九年級數(shù)學(xué)上冊 專題突破講練 圓的周長和弧長試題 （新版）青島版.doc

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圓的周長和弧長 1. 弧長公式： 圓周長C=2R（其中R為圓的半徑），即為圓心角是360的弧長。因此圓心角是1的弧長等于圓周長的，即，所以n的圓心角所對的弧長為。即在半徑為R的圓中，n的圓心角所對的弧長的計算公式為：l=。 說明：（1）在應(yīng)用公式進行計算時，要注意公式中n的意義：n表示1的圓心角的倍數(shù)。公式中的n、180都不帶單位。（2）同圓中圓心角n越大，弧長越長；相等的圓心角半徑越大，所對的弧長越大，L與n、R兩個因素有關(guān)。 2. 易錯點：扇形的弧長和扇形的周長不一樣，扇形的周長是扇形的弧長與兩個半徑的和。 直接利用公式求弧長 例題1 如圖，AB與⊙O相切于點B，AO的延長線交⊙O于點C，連接BC，若∠ABC=120，OC=3，則的長為（　?。? A. 　　 B. 2　　 C. 3　　 D. 5 解析：連接OB，由于AB是切線，那么∠ABO=90，而∠ABC=120，易求∠OBC，而OB=OC，那么∠OBC=∠OCB，進而求出∠BOC的度數(shù)，在利用弧長公式即可求出的長。 解：連接OB。 ∵AB與⊙O相切于點B，∴∠ABO=90?！摺螦BC=120，∴∠OBC=30。 ∵OB=OC，∴∠OCB=30?！唷螧OC=120?！嗟拈L為，故選B。 答案：B 點撥：利用弧長公式計算弧長時，關(guān)鍵是根據(jù)題意得出圓心角、半徑，而本題解題的關(guān)鍵是連接OB，構(gòu)造直角三角形。 例題2 如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點都在格點上，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60，則頂點A所經(jīng)過的路徑長為（ ） A. 10π B. C. π D. π 解析：由題意得點A所經(jīng)過的路徑是以C為圓心，CA長為半徑，圓心角為60的弧，而要求的頂點A所經(jīng)過的路徑長就是求以C為圓心，CA長為半徑，圓心角為60的弧長，利用弧長公式計算可得。 解：∵在Rt△ACD中，AD=3，DC=1，∴根據(jù)勾股定理得：AC= ， ∵△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60， ∴頂點A所經(jīng)過的路徑長為 l==π。故選C。 答案：C 點撥：求動點所經(jīng)過的路徑長，必須先分析清楚動點所經(jīng)過的路徑是什么。此題中的動點繞一定點在旋轉(zhuǎn)，故動點所經(jīng)過的路徑是以定點為圓心，動點到定點的長度為半徑的一條弧，從而把求長度問題轉(zhuǎn)化為求弧長問題，直接利用弧長公式計算。 弧長公式的逆用 例題3 一條弧所對的圓心角為135、弧長等于半徑為5cm的圓的周長的3倍，則這條弧的半徑為 cm。 解析：已知圓半徑可由圓周長公式得圓周長?；￠L的計算為公式：，已知圓心角為135，故弧長為，由題意列方程可解得弧所在圓的半徑。 解：設(shè)弧所在圓的半徑為rcm，由題意得：，解得r=40， 故這條弧的半徑為40cm。 答案：40 點撥：注意區(qū)別圓周長的計算公式：（）與弧長的計算公式： 弧長公式在滾動問題中的應(yīng)用 在旋轉(zhuǎn)變換中，有時就隱含著弧長的計算，準(zhǔn)確理解弧長公式各個量的含義，是解題的關(guān)鍵。 滿分訓(xùn)練 如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，邊CD在直線l上，將矩形ABCD沿直線l做無滑動翻滾，當(dāng)點A第一次翻滾到點A1位置時，則點A經(jīng)過的路線長為 。 解析：從點A第一次翻滾到點A1位置時，先確定翻轉(zhuǎn)過程中點A每一次轉(zhuǎn)角及旋轉(zhuǎn)半徑大小，再求各弧長，最后求和。 解：如圖，由=5，則==，==2， ==，則點A第一次翻滾到點A1位置時，則點A經(jīng)過的路線長為++==6。 答案：6 點撥：根據(jù)弧長公式l＝可知，確定弧長的關(guān)鍵是弄清圓心角和半徑大小。 弧長公式中包含三個量，已知其中的兩個可以求出第三個。所以利用弧長公式進行計算一般有三種類型：①已知、，代入公式直接求；②已知、，代入公式借助方程求；③已知、，代入公式借助方程求。 （答題時間：45分鐘） 1. 