九年級數學上冊 專題突破講練 解直角三角形試題 （新版）青島版.doc

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解直角三角形 解直角三角形的基本類型以及解法 圖形 已知類型 已知條件 解法步驟 兩邊 斜邊，一直角邊 （如c、a） ①b＝； ②由sinA＝，求∠A； ③∠B＝90－∠A 兩直角邊 （如a、b） ①c＝； ②由tanA＝，求∠A； ③∠B＝90－∠A 一邊一角 斜邊，一銳角 （如c，∠A） ①∠B＝90－∠A； ②由sinA＝，求a＝csinA； ③由cosA＝，求b＝ccosA 一直角邊，一銳角 （如a、∠A） ①∠B＝90－∠A； ②由tanA＝，求b＝； ③由sinA＝，求c＝ 方法歸納：（1）直角三角形中的五個元素：兩條直角邊，一條斜邊，兩個銳角。在沒有特殊說明的情況下，“解直角三角形”即求出所有的未知元素。 （2）直角三角形的特殊性質：①直角三角形中，30角所對的直角邊等于斜邊的一半；②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。 （3）直角三角形兩直角邊的積等于斜邊與斜邊上高的積。 總結： 1. 能夠利用勾股定理、三角函數解直角三角形； 2. 會添加適當的輔助線構造直角三角形解決斜三角形的問題。 例題 如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是BC邊上的中線，∠C＝45，sinB＝，AD＝1。 （1）求BC的長； （2）求tan∠DAE的值。 解析：（1）先由三角形的高的定義得出∠ADB＝∠ADC＝90，再解Rt△ADC，得出DC＝1；解Rt△ADB，得出AB＝3，根據勾股定理求出BD，然后根據BC＝BD＋DC即可求解；（2）先由三角形的中線的定義求出CE的值，則DE＝CE－CD，然后在Rt△ADE中根據正切函數的定義即可求解。 答案：（1）在△ABC中，∵AD是BC邊上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90。 在△ADC中，∵∠ADC＝90，∠C＝45，AD＝1，∴DC＝AD＝1。 在△ADB中，∵∠ADB＝90，sinB＝，AD＝1，∴AB＝＝3，∴BD＝＝2，∴BC＝BD＋DC＝2＋1； （2）∵AE是BC邊上的中線，∴CE＝BC＝＋，∴DE＝CE－CD＝－，∴tan∠DAE＝＝－。 點撥：本題考查了三角形的高、中線的定義，勾股定理，解直角三角形等知識點，難度中等，解答這類問題時注意將相關的邊和角轉化到相應的直角三角形中。 解直角三角形時應注意以下問題： （1）在求解有關解直角三角形的問題時，要畫出圖形，以利于分析解決問題； （2）選擇關系式時要盡量利用原始數據，以防止“累積錯誤”； （3）遇到不是直角三角形的圖形時，要添加適當的輔助線，將其轉化為直角三角形后再求解。 總之，解直角三角形時，選擇恰當的邊角關系式尤為重要，恰當的邊角關系不僅能使問題迅速解決，而且還會使計算簡便、過程簡捷，達到事半功倍的效果。解直角三角形的方法遵循“有斜用弦，無斜用切；寧乘勿除，化斜為直”的原則。 滿分訓練 如圖所示，在△ABC中，AD為∠A的平分線，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝120，求AD的長。 解析：要求AD，需選擇適當的三角形使AD為其一邊，這樣才能方便地運用有關知識處理問題，所以本題應考慮將AD構造成直角三角形的邊。 答案：設AD＝x?！逜D是∠BAC的平分線，∠BAC＝120，∴∠1＝∠2＝60。 ∵S△ACD＋S△ADB＝S△ABC，作DH1⊥AB于H1，DH2⊥AC于H2，BH3⊥CA，交CA延長線于H3，則DH1＝DH2＝ADsin60＝xsin60，BH3＝3sin60。 ∴5xsin60＋3xsin60＝53sin60。 解得x＝，所以角平分線AD的長為。 點撥：求鈍角或銳角三角形中的邊角時，常常作出垂直，構造直角三角形，得到邊角之間的關系。 （答題時間：） 一、選擇題 1. △ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，如果a2＋b2＝c2，那么下列結論正確的是（ ） A. csinA＝a B. bcosB＝c C. atanA＝b D. ctanB＝b *2. 