陜西省吳堡縣吳堡中學高中數學 第一章 統(tǒng)計案例 例談回歸分析的應用素材 北師大版選修

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1、 例談回歸分析的應用 　　在解許多實際應用問題時，運用回歸分析的基本思想，通過構建回歸模型去刻畫解釋變量與預報變量的關系，并利用模型，對解釋變量的某個值去預測相應預報變量的某個值，從而使問題得到解決． 　　建立回歸模型解實際問題的步驟是： 　　（1）確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預報變量； 　?。?）畫出確定好的解釋變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系； 　　（3）由經驗確定回歸方程的類型，即擬合直線或擬合曲線； 　　（4）按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數，從而求出擬合直線或擬合曲線的函數關系式； 　?。?）利用函數關系式，根據條件對所給問題進行預測和控制

2、，以便為決策提供依據． 　　下面舉例說明． 　　例1　某商場經營一批進價是30元/臺的小商品，在市場試驗中發(fā)現，此商品的銷售單價元與日銷售量臺之間有如下關系： 35 40 45 50 56 41 28 11 　?。?）與是否具有線性相關關系？如果具有線性相關關系，求出回歸直線方程； 　?。?）設經營此商品的日銷售利潤為元，根據（1）寫出關于的函數關系式并預測當銷售單價為多少元時，才能獲得最大日銷售利潤． 　　解析：（1）散點圖如右圖所示，并從圖中可以看出， 這些點大致分布在一條直線附近，因此兩個變量線性相關． 　　設回歸直線為，則由公式求 得，． 　　

3、∴； 　　（2）依題意有， 　　∴當時，有最大值約為． 　　即預測銷售單價為元時，才能獲得最大日銷售利潤． 1 / 3 　　點評：本題主要考查構建線性回歸模型在解決實際問題中的應用． 　　例2　某國從1790年至1950年人口數據資料： 時間 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 人口 （百萬） 3.929 5.308 7.24 9.368 12.866 17.069 23.182 31.43

4、3 38.558 50.156 62.948 75.995 91.972 105.711 122.775 131.669 150.697 　　試利用上述資料預測該國1980年的人口數（假設該國政治、社會、經濟環(huán)境穩(wěn)定，且人口數相對于時間是連續(xù)的）． 　　分析：以軸代表年度，軸代表人口數，建立直角坐標系，畫出散點圖（略），并觀察散點圖可以發(fā)現，從1890年以后散點近似分布在一條直線上；而從散點圖的整體趨勢來看，也可以認為散點近似分布在一條拋物線上，故可采用線性回歸模型擬合，或采用二次函數模型擬合． 　　解法一：由散點圖可以看出，1890年以后散點大致分布在一條直線上，設線

5、性回歸直線方程為，由公式求得， 即． 　　∴當時，，即1980年該國人口預測為194.859百萬人． 　　解法二：從散點的整體趨勢看，散點近似分布在一條以直線為對稱軸，以點（1790，3.929）為頂點的拋物線上，再任意選一點（1890，62.948）確定拋物線方程為． 　　∴當時，，即該國人口預測為216.919百萬人． 　　點評：本題主要考查重視對信息、圖表的分析，提取，加工和處理能力．兩種解法，由于考慮問題和觀察角度不同，所得到結論和答案也不相同，線性回歸模型是在依據部分已知數據的基礎上作出的，因此精確度比較差；而二次函數模型是根據全部已知數據的分布趨勢擬合的，因而有較高的精確度．當然，同學們可以進一步利用回歸分析的方法，通過利用相關指數來比較兩個模型的擬合效果． 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！