xiàn)的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形． (1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由)； (2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值． 1．(2018鄭州質(zhì)檢)如圖，某幾何體的正視圖和俯視圖都是矩形，側(cè)視圖是平行四邊形，則該幾何體的表面積為(　　) A． B． C． D． 2．(2017衡陽聯(lián)考)如圖所示，某空間幾何體的正視圖與側(cè)視圖相同，則此幾何體的表面積為(　　) A．6π B．π＋ C．4π D．2π＋ 3．(2017衡水中學(xué)調(diào)研)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為(　　) A．π B．π C．4π D． 4．體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為________． 5．(2017沈陽質(zhì)檢)在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝AB＝BC＝2，且點(diǎn)O為AC中點(diǎn)． (1)證明：A1O⊥平面ABC； (2)求三棱錐C1－ABC的體積． 參考答案 1．【解題思路】首先利用正方體的棱是3組每組有互相平行的4條棱，所以與12條棱所成角相等，只需與從同一個頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱所成角相等即可，從而判斷出面的位置，截正方體所得的截面為一個正六邊形，且邊長是面的對角線的一半，應(yīng)用面積公式求得結(jié)果. 【答案】　根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的， 所以在正方體中，平面與線所成的角是相等的， 所以平面與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的， 同理平面也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等， 要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個面與中間的， 且過棱的中點(diǎn)的正六邊形，且邊長為，所以其面積為，故選A. 點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)平面被正方體所截得的截面多邊形的面積問題，首要任務(wù)是需要先確定截面的位置，之后需要從題的條件中找尋相關(guān)的字眼，從而得到其為過六條棱的中點(diǎn)的正六邊形，利用六邊形的面積的求法，應(yīng)用相關(guān)的公式求得結(jié)果. 2．【解題思路】首先根據(jù)正方形的面積求得正方形的邊長，從而進(jìn)一步確定圓柱的底面圓半徑與圓柱的高，從而利用相關(guān)公式求得圓柱的表面積. 【答案】根據(jù)題意，可得截面是邊長為的正方形， 結(jié)合圓柱的特征，可知該圓柱的底面為半徑是的圓，且高為， 所以其表面積為，故選B. 點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)圓柱的表面積的求解問題，在解題的過程中，需要利用題的條件確定圓柱的相關(guān)量，即圓柱的底面圓的半徑以及圓柱的高，在求圓柱的表面積的時候，一定要注意是兩個底面圓與側(cè)面積的和. 3．【解題思路】作圖，為與球的交點(diǎn)，點(diǎn)為三角形的重心，判斷出當(dāng)平面時，三棱錐體積最大，然后進(jìn)行計算可得； 【答案】如圖所示， 點(diǎn)為三角形的重心，為中點(diǎn)， 當(dāng)平面時，三棱錐體積最大，此時，， ∵，∴， ∵點(diǎn)為三角形的重心，∴， ∴中，有，∴， ∴．故選B． 4．【解題思路】先根據(jù)三角形面積公式求出母線長，再根據(jù)母線與底面所成角得底面半徑，最后根據(jù)圓錐側(cè)面積公式求結(jié)果. 【答案】因?yàn)槟妇€，所成角的余弦值為，所以母線，所成角的正弦值為，因?yàn)榈拿娣e為，設(shè)母線長為，所以，∴， 因?yàn)榕c圓錐底面所成角為，所以底面半徑為， 因此圓錐的側(cè)面積為. 點(diǎn)睛：本題考查線面角，圓錐的側(cè)面積，三角形面積等知識點(diǎn)，考查學(xué)生空間想象與運(yùn)算能力 1．【解題思路】觀察圖形可得． 【答案】：觀擦圖形圖可知，俯視圖為，故答案為A. 2．【解題思路】該幾何體為半個圓錐和一個三棱錐的組合體，分別求其體積即可． 【答案】　由三視圖可知該幾何體為半個圓錐和一個三棱錐的組合體，半圓錐的底面半徑為1，高為3，三棱錐的底面積為21＝1，高為3．故該幾何體體積為：V＝π123＋13＝＋1．故選A． 3．【解題思路】由正視圖的底邊長和腰長為2的等腰三角形確定俯視圖形狀． 【答案】　由題可知，∵三棱錐每個面都是腰為2的等腰三角形， 由正視圖可得如右俯視圖，且三棱錐高為h＝1， 則體積V＝Sh＝1＝．故填． 4．【解題思路】由圖確定球的半徑與圓柱高和底面半徑之間的關(guān)系，進(jìn)而求其體積之比． 【答案】　設(shè)球半徑為R，則圓柱底面圓半徑為R，母線長為2R． 又V1＝πR22R＝2πR3，V2＝πR3，所以＝＝．故填． 5．【解題思路】(1)過EF往下作截面；(2)由正方形的邊長關(guān)系確定底面的交點(diǎn)在棱上的位置，進(jìn)而求棱柱的體積． 【答案】解　(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示． (2)如圖，作EM⊥AB，垂足為M，則AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8． 因?yàn)樗倪呅蜤HGF為正方形，所以EH＝EF＝BC＝10． 于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6． 故，． 因?yàn)殚L方體被平面α分成兩個高為10的直棱柱， 所以其體積的比值為． 1．【解題思路】由三視圖知原圖是一個底面為邊長為3的正方形，高為的斜四棱柱， 【答案】.． 2．【解題思路】該幾何體由一個圓錐和一個半球組合而成． 【答案】　此幾何體為一個組合體，上為一個圓錐，下為一個半球組合而成．表面積為S＝＋22π＝4π．故選C． 3．【解題思路】該幾何體是一個四棱錐，球心在底面中心的正上方，確定球心的位置． 【答案】　由三視圖知該幾何體為四棱錐，側(cè)面PBC為側(cè)視圖，PE⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是對應(yīng)邊的中點(diǎn)，底面ABCD是邊長是2的正方形，如圖所示． 設(shè)外接球的球心到平面ABCD的距離為h， 則h2＋2＝12＋(2－h(huán))2，∴h＝，R2＝． ∴幾何體的外接球的表面積S＝4πR2＝π．故選B． 4．【解題思路】正方體的體對角線即為其外接球的直徑． 【答案】　設(shè)正方體的棱長為a，則a3＝8，解得a＝2．設(shè)球的半徑為R，則2R＝a，即R＝．所以球的表面積S＝4πR2＝12π．故填12π． 5．【解題思路】(1)面面垂直的性質(zhì)定理；(2)頂點(diǎn)轉(zhuǎn)換法，以A1為頂點(diǎn)． 【答案】(1)證明　因?yàn)锳A1＝A1C，且O為AC的中點(diǎn)， 所以A1O⊥AC，又平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC， 且A1O?平面AA1C1C，∴A1O⊥平面ABC． (2)解　∵A1C1∥AC，A1C1?平面ABC，AC?平面ABC， ∴A1C1∥平面ABC，即C1到平面ABC的距離等于A1到平面ABC的距離． 由(1)知A1O⊥平面ABC且A1O＝， ∴．