如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90，AB＝AD＝2，CD＝，點P在四邊形ABCD上，若P到BD的距離為，則點P的個數為（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 **3. 如圖，在Rt△ABO中，斜邊AB＝1。若OC∥BA，∠AOC＝36，則（ ） A. 點B到AO的距離為sin54 B. 點B到AO的距離為tan36 C. 點A到OC的距離為sin36sin54 D. 點A到OC的距離為cos36sin54 **4. 在矩形ABCD中，有一個菱形BFDE（點E、F分別在線段AB、CD上），記它們的面積分別為SABCD和SBFDE，現(xiàn)給出下列命題：①若＝，則tan∠EDF＝；②若DE2＝BD?EF，則DF＝2AD。則（ ） A. ①是真命題，②是真命題 B. ①是真命題，②是假命題 C. ①是假命題，②是真命題 D. ①是假命題，②是假命題 二、填空題 5. 在△ABC中，AB＝AC＝5，sin∠ABC＝0.8，則BC＝__________。 *6. 如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB于點E，cosA＝，BE＝4，則tan∠DBE的值是__________。 **7. 在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線DE與AC所在的直線相交于點E，垂足為D，連接BE。已知AE＝5，tan∠AED＝，則BE＋CE＝__________。 **8. 如圖所示，在△ABC中，∠A＝30，AB＝AC＝2，BD是邊AC上的高，利用此圖可求得tan15＝__________，BC＝__________。 三、解答題 9. 如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90，AB＝10，sin∠A＝，求BC的長和tan∠B的值。 10. 如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，AB＝8，∠ABD＝30，∠CAD＝45，求BC的長。 *11. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，D是邊AB的中點，BE⊥CD，垂足為點E。己知AC＝15，cosA＝。 （1）求線段CD的長； （2）求sin∠DBE的值。 **12. 如圖，已知△ABC是⊙O的內接三角形，AB＝AC，點P是的中點，連接PA、PB、PC。 （1）如圖①，若∠BPC＝60，求證：AC＝AP； （2）如圖②，若sin∠BPC＝，求tan∠PAB的值。  1. A 解析：∵a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90。sinA＝，則csinA＝a，故選項A正確；cosB＝，則ccosB＝a，故選項B錯誤；tanA＝，則＝b，故選項C錯誤；tanB＝，則atanB＝b，故選項D錯誤。 2. B 解析：過點A作AE⊥BD于E，過點C作CF⊥BD于F，∵∠BAD＝∠ADC＝90，AB＝AD＝2，CD＝，∴∠ABD＝∠ADB＝45，∴∠CDF＝90－∠ADB＝45，∵sin∠ABD＝，∴AE＝AB?sin∠ABD＝2?sin45＝2?＝2＞，所以在AB和AD邊上有符合P到BD的距離為的點2個；∵sin∠CDF＝，∴CF＝CD?sin∠CDF＝?＝1＜，所以在邊BC和CD上沒有到BD的距離為的點?？傊?，P到BD的距離為的點有2個。 3. C 解析：點B到AO的距離是指BO的長，∵AB∥OC，∴∠BAO＝∠AOC＝36，∵在Rt△BOA中，∠BOA＝90，AB＝1，∴sin36＝，∴BO＝ABsin36＝sin36，故選項A錯誤；由以上可知，選項B錯誤；過A作AD⊥OC于D，則AD的長是點A到OC的距離，∵∠BAO＝36，∠AOB＝90，∴∠ABO＝54，∵sin36＝，∴AD＝AO?sin36，∵sin54＝，∴AO＝AB?sin54，又∵AB＝1，∴AD＝AB?sin54?sin36＝1sin54?sin36＝sin54?sin36，故選項C正確；由以上可知，選項D錯誤，故選C。 