九年級數(shù)學上冊 專題突破講練 解決方位角問題試題 （新版）青島版.doc

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解決方位角問題 方位角 方位角：指北（或指南）方向線與目標方向線所成的小于90的角叫做方位角。如圖中的目標方向線OA、OB、OC分別表示北偏東60，南偏東30，北偏西70。特別地，若目標方向線與指北（或指南）的方向線成45的角，如圖的目標方向線OD與正南方向線成45角，通常稱為西南方向。 方法歸納：方位角可以看成是將正北或正南方向的射線旋轉一定角度而形成的。故在應用中，一要確定其始邊是正北還是正南；二要確定其旋轉方向是向東還是向西；三要確定旋轉角度的大小。 總結： 1. 能夠根據(jù)題意作出方位角，分清圖形中的方位角。 2. 合理構造直角三角形，會解與方位角有關的三角函數(shù)問題。 例題 據(jù)氣象臺預報，一強臺風的中心位于A市的東南方向（36＋108）km的海面上P處。目前臺風中心以20km/h的速度向北偏西60的方向移動，距臺風中心50km的圓形區(qū)域均會受到強襲擊。已知B市位于A市的正南方向72km處，C市位于B市的北偏東60方向56km處。那么，會受到這次強臺風襲擊的城市是（ ） A. 只有A市 B. 只有B市 C. B市和C市 D. A市、B市和C市 解析：分別過點A、B、C構造直角三角形，計算點A、B、C到直線PQ的距離，比較它們與50的大小關系即可。 答案：如圖，過P作PO⊥AB于O?！螼AP＝∠APO＝45?！郞A＝OP＝APsin45＝（36＋108）＝（36＋108）。BO＝AO－AB＝36＋108－72＝（36＋36）。設臺風方向PQ與AO交點為M，∠MPO＝90－60＝30，OM＝OPtan30＝（36＋108）＝（36＋36）?！郞M＝OB，∴點M和B重合，∴臺風中心必經(jīng)過B市。過C作CD⊥PQ于D，∠CBD＝90－60＋30＝60，CD＝CBsin60＝56＝28＜50，∴C市也受臺風影響。過點A作AG⊥PQ于點G，AG＝ABsin60＝72＝36＞50，∴A市不受臺風襲擊。選C。 點撥：解答這類問題時必須要明確兩點，一是臺風行進的路線，二是某點到臺風行進路線的距離。所以，其解題思路一般都是圍繞某條直線和某些點構造直角三角形，運用三角函數(shù)及勾股定理求解。 解答方位角問題一定要結合圖形，只要確定了方向線與南北方向線的夾角，就可解決問題。但關鍵還是構造直角三角形，將方位角轉化為直角三角形的內(nèi)角。 滿分訓練 閱讀下列材料，并解決后面的問題。 在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c。過A作AD⊥BC于D（如圖），則sinB＝，sinC＝，即AD＝csinB，AD＝bsinC，于是csinB＝bsinC，即＝。同理有＝，所以＝＝。即：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。 （1）在銳角三角形中，若已知三個元素a、b、∠A，運用上述結論和有關定理就可以求出其余三個未知元素c、∠B、∠C，請你按照下列步驟填空，完成求解過程： 第一步：由條件a、b、∠A，用關系式__________求出∠B； 第二步：由條件∠A、∠B，用關系式__________求出∠C； 第三步：由條件__________，用關系式__________求出c。 （2）一艘貨輪在C處測得燈塔A在貨輪的北偏西30的方向上，隨后貨輪以28.4海里/時的速度按北偏東45的方向航行，半小時后到達B處，此時又測得燈塔A在貨輪的北偏西70的方向上（如圖），求此時貨輪距燈塔A的距離AB（結果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：sin40＝0.643，sin65＝0.906，sin70＝0.940，sin75＝0.966）。 解析：（1）只要讀清題意，填寫此問應該不難；（2）本題要構建出直角三角形，使得已知和所求的條件都轉移到直角三角形中進行計算。 答案：（1）＝；∠A＋∠B＋∠C＝180；a、∠A、∠C或b、∠B、∠C；＝或＝。 （2）如圖所示，依題意：∠FBC＝180－∠ECB＝135，∵∠FBA＝70，∴∠ABC＝65，∴∠A＝180－∠ACB－∠ABC＝40，BC＝14.2。過B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，∵BC＝28.4＝14.2，∴BD＝BC?sin75≈13.7，在Rt△ABD中，AB＝BDsin40≈21.3（海里）。 