如圖，某廠生產(chǎn)橫截面直徑為7的圓柱形罐頭，需將“蘑菇罐頭”字樣貼在罐頭側(cè)面，為了獲得較佳視覺效果，字樣在罐頭側(cè)面所形成的弧的度數(shù)為90，則“蘑菇罐頭”字樣的長度為（ ） A. B. C. D. 2. （聊城中考）把地球看成一個表面光滑的球體，假設(shè)沿地球赤道繞緊一圈鋼絲，然后把鋼絲加長，使鋼絲圈沿赤道處處高出球面16厘米，那么鋼絲大約需加長（ ） A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米 3. 一個扇形的圓心角為60，它所對的弧長為2πcm，則這個扇形的半徑為（ ） A. 6cm B. 12cm C. 2cm D. cm 4. 已知一個扇形的半徑為60厘米，圓心角為150。用它圍成一個圓錐的側(cè)面，那么圓錐的底面半徑為厘米。 *5. 如圖，⊙O的半徑為6cm，直線AB是⊙O的切線，切點為點B，弦BC∥AO，若∠A＝30，則劣弧的長為 cm。 6. （四川中考）點A、B、C是半徑為15cm的圓上三點，∠BAC=36，則弧BC的長為 ______cm。 *7. 點O在直線AB上，點A1、A2、A3…在射線OA上，點B1、B2、B3…在射線OB上，圖中的每一個實線段和虛線段的長均為1個單位長度。一個動點M從O點出發(fā)，按如圖所示的箭頭方向沿實線段和以O(shè)為圓心的半圓勻速運動，速度為每秒1個單位長度。按此規(guī)律，則動點M到達(dá)A101點處所需時間為 　 。 **8. 如圖，在扇形OAB中，∠AOB=110，半徑OA=18，將扇形OAB沿著過點B的直線折疊，點O恰好落在上的點D處，折痕交OA于點C，則的長為 。 **9. 如圖，已知CB是⊙O的弦，CD是⊙O的直徑，點A為CD延長線上一點，BC=AB，∠CAB=30。（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為2，求的長。 **10. 如圖所示，AC⊥AB，AB=，AC=2，點D是以AB為直徑的半圓O上一動點，DE⊥CD交直線AB于點E，設(shè)∠DAB=，（0＜＜90）。 （1）當(dāng)=18時，求的長。（2）當(dāng)=30時，求線段BE的長。 （3）若要使點E在線段BA的延長線上，則的取值范圍是 （直接寫出答案）。 *11. 如圖，實線部分是半徑為15m的兩條等弧組成的游泳池，若每條弧所在的圓都經(jīng)過另一個圓的圓心，求游泳池的周長。  1. B 解析：∵字樣在罐頭側(cè)面所形成的弧的度數(shù)為90，∴此弧所對的圓心角為90，由題意可得，=cm，則“蘑菇罐頭”字樣的長= 。故選B。 2. A 解析：先設(shè)地球的半徑為r，則赤道的長近似為2πr cm，當(dāng)鋼絲圈沿赤道處處高出球面16厘米時，鋼絲的長度近似為2π（r+16）cm，則鋼絲大約需加長2π（r+16）﹣2πr =32π≈100 cm，故選A。 3. A 解析：根據(jù)弧長公式，πr=2π，解得r=6，故選A。 4. 25 解析：設(shè)圓錐的底面半徑為r，則圓錐的母線長R=60cm，因為圓錐的底面周長等于其側(cè)面展開圖的弧長，所以2πr=，解得r=25cm。 5. 解析：∵AB是⊙O的切線，∴AB⊥BO。 ∵∠A=30，∴∠AOB=60?！連C∥AO，∴∠OBC=∠AOB=60。在等腰△OBC中，∠BOC=180﹣2∠OBC=180﹣260=60?！嗷C的長為cm。 6. 6π 解析：如圖，在⊙O中，∠BAC=36，∴∠BOC=72，∴根據(jù)弧長公式計算弧BC的長為：=6π。 7. （5050 π＋101）s 解析：動點M到達(dá)A1的時間為1s，到達(dá)A2的時間為[]s，到達(dá)A3的時間為[]s，到達(dá)A4的時間為[]s，……，所以到達(dá)A101的時間為[]s=(5050 π＋101)s。 8. 5π 解析：如圖，連接OD。由折疊可得OB=DB=OD，∴△ODB是等邊三角形，從而DOB=60。 ∴∠AOD=∠AOB－∠DOB=50，因此的長為=5π。 9. 解析：（1）∵BC=AB，∴∠C=∠A=30，∴∠BOA=2∠C=60， ∴∠OBA=180－∠A－∠BOA=180－30－60=90，∴AB是⊙O的切線。 ⑵的長=。 10. 解析：（1）連接OD，∵=18，∴∠BOD=36，又∵AB=，∴OB=，∴的長==。 （2）∵AB是半圓O的直徑，∴∠ADB=90，又∵=30，∴∠B=60，又∵AC為半圓O的切線，∴∠CAD=60，∴∠CAD=∠B，又∵DE⊥CD，∴∠ADC+∠ADE=90，又∵∠ADE+∠BDE=90，∴∠BDE=∠ADC，∴△BDE∽△ADC，∴，即，∴BE=。 （3）60＜＜90。 11. 解析：如圖，連接O1O2，O1A，O1B，O2A，O2B， 因為⊙O1和⊙O2是等圓，∴△O1O2A，△O1O2B都是等邊三角形，∴∠AO1B=∠AO2B=120， ∴周長為：22π15=40π，所以游泳池的周長為40πm。