九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 專題突破講練 三招判定切線試題 （新版）青島版.doc

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三招判定切線 直線和圓的位置關(guān)系有三種：相離、相切、相交。如何判定直線和圓相切？以下三招可以助你一臂之力！ 第一招：確定直線和圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。 如果直線和圓有唯一的公共點(diǎn)，那么這條線是圓的切線，這個(gè)點(diǎn)是切點(diǎn)。 第二招：比較圓心到直線的距離與半徑的大小。 如果圓心到直線的距離等于圓的半徑，那么這條線是圓的一條切線。 說明： 第三招：利用切線的判定定理 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，如圖： 點(diǎn)A是直線AB與圓O的公共點(diǎn)，如果OA⊥AB，那么直線AB是圓O的一條切線。 說明：該定理必須具備兩個(gè)條件：⑴經(jīng)過半徑的外端；⑵垂直于半徑；兩個(gè)條件缺一不可。 例題1 如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠AOC=30，半徑為1cm的圓P的圓心在射線OA上，開始時(shí)，PO=6cm，如果圓P以1cm/秒的速度沿由A向B的方向移動(dòng)，那么當(dāng)圓P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）滿足什么條件時(shí)，圓P與直線CD相切？ 解析：要想保證圓P與直線CD相切，就要使點(diǎn)P到直線CD的距離等于1cm。符合條件的圓有兩個(gè)，圓心分別在點(diǎn)O的兩側(cè)。 答案：如下圖 （1）當(dāng)圓P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P1時(shí)，可得，又因?yàn)椤螦OC=30，所以 =2cm，所以圓P運(yùn)動(dòng)到圓所用的時(shí)間（秒）； （2）當(dāng)圓P繼續(xù)向B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)P2時(shí)，F(xiàn) P2=1cm同理可得：（秒）。 點(diǎn)撥：根據(jù)圓心到直線的距離可以判定圓和直線的位置關(guān)系：當(dāng)圓心到直線的距離等于半徑，則直線和圓相切；當(dāng)圓心到直線的距離大于半徑，則直線和圓相離；當(dāng)圓心到直線的距離小于半徑，則直線和圓相交。 例題2 已知：如圖，在中，，點(diǎn)在上，以為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓與分別交于點(diǎn)D、E，且。判斷直線與圓O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論。 解析：本題是常見的切線問題，根據(jù)圖形中各個(gè)角的關(guān)系得出∠ODB=90即可。 答案：直線與⊙O相切。證明如下： 如圖，連結(jié)OD?！摺螩=90， ∴∠CDB+∠CBD=90。又∵∠A=∠CBD，∴∠A+∠CDB=90?！逴A=OD，∴∠A=∠ADO?！唷螦DO+∠CDB=90，∴∠ODB=90?！嘀本€BD與⊙O相切。 點(diǎn)撥：若圖形中已給出直線與圓的公共點(diǎn)，但未給出過點(diǎn)的半徑，則可先作出過此點(diǎn)的半徑，再證其與直線垂直。 直線和圓相切中的輔助線 切線的判定定理是比較常用的一個(gè)定理，用該定理證明問題時(shí)，往往用到輔助線。這部分的輔助線主要包括：“作半徑”、“作垂線段”。 滿分訓(xùn)練 如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，以D為圓心，CD為半徑畫圓，判斷⊙D與AB的位置關(guān)系并說明理由。 解析：根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得點(diǎn)D到AC和AB的距離相等，即圓心D到AB的距離等于圓的半徑。 答案：作DF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DF⊥AB，∴DF=DC，即圓心D到AB的距離等于圓的半徑，所以⊙D與AB相切。 點(diǎn)撥：“證半徑”就是計(jì)算圓心到直線距離的過程，“作垂線，證半徑”是解這一類題的另一種常用思路。 （答題時(shí)間：30分鐘） 1. 已知⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，當(dāng)時(shí)，直線l與⊙O的關(guān)系為（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相離 D. 以上都不對(duì) 2. 若∠OAB=30，OA=10cm，則以O(shè)為圓心，6cm為半徑的圓與射線AB的位置關(guān)系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相離 D. 不能確定 3. 在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓必與（ ） A. x軸相交 B. y軸相交 C. x軸相切 D. y軸相離 4. 矩形的兩條鄰邊長(zhǎng)分別為2.5和5，若以較長(zhǎng)一邊為直徑作半圓，則矩形的各邊與半圓相切的線段最多有（ ） A. 0條 B. 1條 C. 2條 D. 3條 5. 