答：貨輪距燈塔A的距離約為21.3海里。 點撥：本題考查了三角函數(shù)以及解直角三角形的應用，注意解直角三角形的應用關鍵是構建直角三角形，以便把條件和問題都放到直角三角形中進行解決。 一、選擇題 1. 某時刻海上點P處有一客輪，測得燈塔A位于客輪P的北偏東30方向，且相距20海里。客輪以60海里/小時的速度沿北偏西60方向航行小時到達B處，那么tan∠ABP＝（ ） A. B. 2 C. D. 2. 如圖，學校在小明家北偏西30方向，且距小明家6千米，那么學校所在位置A點坐標為（ ） A. （3，3） B. （－3，－3） C. （3，－3） D. （－3，3） *3. 如圖，某天然氣公司的主輸氣管道從A市的北偏東60方向直線延伸，測繪員在A處測得要安裝天然氣的M小區(qū)在A市的北偏東30方向，測繪員沿主輸氣管道步行1000米到達點C處，測得M小區(qū)位于點C的北偏西75方向，試在主輸氣管道上尋找支管道連接點N，使到該小區(qū)鋪設的管道最短，此時AN的長約是（ ）米 A. 366 B. 650 C. 634 D. 700 **4. 一漁船在海島A南偏東20方向的B處遇險，測得海島A與B的距離為20海里，漁船將險情報告給位于A處的救援船后，沿北偏西80方向向海島C靠近，同時，從A處出發(fā)的救援船沿南偏西10方向勻速航行，20分鐘后，救援船在海島C處恰好追上漁船，那么救援船航行的速度為（ ） A. 10海里/小時 B. 30海里/小時 C. 20海里/小時 D. 30海里/小時 二、填空題 5. 如圖，一天，我國一漁政船航行到A處時，發(fā)現(xiàn)正東方向的我領海區(qū)域B處有一可疑漁船，正在以16海里/小時的速度向西北方向航行，我漁政船立即沿北偏東60方向航行，1.5小時后，在我領海區(qū)域的C處截獲可疑漁船。我漁政船的航行路程是__________海里。 6. 如圖，在港口M的南偏西60方向有一座小島P，一船以每小時20千米的速度從港口M出發(fā)，沿正西方向行駛，半個小時后，這艘船在A處測得小島在船的正南方向，那么小島P與港口M相距__________千米。 7. 如圖，A、B兩地之間有一座山，汽車原來從A地到B地經(jīng)過C地沿折線A→C→B行駛，現(xiàn)開通隧道后，汽車直接沿直線AB行駛。已知AC＝10千米，∠A＝30，∠B＝45。則隧道開通后，汽車從A地到B地比原來少走__________千米。（結果保留根號） *8. 如圖，某海監(jiān)船向正西方向航行，在A處望見一艘正在作業(yè)的漁船D在南偏西45方向，海監(jiān)船航行到B處時望見漁船D在南偏東45方向，又航行了半小時到達C處，望見漁船D在南偏東60方向，若海監(jiān)船的速度為50海里/小時，則A，B之間的距離為__________海里（取≈1.7，結果精確到0.1海里）。 三、解答題 9. 如圖，益陽市梓山湖中有一孤立小島，湖邊有一條筆直的觀光小道AB，現(xiàn)決定從小島架一座與觀光小道垂直的小橋PD，小張在小道上測得如下數(shù)據(jù)：AB＝80.0米，∠PAB＝38.5，∠PBA＝26.5。請幫助小張求出小橋PD的長并確定小橋在小道上的位置。（以A，B為參照點，結果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin38.5＝0.62，cos38.5＝0.78，tan38.5＝0.80，sin26.5＝0.45，cos26.5＝0.89，tan26.5＝0.50） 10. xx年3月，某煤礦發(fā)生瓦斯爆炸，該地救援隊立即趕赴現(xiàn)場進行救援，救援隊利用生命探測儀在地面A、B兩個探測點探測到C處有生命跡象。已知A、B兩點相距4米，探測線與地面的夾角分別是30和45，試確定生命所在點C的深度。（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73） *11. 如圖，馬路的兩邊CF、DE互相平行，線段CD為人行橫道，馬路兩側的A、B兩點分別表示車站和超市。CD與AB所在直線互相平行，且都與馬路兩邊垂直，馬路寬20米，A，B相距62米，∠A＝67，∠B＝37。 （1）求CD與AB之間的距離； （2）某人從車站A出發(fā)，沿折線A→D→C→B去超市B，求他沿折線A→D→C→B到達超市比直接橫穿馬路多走多少米？（參考數(shù)據(jù)：sin67≈，cos67≈，tan67≈，sin37≈，cos37≈，tan37≈） **12. 