九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 專題突破講練 解決仰角、俯角問(wèn)題試題 （新版）青島版.doc

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解決仰角、俯角問(wèn)題 仰角、俯角 1. 鉛垂線：重力線方向的直線； 2. 水平線：垂直于鉛垂線的直線； 3. 仰角：視線在水平線上方的角叫做仰角； 4. 俯角：視線在水平線下方的角叫做俯角。 方法歸納： （1）仰角和俯角是視線相對(duì)于水平線而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧記為“上仰下俯”； （2）實(shí)際問(wèn)題中遇到仰角或俯角時(shí)，要放在直角三角形或轉(zhuǎn)化到直角三角形中運(yùn)用，注意確定水平線。 總結(jié)： 1. 能夠分清仰角和俯角，正確解答與仰角和俯角有關(guān)的三角函數(shù)問(wèn)題。 2. 在測(cè)量物體的高時(shí)，要善于將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題。 例題 我國(guó)為了維護(hù)對(duì)釣魚(yú)島（點(diǎn)P）的主權(quán)，決定對(duì)釣魚(yú)島進(jìn)行常態(tài)化的立體巡航。在一次巡航中，輪船和飛機(jī)的航向相同（AP∥BD），當(dāng)輪船航行到距釣魚(yú)島20km的A處時(shí)，飛機(jī)在B處測(cè)得輪船的俯角是45；當(dāng)輪船航行到C處時(shí)，飛機(jī)在輪船正上方的E處，此時(shí)EC＝5000m。輪船到達(dá)釣魚(yú)島P時(shí)，測(cè)得D處的飛機(jī)的仰角為30。試求飛機(jī)的飛行距離BD（結(jié)果保留根號(hào)）。 解析：作AF⊥BD，PG⊥BD，在Rt△ABF和△PDG中分別求出BF、GD的值，由BF＋FG＋DG求BD的長(zhǎng)。 答案：作AF⊥BD，PG⊥BD，垂足分別為F、G，由題意得：AF＝PG＝CE＝5000m，F(xiàn)G＝AP＝20km，在Rt△AFB中，∠B＝45，則∠BAF＝45，∴BF＝AF＝5。 ∵AP∥BD，∴∠D＝∠DPH＝30，在Rt△PGD中，tan∠D＝，即tan30＝， ∴GD＝5，則BD＝BF＋FG＋DG＝5＋20＋5＝25＋5（km）。 答：飛機(jī)的飛行距離BD為25＋5km。 點(diǎn)撥：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)仰角和俯角構(gòu)造直角三角形，然后解直角三角形，雖然難度一般，但非常具有代表性。 用三角函數(shù)測(cè)量建筑物的高度，常見(jiàn)類型如下： （1）＝l，h＝ltanα； （2）－＝l，h＝l； （3）＋＝l，h＝l。 滿分訓(xùn)練 閱讀材料： 關(guān)于三角函數(shù)還有如下的公式： sin（αβ）＝sinαcosβcosαsinβ；tan（αβ）＝。 利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來(lái)求值。例：tan15＝tan（45－30）＝＝＝＝2－。 根據(jù)以上閱讀材料，請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)墓浇獯鹣旅娴膯?wèn)題： （1）計(jì)算：sin15； （2）烏蒙鐵塔是六盤水市的標(biāo)志性建筑物之一（圖1），小華想用所學(xué)知識(shí)來(lái)測(cè)量該鐵塔的高度，如圖2，小華站在離塔底A距離7米的C處，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?5，小華的眼睛離地面的距離DC為1.62米，請(qǐng)幫助小華求出烏蒙鐵塔的高度。（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：＝1.732，＝1.414）。 解析：（1）把15化為45－30以后，再利用公式sin（αβ）＝sinαcosβcosαsinβ計(jì)算，即可求出sin15的值；（2）先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出BE的長(zhǎng)，再根據(jù)AB＝AE＋BE計(jì)算塔高。 