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，∠B=30，BC=4 cm，以點(diǎn)C為圓心，以2 cm的長(zhǎng)為半徑作圓，則⊙C與AB的位置關(guān)系是（ ） A. 相離 B. 相切 C. 相交 D. 相切或相交 6. 以等腰三角形頂角的頂點(diǎn)為圓心，頂角平分線為半徑的圓，必與底邊（ ） A. 相離 B. 相交 C. 相切 D. 無法確定 *7. 圓O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，r、d是方程的兩根，則直線l與圓O的位置關(guān)系是 。 8. 如圖，已知45，M為OB邊上一點(diǎn)，以M為圓心、2cm為半徑作，若點(diǎn)M在OB上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)OM= cm時(shí)，圓M與OA相切。 *9. 如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)O在邊AB上，⊙O過點(diǎn)B且分別與邊AB、BC相交于點(diǎn)D、E，EF⊥AC，垂足為F。求證：直線EF是⊙O的切線。 *10. 在同一平面直角坐標(biāo)系中有5個(gè)點(diǎn)：（1，1），（，），（，1），（，），（0，）。 （1）畫出△的外接圓⊙，并指出點(diǎn)與⊙的位置關(guān)系； （2）若直線經(jīng)過點(diǎn)（，），（0，），判斷直線與⊙的位置關(guān)系。 **11. 如圖，△ABC內(nèi)接于半圓，AB是直徑，過A作直線MN，若∠MAC＝∠ABC。 （1）求證：MN是半圓的切線； （2）設(shè)D是弧AC的中點(diǎn)，連結(jié)BD交AC 于G，過D作DE⊥AB于E，交AC于F。 求證：FD＝FG **12. 如圖，AB是圓O的直徑，BCAB于點(diǎn)B，連接OC交⊙O于點(diǎn)E，弦AD//OC，弦DFAB于點(diǎn)G。 （1）求證：點(diǎn)E是的中點(diǎn)；（2）求證：CD是⊙O的切線。 **13. 如圖，以△ABC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心的圓，經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，且與BC邊交于點(diǎn)E，D為BE的下半圓弧的中點(diǎn)，連接AD交BC于F，若AC=FC。 （1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若BF=8，DF=，求⊙O的半徑r。  1. B 解析：根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系的性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)，直線l與⊙O的關(guān)系為相切。 2. A 解析：點(diǎn)O到射線AB的距離為10=5cm，即d＜r，所以圓與射線AB的位置關(guān)系是相交。 3. C 解析：點(diǎn)到x軸的距離為1，正好等于圓的半徑，即該圓必與x軸相切。 4. D 解析：該圓的半徑為2.5，圓心到矩形的另外三邊的距離都為2.5，所以三邊都和圓相切。 5. B 解析：點(diǎn)C到線段AB的距離為2cm，即圓C的半徑，所以⊙C與AB的位置關(guān)系是相切。 6. C 解析：等腰三角形頂角的頂點(diǎn)到底邊的距離為頂角平分線的長(zhǎng)度，正好等于圓的半徑，即底邊與該圓相切。 *7. 相離或相交 解析：解方程的兩根為4和5；當(dāng)r=4，d=5時(shí)，直線l與⊙O的位置關(guān)系是相離，當(dāng)d=4，r=5時(shí)，直線l與⊙O的位置關(guān)系是相交。 8. 2 解析：⊙M與OA相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為D，則OD=MD=2cm，又因?yàn)?5，所以O(shè)M===2。 *9. 證明：連接OE， ∵OB=OE，∴∠B=∠OEB?！逜B=AC，∴∠B=∠C?！唷螼EB=∠C。 ∴OE∥AC?！逧F⊥AC，∴OE⊥EF?！嘀本€EF是⊙O的切線。 *10. 解析：（1）所畫⊙如圖所示。由圖可知，⊙的半徑為。連結(jié)， ∵，∴點(diǎn)在⊙上。 （2）直線與⊙相切。理由如下：連結(jié)。 ∵直線過點(diǎn)（，），（0，），∴，，。 ∴?！唷魇侵苯侨切?，且?！唷? ∴直線與⊙相切。 **11. 證明：（1）∵AB是直徑，∴∠ACB＝90，∴∠CAB+∠ABC＝90。 ∵∠MAC＝∠ABC，∴∠MAC+∠CAB＝90，即MA⊥AB?！郙N是半圓的切線。 （2）∵D是弧AC的中點(diǎn)，∴∠DBC＝∠ABD。∵AB是直徑，∴∠CBG+∠CGB＝90，∵DE⊥AB，∴∠FDG+∠ABD＝90?！摺螪BC＝∠ABD，∴∠FDG＝∠CGB＝∠FGD，∴FD＝FG。 **12. 證明：（1）∵，∴?！?，∴。 （2）連接。 由（1）知，在和中，，。 ∴?！?。 又∵，∴，即是的切線。 **13. 解析：（1）連接OA，OD， 則OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵D為BE的下半圓弧的中點(diǎn)，∴OD⊥BE， ∴∠ODA+∠OFD=90，∴∠OAD+∠OFD=90，∵∠OFD=∠AFC，∴∠OAD+∠AFC =90，∵AC=FC，∴∠FAC=∠AFC，∴∠OAD+∠FAC=90，∴OA⊥AC。 ∴AC是⊙O的切線。 （2）∵⊙O半徑是r。 當(dāng)F在半徑OE上時(shí)，OD=r，OF=8－r， 在Rt△DOF中，r2+（8－r）2=（）2?！啵ㄉ幔? 當(dāng)F在半徑OB上時(shí)，OD=r，OF=r－8， 在Rt△DOF中，，∴，（舍） 即⊙O的半徑r為。