機器人“海寶”在某圓形區(qū)域表演“按指令行走”，如圖所示，“海寶”從圓心O出發(fā)，先沿北偏西67.4方向行走13米至點A處，再沿正南方向行走14米至點B處，最后沿正東方向行走至點C處，點B、C都在圓O上。（本題參考數(shù)據(jù)：sin67.4＝，cos67.4＝，tan67.4＝） （1）求弦BC的長； （2）求圓O的半徑長。  1. A 解析：∵燈塔A位于客輪P的北偏東30方向，且相距20海里?！郟A＝20，∵客輪以60海里/小時的速度沿北偏西60方向航行小時到達B處，∴∠APB＝90，BP＝60＝40，∴tan∠ABP＝＝＝。 2. D 解析：∵學校在小明家北偏西30方向，且距小明家6千米，∴∠BOA＝30，OA＝6。 ∵∠ABO＝90，∴AB＝3，OB＝OAcos30＝3。即A點坐標為（－3，3）。 3. C 解析：如圖：過點M作MN⊥AC于點N，根據(jù)題意得：∠MAN＝60－30＝30，∠BCM＝75，∠DCA＝60，∴∠MCN＝180－75－60＝45，設MN＝x米，在Rt△AMN中，AN＝＝x（米），在Rt△CMN中，CN＝＝x（米），∵AC＝1000米，∴x＋x＝1000，解得：x＝500（－1），∴AN＝x≈634（米）。 4. D 解析：如圖，過點C作CD⊥AB于D。設AC＝x海里。在△ACD中，∠ADC＝90，∠CAD＝10＋20＝30，∴CD＝ACsin∠CAD＝AC＝x海里，AD＝ACcos∠CAD＝x海里。在△BCD中，∠BDC＝90，∠CBD＝80－20＝60，∴BD＝＝x海里。 ∵AD＋BD＝AB，∴x＋x＝20，解得x＝10（海里），∴救援船航行的速度為：10＝30（海里/小時）。 5. 24 解析：如圖，作CD⊥AB于點D，垂足為D，∵在直角三角形BCD中，BC＝161.5＝24（海里），∠CBD＝45，∴CD＝BC?sin45＝24＝12（海里），∴在直角三角形ACD中，AC＝＝122＝24（海里）。 6. 解析：在直角△APM中，AM＝20＝10千米，∠P＝60，則PM＝＝（千米）。 7. 5＋5－5 解析：過C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，∵AC＝10，∠A＝30，∴DC＝ACsin30＝5，AD＝ACcos30＝5，在Rt△BCD中，∵∠B＝45，∴BD＝CD＝5，BC＝5，則用AC＋BC－（AD＋BD）＝10＋5－（5＋5）＝5＋5－5（千米）。 8. 67.5 解析：∵∠DBA＝∠DAB＝45，∴△DAB是等腰直角三角形，過點D作DE⊥AB于點E，則DE＝AB，設DE＝x，則AB＝2x，在Rt△CDE中，∠DCE＝30，則CE＝DE＝x，在Rt△BDE中，∠DAE＝45，則DE＝BE＝x，由題意得，CB＝CE－BE＝x－x＝50，解得：x＝，故AB＝25（＋1）＝67.5（海里）。 9. 解：設PD＝x米，∵PD⊥AB，∴∠ADP＝∠BDP＝90，在Rt△PAD中，tan∠PAD＝，∴AD＝≈＝x，在Rt△PBD中，tan∠PBD＝，∴DB＝≈＝2x，又∵AB＝80.0米，∴x＋2x＝80.0，解得：x≈24.6，即PD≈24.6米，∴DB＝2x＝49.2。 答：小橋PD的長度約為24.6米，位于AB之間距B點約49.2米處。 10. 解：過點C作CD⊥AB于點D，設CD＝x，在Rt△ACD中，∠CAD＝30，則AD＝CD＝x，在Rt△BCD中，∠CBD＝45，則BD＝CD＝x，由題意得，x－x＝4，解得：x＝＝2（＋1）≈5.5。答：生命所在點C的深度為5.5米。 11. 解：（1）設CD與AB之間的距離為x，則在Rt△BCF和Rt△ADE中，＝tan37，＝tan67，∴BF＝＝x，AE＝＝x，又∵AB＝62，CD＝20，∴x＋x＋20＝62，解得x＝24，故CD與AB之間的距離為24米； （2）在Rt△BCF和Rt△ADE中，∵BC＝＝24＝40，AD＝＝＝26， ∴AD＋DC＋CB－AB＝40＋20＋26－62＝24（米）。 答：他沿折線A→D→C→B到達超市比直接橫穿馬路多走24米。 12. 解：（1）連接OB，過點O作OD⊥AB，∵AB∥SN，∠AON＝67.4，∴∠A＝67.4?！郞D＝AO?sin67.4＝13＝12。又∵BE＝OD，∴BE＝12。根據(jù)垂徑定理，BC＝212＝24（米） （2）∵AD＝AO?cos67.4＝13＝5，∴OD＝＝12，BD＝AB－AD＝14－5＝9?！郆O＝＝15。故圓O的半徑長15米。