九年級數學上冊 專題突破講練 認識圓的軸對稱性試題 （新版）青島版.doc

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認識圓的軸對稱性 1. 垂徑定理的內容 垂徑定理：垂直于非直徑的弦的直徑，平分弦且平分弦所對的兩段弧。 符號語言：如圖，圓O中，如果直徑CD⊥AB于E， 那么有結論：AE＝BE，＝，＝。 說明： （1）垂徑定理是由圓是軸對稱圖形（直徑所在的直線是對稱軸）得來的。 （2）定理中為什么不能遺忘“不是直徑”這個附加條件？因為若是直徑，由于兩條直徑總是互相平分的，因此不會有垂徑定理的其他結論。 （3）概括成一句話：直徑平分弦（不是直徑） （4）一條直線①過圓心；②垂直于一條弦；③平分這條弦；④平分弦所對的劣弧；⑤平分弦所對的優(yōu)弧。這五個條件只需知道兩個，即可得出另三個（平分弦時，直徑除外）。 2. 垂徑定理的應用 垂徑定理在中考中經常和勾股定理結合使用：如圖，如果直徑CD ⊥AB于E，當我們連接圓心O和點A時，利用垂徑定理可以得到直角三角形OAE，進而可以利用勾股定理進行相關的計算。 例如：直徑CD ⊥AB于E，弦AB＝2a，半徑為r，求OE、DE的長。 由AB＝2a，根據垂徑定理可以得到AE＝a，進而，DE＝r－OE＝r－ 利用垂徑定理和勾股定理解決圓中的相關計算問題 例題1 （西青區(qū)二模）如圖，在半徑為5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且AB＝CD＝8，求OP的長。 解析：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連接OP，OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的長，然后判定四邊形OMPN是正方形，求得正方形的對角線的長即可求得OM的長。 解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連接OP，OB，OD， ∵AB＝CD＝8， ∴BM＝DN＝4， ∴OM＝ON＝ ∵AB⊥CD， ∴∠DPB＝90， ∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N， ∴∠OMP＝∠ONP＝90 ∴四邊形MONP是矩形， ∵OM＝ON， ∴四邊形MONP是正方形， ∴OP＝ 點撥：本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵。 例題2 （長春）如圖，將一個兩邊都帶有刻度的直尺放在半圓形紙片上，使其一邊經過圓心O，另一邊所在直線與半圓相交于點D、E，量出半徑OC＝5cm，弦DE＝8cm，求直尺的寬。 解析：這是一個關系到弦長和半徑的問題，因此我們考慮運用垂徑定理來解決。 解：過點O作OM⊥DE于點M，連接OD。 ∴DM＝DE。 ∵DE＝8， ∴DM＝4。 在Rt△ODM中，∵OD＝OC＝5， ∴OM＝＝ ∴直尺的寬度為3cm。 點撥：這是一個非常貼近學生生活的實際問題，由問題背景我們可以發(fā)現，利用垂徑定理構造出合適的直角三角形來解決此類問題。 應用垂徑定理解決開放性的問題 例題 不過圓心的直線交⊙O于C、D兩點，AB是⊙O的直徑，AE⊥于E，BF⊥于F。 （1）如圖，在下面三個圓中分別補畫出滿足上述條件的具有不同位置關系的圖形； （2）請你觀察（1）中所畫的圖形，寫出一個各圖都具有的兩條線段相等的結論（不再標注其它字母，找結論的過程中所連輔助線不能出現在結論中，不寫推理過程）； （3）請你選擇（1）中的一個圖形，證明（2）所得出的結論。 解析：這是一道開放性試題，首先要根據直線與AB的不同位置關系畫出不同的圖形（如下圖），①直線與AB平行；②直線與AB相交；③直線與AB或BA的延長線相交。其次根據圖形寫出一個兩條線段相等的正確結論。 解：（1）如下圖所示。 圖1 圖2 圖3 （2）EC＝FD或ED＝FC （3）以①圖為例來證明。過O作OH⊥于H ∵AE⊥，BF⊥，∴AE∥OH∥BF 又∵OA＝OB，∴EH＝HF，再由垂徑定理可得CH＝DH ∴EH－CH＝FH－DH，即EC＝FD （答題時間：30分鐘） 1. 下列命題中正確的是（ ） A. 平分弦的直徑必垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??； B. 弦所對的兩條弧的中點連線垂直平分弦； C. 若兩段弧的度數相等，則它們是等??； D. 弦的垂線平分弦所對的弧。 2. 如圖，⊙O中，直徑CD＝15cm，弦AB⊥CD于點M，OM∶MD＝3∶2，則AB的長是（ ） A. 7.5cm B. 15cm C. 12cm D. 12.5cm 3. 已知⊙O的半徑為10cm，弦AB∥CD，AB＝12cm，CD＝16cm，則AB和CD的距離是（ ） A. 2cm B. 14cm C. 2cm或14cm D. 2cm或12cm 4. 