陜西省吳堡縣吳堡中學高中數(shù)學 第四章 數(shù)系的擴充 數(shù)系的擴充典型例題講解素材 北師大版選修

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1、 “數(shù)系的擴充”例題精析 例1 實數(shù)m分別取什么數(shù)時，復數(shù)z=(1+i)m2+(5－2i)m+6－15i是①實數(shù)；②虛數(shù)；③純虛數(shù)；④對應的點在第三象限；⑤對應的點在直線x+y+4=0上；⑥共軛復數(shù)的虛部為12. 分析:本題是一道考查復數(shù)概念的題目.解題的關鍵是把復數(shù)化成z=a+bi(a、b∈R)的形式，然后根據(jù)復數(shù)的分類標準對其實部與虛部進行討論，由其滿足的條件進行解題. 解: z=(1+i)m2+(5－2i)m+6－15i =(m2+5m+6)+(m2－2m－15)i. ∵m∈R,∴z的實部為m2+5m+6,虛部為m2－2m－15. ①要使z為實數(shù)，必有∴m=5或m=－3.

2、 ②要使z為虛數(shù)，必有m2－2m－15≠0,∴m≠5且m≠－3. ③要使z為純虛數(shù)，必有 即 ∴m=－2. ④要使z對應的點在第三象限， 必有 ∴－3

3、整理成z=a+bi(a、 1 / 3 b∈R)的形式，明確復數(shù)的實部與虛部，由復數(shù)相等的充要條件或?qū)嵅颗c虛部滿足的條件，列出方程(組)或不等式(組)，通過解方程(組)或不等式(組)達到解決問題之目的. 例2 已知復數(shù)z1滿足(z1－2)i=1+i，復數(shù)z2的虛部為2，且z1z2是實數(shù)，求復數(shù)z2. 分析:本題考查復數(shù)的基本概念和基本運算，屬“較易”的試題.解題的關鍵是根據(jù)復數(shù)相等的充要條件或?qū)嵅颗c虛部滿足的條件，求得復數(shù)的實部和虛部. 解:由(z1－2)i=1+i,得z1=+2=(1+i)(－i)+2=3－i. ∵z2的虛部為2，∴可設z2=a+2i(a∈R), z1z2=(

4、3－i)(a+2i)=(3a+2)+(6－a)i為實數(shù)， ∴6－a=0,即a=6. 因此z2=6+2i. 評注: 掌握復數(shù)代數(shù)形式的加、減、乘、除運算是本章的基礎，也是重點，要牢記復數(shù)的四種運算法則. 例3 復平面內(nèi)點A對應的復數(shù)是1,過點A作虛軸的平行線l,設l上的點對應的復數(shù)為z,求所對應的點的軌跡. 分析:本題考查復平面上點的軌跡方程.因為在復平面內(nèi)點A的坐標為(1,0),l過點A且平行于虛軸,所以直線l上的點對應的復數(shù)z的實部為1,可設為z=1+bi(b∈R),然后再求所對應的點的集合. 解:如圖.因為點A對應的復數(shù)為1,直線l過點A且平行于虛軸,所以可設直線l上的點對

5、應的復數(shù)為z=1+bi(b∈R). 因此. 設=x+yi(x、y∈R),于是x+yi=i. 根據(jù)復數(shù)相等的條件,有 消去b,有x2+y2= ===x. 所以x2+y2=x(x≠0), 即(x－)2+y2=(x≠0). 所以所對應的點的集合是以(,0)為圓心,為半徑的圓,但不包括原點O(0,0). 評注:一般說來,求哪個動點的軌跡方程就設哪個動點的坐標為(x,y).所謂動點的軌跡方程就是動點坐標(x,y)所滿足的等量關系.常見求曲線方程的方法有:軌跡法、待定系數(shù)法、代入法、參數(shù)法等.若把參數(shù)方程中的參數(shù)消去,就可把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成普通方程.無論用什么方法求得曲線的方程,都要注意檢驗以方程的解為坐標的點是否都在曲線上.對此,常從以下兩個方面入手:一是看對方程的化簡是否采用了非同解變形的手法;二是看是否符合題目的實際意義.其中,用參數(shù)法求得的曲線方程中的x、y的范圍可由參數(shù)函數(shù)的值域來確定. 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！