答案：（1）sin15＝sin（45－30）＝sin45cos30－cos45sin30＝－＝－＝； （2）在Rt△BDE中，∵∠BED＝90，∠BDE＝75，DE＝AC＝7米， ∴BE＝DE?tan∠BDE＝DE?tan75。 ∵tan75＝tan（45＋30）＝＝＝＝2＋， ∴BE＝7（2＋）＝14＋7，∴AB＝AE＋BE＝1.62＋14＋7≈27.7（米）。 答：烏蒙鐵塔的高度約為27.7米。 點(diǎn)撥：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用－仰角、俯角問(wèn)題，以及特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，屬于新題型，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中所給信息結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值來(lái)求解。 （答題時(shí)間：30分鐘） 一、選擇題 1. 如圖，熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球A看一棟高樓頂部B的仰角為30，看這棟高樓底部C的俯角為60，熱氣球A與高樓的水平距離為210m，這棟高樓BC的高度為（ ） A. 70m B. 210m C. 280m D. 160m **2. 如圖，測(cè)量隊(duì)為了測(cè)量某地區(qū)山頂P的海拔高度，選M點(diǎn)作為觀測(cè)點(diǎn)，從M點(diǎn)測(cè)量山頂P的仰角（視線在水平線上方，與水平線所夾的角）為30，在比例尺為1：50000的該地區(qū)的等高線地形圖上，量得這兩點(diǎn)的圖上距離為6厘米，則山頂P的海拔高度為（ ） A. 1732米 B. 1982米 C. 3000米 D. 3250米 **3. 如圖，在兩建筑物之間有一旗桿，高15米，從A點(diǎn)經(jīng)過(guò)旗桿頂點(diǎn)恰好看到矮建筑物的墻角C點(diǎn)，且俯角α為60，又從A點(diǎn)測(cè)得D點(diǎn)的俯角β為30，若旗桿底點(diǎn)G為BC的中點(diǎn)，則矮建筑物的高CD為（ ） A. 20米 B. 10米 C. 15米 D. 5米 **4. 如圖，在一個(gè)房間內(nèi)，有一把梯子MC斜靠在墻上，梯子頂端距地面的垂直距離MA為a米，此時(shí)梯子的傾斜角為75，如果梯子的底端不動(dòng)，頂端靠在對(duì)面墻上，此時(shí)梯子的頂端距地面的垂直距離NB為b米，梯子的傾斜角為45，則這間房子的寬AB為（ ） A. 米 B. 米 C. b米 D. a米 二、填空題 5. 九年級(jí)三班的小亮同學(xué)學(xué)習(xí)了“測(cè)量物體的高度”這節(jié)課后，他為了測(cè)得如圖所放風(fēng)箏的高度，進(jìn)行了如下操作： （1）在放風(fēng)箏的點(diǎn)A處安置測(cè)傾器，測(cè)得風(fēng)箏C的仰角∠CBD＝60； （2）根據(jù)手中剩余的線的長(zhǎng)度求出風(fēng)箏線BC的長(zhǎng)度為70米； （3）量出測(cè)傾器的高度AB＝1.5米。根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，計(jì)算出風(fēng)箏的高度CE約為_(kāi)_________米。（精確到0.1米，≈1.73） 6. 如圖1所示，把一根細(xì)線固定在半圓形量角器的圓心處，另一端系一個(gè)小重物，制成簡(jiǎn)單的測(cè)角儀，若細(xì)線正好和60重合，則此時(shí)的仰角α是__________，若細(xì)線所在位置刻度模糊，請(qǐng)?jiān)趫D2中添加一條直線，就能求出此時(shí)的仰角α。 *7. 某校研究性學(xué)習(xí)小組測(cè)量學(xué)校旗桿AB的高度，如圖在教學(xué)樓一樓C處測(cè)得旗桿頂部的仰角為60，在教學(xué)樓三樓D處測(cè)得旗桿頂部的仰角為30，旗桿底部與教學(xué)樓一樓在同一水平線上，已知每層樓的高度為3米，則旗桿AB的高度為_(kāi)_________米。 **8. 