4. A 解析：①設CF＝x，DF＝y(tǒng)，BC＝h，則由已知菱形BFDE得，BF＝DF＝y(tǒng)，由已知得：＝，化簡得：＝，即在△BFC中，cos∠BFC＝＝＝，∴∠BFC＝30。由已知得∠EDF＝30，∴tan∠EDF＝，所以①是真命題。②已知菱形BFDE，∴DF＝DE，S△DEF＝DF?AD＝BD?EF，又DE2＝BD?EF（已知），∴S△DEF＝DE2＝DF2，∴DF?AD＝DF2，∴DF＝2AD，所以②是真命題。故選：A。 5. 6 解析：過點A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC，∴BD＝CD，在Rt△ABD中，∵sin∠ABC＝＝0.8，∴AD＝50.8＝4，則BD＝＝3，∴BC＝BD＋CD＝3＋3＝6。 6. 2 解析：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∵cosA＝，BE＝4，DE⊥AB，∴設AD＝AB＝5x，AE＝3x，則5x－3x＝4，x＝2，即AD＝10，AE＝6，在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE＝＝8，在Rt△BDE中，tan∠DBE＝＝＝2。 7. 6或16 解析：①若∠BAC為銳角，如答圖1所示： ∵AB的垂直平分線是DE，∴AE＝BE，ED⊥AB，AD＝AB，∵AE＝5，tan∠AED＝，∴sin∠AED＝，∴AD＝AE?sin∠AED＝3，∴AB＝6，∴BE＋CE＝AE＋CE＝AC＝AB＝6；②若∠BAC為鈍角，如答圖2所示： 同理可求得：BE＋CE＝16。故答案為：6或16。 8. ； 解析：在△ABD中，BD＝ABsin∠A＝2sin30＝1，AD＝ABcos∠A＝2cos30＝。所以CD＝AC－AD＝AB－AD＝2－，所以tan∠CBD＝＝2－，∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝75－60＝15，即tan15＝2－。BC2＝BD2＋CD2＝8－4＝（－）2，所以BC＝－。 9. 解：在Rt△ABC中，∠C＝90，AB＝10，sinA＝＝＝，∴BC＝4，根據勾股定理得：AC＝＝2，則tanB＝＝＝。 10. 解：∵AD⊥BC于點D，∴∠ADB＝∠ADC＝90。在Rt△ABD中，∵AB＝8，∠ABD＝30，∴AD＝ABsin∠ABD＝AB＝4，BD＝ABcos∠ABD＝AB＝4。在Rt△ADC中，∵∠CAD＝45，∠ADC＝90，∴DC＝AD＝4，∴BC＝BD＋DC＝4＋4。 11. 解：（1）在Rt△ABC中，cosA＝，∵AC＝15，∴AB＝＝15＝25。又∵點D是Rt△ABC斜邊AB的中點，∴CD＝AB＝；（2）∵點D是AB的中點，∴△ACD、△BCD都是等腰三角形，∴∠ADC＝∠ACD，∠BCD＝∠CBD?！摺螦DC＝∠BDE＝90－∠DBE，∠ACD＝90－∠BCD＝90－∠CBD，∴∠DBE＝∠CBD?！鄐in∠DBE＝sin∠CBD＝=＝。 12. 解：（1）∵∠BPC＝60，∴∠BAC＝60，∵AB＝AC，∴△ABC為等邊三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60，∴∠APC＝∠ABC＝60，而點P是的中點，∴∠ACP＝∠ACB＝30，∴∠PAC＝90，∴tan∠PCA＝＝tan30＝，∴AC＝PA；（2）過A點作AD⊥BC交BC于D，連接OP交AB于E，如圖，∵AB＝AC，∴AD平分BC，∴點O在AD上，連接OB，則∠BOD＝∠BAC，∵∠BPC＝∠BAC，∴sin∠BOD＝sin∠BPC＝＝，設OB＝25x，則BD＝24x，∴OD＝＝7x，在Rt△ABD中，AD＝25x＋7x＝32x，BD＝24x，∴AB＝＝40x，∵點P是的中點，∴OP垂直平分AB，∴AE＝AB＝20x，∠AEP＝∠AEO＝90，在Rt△AEO中，OE＝＝15x，∴PE＝OP－OE＝25x－15x＝10x，在Rt△APE中，tan∠PAE＝＝＝，即tan∠PAB的值為。