若圓中一弦與弦高之和等于直徑，弦高為1，則圓的半徑為（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 在半徑為5cm的⊙O中，有一點P滿足OP＝3 cm，則過P的整數弦有___________條。 6. 等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝120，BC＝10 cm，則△ABC的外接圓半徑為________。 7. 圓內一弦與直徑相交成30的角，且分直徑為1 cm和5 cm兩段，則此弦長為_________。 8. 如圖，AB為⊙O的直徑，AC為弦，OD⊥AC于D，BD交OC于E，若AC＝4，AB＝5，則BE＝_________。 9. 如圖，已知⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點，C、A、D三點在一條直線上，CD的延長線交O1 O2的延長線于P，∠P＝30，，則CD＝________。 10. 如圖，是一塊殘破的圓輪片，A、B、C是圓弧上的三點。 （1）作出弧ACB所在的⊙O（不寫作法，保留作圖痕跡）； （2）如果AC＝BC＝60cm，∠ACB＝120，求該殘破圓輪片的半徑。 11. 如圖，Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝3，BC＝4，以點C為圓心，CA為半徑的圓與AB、BC分別交于點D、E，求AB、AD的長。 12. 如圖，⊙O的半徑為10cm，G是直徑AB上一點，弦CD經過點G，CD＝16cm，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求AE－BF的值。  1. B 解析：平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧，故A錯誤；能重合的弧才是等弧，必須是弧所對的圓心角和所在圓的半徑都相等的弧才能叫做等弧，故C錯誤；只有弦的垂直平分線才能夠平分弧，故D錯誤。 2. C 解析：連接AO，∵OM∶MD＝3∶2且直徑CD＝15cm，∴易求得，，根據已知條件易證△AMO為Rt△， ∴cm，根據垂徑定理可知，∴AB長為12cm。所以C選項正確。 3. C 解析：本題在解題過程中一定要注意分類討論的思想，通過分析題意，本題有兩種可能性，AB、CD可能在圓心的同側也可能在異側，當AB、CD在同側時，如圖1所示，根據條件易求得，，；當AB、CD在圓心的異側時，，，。所以C選項正確。 4. D 解析：本題涉及一個概念——弦高，所謂弦高是指弦的垂直平分線與劣弧的交點與垂足之間的線段長?！喔鶕}意易知，如圖所示，設半徑為r，∴，，，再由勾股定理，就可求得或（舍），∴。所以D選項正確。 5. 4 解析：由題意分析可知過點P的弦最短為8，即過點P恰好與OP垂直的弦，最長為10，即與OP重合的直徑，8與10中間還有一個整數9，再據圓的軸對稱性可知長度為9的有兩條，∴過點P的整數弦有4條。 6. cm 解析：如圖所示，依據垂徑定理以及勾股定理可求得，外接圓的半徑為cm。 7. cm 解析：根據題意易求得，又∵，∴，再在Rt△DOH中，據勾股定理可求得，∴。所以此弦長為。 8. 解析：本題考查的知識點較多，包括垂徑定理，相似，勾股定理等，連接BC，AB為⊙O的直徑，AC為弦，OD⊥AC于D，AC＝4，AB＝5，∴BC＝3，易證，又∵O是圓心，∴，∴，在Rt△BCD中，據勾股定理，易求得，∴。 9. 6 解析：如圖所示，分別過兩個圓心作CP的垂線，∴，所以要想求出CD的長度，只需要求出MH即可知道CD的長。又過作于點I，在Rt△中根據勾股定理可求得，∴CD＝6。 10. 解析：①利用垂徑定理得出AC，BC的垂直平分線，交點即是圓心，到任意一點的距離即是半徑；②利用垂徑定理以及等邊三角形的判定得出△OBC是等邊三角形，即可得出答案。 解：（1）如圖1所示： （2）如圖2，∵AC＝BC＝60cm，∠ACB＝120 ∴∠AOC＝∠BOC， 又∵AO＝CO，CO＝BO， ∴△AOC≌△COB， ∴∠CBO＝∠ACO＝60， ∵BO＝CO， ∴∠OBC＝∠BCO＝60， ∴△OBC是等邊三角形， ∴半徑為60cm。 11. 解析：∵∠C＝90，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，過點C作CH⊥AB于點H，利用面積相等建立等式，∴，在Rt△ACH中，可求得， ∴據垂徑定理可得：。 12. 解：連結OC，過點O作OM⊥CD于M，則CM＝MD ∵CD＝16cm，AB＝8 cm，在Rt△OMC中，因OC＝10 cm ∴OM＝cm ∵AE⊥CD，BF⊥CD，OM⊥CD，∴AE∥OM∥BF ∴， ∴cm ∴AE－BF＝2OM＝12 cm