如圖，在小山的東側(cè)A點(diǎn)有一個(gè)熱氣球，由于受西風(fēng)的影響，以30米/分的速度沿與地面成75角的方向飛行，25分鐘后到達(dá)C處，此時(shí)熱氣球上的人測(cè)得小山西側(cè)B點(diǎn)的俯角為30，則小山東西兩側(cè)A、B兩點(diǎn)間的距離為_(kāi)_________米。 三、解答題 9. 國(guó)家海洋局將中國(guó)釣魚(yú)島的最高峰命名為“高華峰”，并對(duì)釣魚(yú)島進(jìn)行常態(tài)化立體巡航。如圖1，在一次巡航過(guò)程中，巡航飛機(jī)的飛行高度為2001米，在點(diǎn)A測(cè)得高華峰頂F點(diǎn)的俯角為30，保持方向不變前進(jìn)1200米到達(dá)B點(diǎn)后測(cè)得F點(diǎn)的俯角為45，如圖2。請(qǐng)據(jù)此計(jì)算釣魚(yú)島的最高海拔高度為多少米。（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)值：≈1.732，≈1.414） *10. （舟山中考）某學(xué)校的校門是伸縮門（如圖1），伸縮門中的每一行菱形有20個(gè)，每個(gè)菱形邊長(zhǎng)為30厘米。校門關(guān)閉時(shí)，每個(gè)菱形的銳角度數(shù)為60（如圖2）；校門打開(kāi)時(shí)，每個(gè)菱形的銳角度數(shù)從60縮小為10（如圖3）。問(wèn)：校門打開(kāi)了多少米？（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin5≈0.0872，cos5≈0.9962，sin10≈0.1736，cos10≈0.9848）。 *11. 小強(qiáng)在教學(xué)樓的點(diǎn)P處觀察對(duì)面的辦公大樓。為了測(cè)量點(diǎn)P到對(duì)面辦公大樓上部AD的距離，小強(qiáng)測(cè)得辦公大樓頂部點(diǎn)A的仰角為45，測(cè)得辦公大樓底部點(diǎn)B的俯角為60，已知辦公大樓高46米，CD＝10米。求點(diǎn)P到AD的距離（用含根號(hào)的式子表示）。 *12. 小亮和小紅在公園放風(fēng)箏，不小心讓風(fēng)箏掛在樹(shù)梢上，風(fēng)箏固定在A處（如圖），為測(cè)量此時(shí)風(fēng)箏的高度，他倆按如下步驟操作： 第一步：小亮在測(cè)點(diǎn)D處用測(cè)角儀測(cè)得仰角∠ACE＝β。 第二步：小紅量得測(cè)點(diǎn)D處到樹(shù)底部B的水平距離BD＝a。 第三步：量出測(cè)角儀的高度CD＝b。 之后，他倆又將每個(gè)步驟都測(cè)量了三次，把三次測(cè)得的數(shù)據(jù)繪制成如下的條形統(tǒng)計(jì)圖和折線統(tǒng)計(jì)圖。 請(qǐng)你根據(jù)兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息解答下列問(wèn)題。 （1）把統(tǒng)計(jì)圖中的相關(guān)數(shù)據(jù)填入相應(yīng)的表格中： a b β 第一次 第二次 第三次 平均值 （2）根據(jù)表中得到的樣本平均值計(jì)算出風(fēng)箏的高度AB（參考數(shù)據(jù)：≈1.732，≈1.414，結(jié)果保留3個(gè)有效數(shù)字）。  1. C 解析：過(guò)A作AD⊥BC，垂足為D。在Rt△ABD中，∵∠BAD＝30，AD＝210m，∴BD＝AD?tan30＝210＝70m。在Rt△ACD中，∵∠CAD＝60，AD＝210m，∴CD＝AD?tan60＝210＝210m，∴BC＝BD＋CD＝70＋210＝280m，故選C。 2. B 解析：∵兩點(diǎn)的圖上距離為6厘米，比例尺為1：50000，∴兩點(diǎn)間的實(shí)際距離為：6＝3000米，∵從M點(diǎn)測(cè)量山頂P的仰角（視線在水平線上方，與水平線所夾的角）為30，∴MP＝3000tan30＝3000＝1732米，∵點(diǎn)M的海拔為250米，∴山頂P的海拔高度為＝1732＋250＝1982米。故選B。 3. A 解析：根據(jù)題意可知：GE∥AB∥CD，BC＝2GC，GE＝15米，AB＝2GE＝30米。過(guò)點(diǎn)D作DF垂直于過(guò)A點(diǎn)的水平線于點(diǎn)F，則AF＝BC＝ABtan∠ACB＝30＝10米，DF＝AF?tan30＝10＝10米，CD＝AB－DF＝30－10＝20米。 4. D 解析：過(guò)N點(diǎn)作MA的垂線，垂足為點(diǎn)D，連接NM?！摺螹CN＝180－∠MCA－∠NCB＝180－75－45＝60，MC＝NC，∴△MNC是等邊三角形，∴MN＝MC，∠MNC＝60?！螹ND＝∠MNC－∠DNC，而∠DNC＝∠NCB＝45，∴∠MND＝60－45＝15。在Rt△MND中，DN＝MNcos∠MND＝MNcos15。在Rt△MCA中，∵∠MCA＝75，∴∠AMC＝15，∴AM＝MCcos15?！郃B＝DN＝AM＝a（米）。本題也可證明△MND≌△CMA。 5. 62.1 解析：在Rt△CBD中，DC＝BC?sin60＝70≈60.55?！逜B＝1.5，∴CE＝60.55＋1.5≈62.1（米）。 6. 30，如圖所示：作線段BA關(guān)于BC的對(duì)稱線段，對(duì)稱線段所在的直線即是需要添加的直線，讀出∠ABF的度數(shù)，α＝90－∠ABF。（也可過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線） 7. 9 解析：過(guò)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，設(shè)旗桿AB的高度為x，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，所以AC＝＝＝＝x，在Rt△BDE中，BE＝AC＝x，∠BDE＝60，tan∠BDE＝，所以DE＝＝x，因?yàn)镃E＝AB＝x，所以DC＝CE－DE＝x－x＝6，所以x＝9，故旗桿的高度為9米。 8. 750 解析：如圖（略），過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，在Rt△ACD中，∠ACD＝75－30＝45，AC＝3025＝750（米），∴AD＝AC?sin45＝375（米）。在Rt△ABD中，∵∠B＝30，∴AB＝2AD＝750（米）。 9. 解：設(shè)CF＝x，在Rt△ACF和Rt△BCF中，∵∠BAF＝30，∠CBF＝45，∴BC＝CF＝x，＝tan30，即AC＝x，∵AC－BC＝1200，∴x－x＝1200，解得：x＝600（＋1），則DF＝h－x＝2001－600（＋1）≈362（米）。答：釣魚(yú)島的最高海拔高度約362米。 10. 解：如題圖，校門關(guān)閉時(shí)，取其中一個(gè)菱形ABCD。根據(jù)題意，得∠BAD＝60，AB＝0.3米?！咴诹庑蜛BCD中，AB＝AD，∴△BAD是等邊三角形，∴BD＝AB＝0.3米，∴大門的寬是0.320≈6（米）；校門打開(kāi)時(shí)，取其中一個(gè)菱形A1B1C1D1。根據(jù)題意，得∠B1A1D1＝10，A1B1＝0.3米?！咴诹庑蜛1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，設(shè)A1C1與B1D1相交于點(diǎn)O1，則∠B1A1O1＝5，∴在Rt△A1B1O1中，B1O1＝sin∠B1A1O1?A1B1＝sin50.3＝0.02616（米），∴B1D1＝2B1O1＝0.05232米，∴伸縮門的寬是：0.0523220＝1.0464米?！嘈ｉT打開(kāi)的寬度為：6－1.0464＝4.9536≈5（米）。故校門打開(kāi)了5米。 11. 解：延長(zhǎng)BC交PM于點(diǎn)E，在Rt△BEP中，∠BPE＝60∴BE＝PEtan60＝PE。在Rt△AMP中，∠APM＝45，∴AM＝PM＝PE＋EM＝PE＋CD＝PE＋10。又樓高＝AM＋BE，∴PE＋10＋PE＝46，∴PE＝18（－1），∴PM＝PE＋EM＝18（－1）＋10＝18－8，即點(diǎn)P到AD的距離為（18－8）米。 12. 解：（1）填寫表格如圖： a b β 第一次 15.71 1.31 29.5 第二次 15.83 1.33 30.8 第三次 15.89 1.32 29.7 平均值 15.81 1.32 30 （2）過(guò)C作CE⊥AB于E，則四邊形EBDC是矩形，∴CE＝BD＝a，BE＝CD＝b，在Rt△AEC中，∵β＝30，a＝15.81，∴AE＝BEtan30＝15.81≈9.128（米），則AB＝AE＋EB＝9.128＋1.32＝10.448≈10.4（米）。答：風(fēng)箏的高度AB為10.4米。