自動(dòng)控制理論-數(shù)學(xué)模型.ppt

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Tuesday,December17,2019,1,第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,Tuesday,December17,2019,2,本章的主要內(nèi)容,控制系統(tǒng)的微分方程-建立和求解控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖-等效變換控制系統(tǒng)的信號(hào)流圖-梅遜公式各種數(shù)學(xué)模型的相互轉(zhuǎn)換,Tuesday,December17,2019,3,概述,[數(shù)學(xué)模型]：我們把描述系統(tǒng)或元件的動(dòng)態(tài)過(guò)程中各變量之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式叫做系統(tǒng)或元件的數(shù)學(xué)模型。,概述,Tuesday,December17,2019,4,分析法——對(duì)系統(tǒng)各部分的運(yùn)動(dòng)機(jī)理進(jìn)行分析，物理規(guī)律、化學(xué)規(guī)律實(shí)驗(yàn)法——人為施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄基本輸出響應(yīng)。,建立控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法,Tuesday,December17,2019,5,數(shù)學(xué)模型的幾種表示方式,Tuesday,December17,2019,6,控制系統(tǒng)如按照數(shù)學(xué)模型分類(lèi)的話(huà)，可以分為線性和非線性系統(tǒng)，定常系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)。,例如對(duì)一個(gè)微分方程，若已知初值和輸入值，對(duì)微分方程求解，就可以得出輸出量的時(shí)域表達(dá)式。據(jù)此可對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析。所以建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析的第一步也是最重要的一步。,常用的數(shù)學(xué)模型有微分方程，傳遞函數(shù)，結(jié)構(gòu)圖，信號(hào)流圖，頻率特性以及狀態(tài)空間描述等。,Tuesday,December17,2019,7,[線性系統(tǒng)]：如果系統(tǒng)滿(mǎn)足疊加原理，則稱(chēng)其為線性系統(tǒng)。疊加原理說(shuō)明，兩個(gè)不同的作用函數(shù)同時(shí)作用于系統(tǒng)的響應(yīng)，等于兩個(gè)作用函數(shù)單獨(dú)作用的響應(yīng)之和。,線性系統(tǒng)對(duì)幾個(gè)輸入量同時(shí)作用的響應(yīng)可以一個(gè)一個(gè)地處理，然后對(duì)每一個(gè)輸入量響應(yīng)的結(jié)果進(jìn)行疊加。,[線性定常系統(tǒng)和線性時(shí)變系統(tǒng)]：可以用線性定常（常系數(shù)）微分方程描述的系統(tǒng)稱(chēng)為線性定常系統(tǒng)。如果描述系統(tǒng)的微分方程的系數(shù)是時(shí)間的函數(shù)，則這類(lèi)系統(tǒng)為線性時(shí)變系統(tǒng)。,宇宙飛船控制系統(tǒng)就是時(shí)變控制的一個(gè)例子（宇宙飛船的質(zhì)量隨著燃料的消耗而變化）。,概述,Tuesday,December17,2019,8,古典控制理論中，采用的是單輸入單輸出描述方法。主要是針對(duì)線性定常系統(tǒng)，對(duì)于非線性系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)，解決問(wèn)題的能力是極其有限的。,概述,Tuesday,December17,2019,9,2.1控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型——微分方程,Tuesday,December17,2019,10,微分方程的編寫(xiě)應(yīng)根據(jù)組成系統(tǒng)各元件工作過(guò)程中所遵循的物理定理來(lái)進(jìn)行。例如：電路中的基爾霍夫電路定理，力學(xué)中的牛頓定理，熱力學(xué)中的熱力學(xué)定理等。,控制系統(tǒng)的微分方程,Tuesday,December17,2019,11,控制系統(tǒng)的微分方程,[例2-1]：寫(xiě)出RC串聯(lián)電路的微分方程。,,由②：，代入①得：這是一個(gè)線性定常一階微分方程。,Tuesday,December17,2019,12,由②：，代入①得：這是一個(gè)線性定常二階微分方程。,[例2-2]：寫(xiě)出RLC串聯(lián)電路的微分方程。,Tuesday,December17,2019,13,[例2-3]求彈簧-阻尼-質(zhì)量的機(jī)械位移系統(tǒng)的微分方程。輸入量為外力F，輸出量為位移x。,[解]：圖1和圖2分別為系統(tǒng)原理結(jié)構(gòu)圖和質(zhì)量塊受力分析圖。圖中，m為質(zhì)量，f為粘性阻尼系數(shù)，k為彈性系數(shù)。,根據(jù)牛頓定理，可列出質(zhì)量塊的力平衡方程如下：這也是一個(gè)兩階定常微分方程。X為輸出量，F(xiàn)為輸入量。,控制系統(tǒng)的微分方程,Tuesday,December17,2019,14,[需要討論的幾個(gè)問(wèn)題]：,1、相似系統(tǒng)和相似量：,可見(jiàn)，同一物理系統(tǒng)有不同形式的數(shù)學(xué)模型，而不同類(lèi)型的系統(tǒng)也可以有相同形式的數(shù)學(xué)模型。,相似系統(tǒng)和相似量,[作用]利用相似系統(tǒng)的概念可以用一個(gè)易于實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)來(lái)模擬相對(duì)復(fù)雜的系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)仿真研究。,我們注意到例2-2和例2-3的微分方程形式是完全一樣的。,Tuesday,December17,2019,15,2、非線性元件（環(huán)節(jié)）微分方程的線性化在經(jīng)典控制領(lǐng)域，主要研究的是線性定?？刂葡到y(tǒng)。如果描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性常系數(shù)的微分方程，則稱(chēng)該系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)，其最重要的特性：（1）線性疊加原理：系統(tǒng)的總輸出可以由若干個(gè)輸入引起的輸出疊加得到。（2）均勻性原理：輸入輸出域內(nèi)保持比例因子不變,非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化,Tuesday,December17,2019,16,若描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是非線性（微分）方程，則相應(yīng)的系統(tǒng)稱(chēng)為非線性系統(tǒng)，這種系統(tǒng)不能用線性疊加原理。在經(jīng)典控制領(lǐng)域?qū)Ψ蔷€性環(huán)節(jié)的處理能力是很小的。但在工程應(yīng)用中，除了含有強(qiáng)非線性環(huán)節(jié)或系統(tǒng)參數(shù)隨時(shí)間變化較大的情況，一般采用近似的線性化方法。對(duì)于非線性方程，可在工作點(diǎn)附近用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，取前面的線性項(xiàng)?？梢缘玫降刃У木€性環(huán)節(jié)。,設(shè)具有連續(xù)變化的非線性函數(shù)為:y=f(x)，若取某一平衡狀態(tài)為工作點(diǎn)，如下圖中的。A點(diǎn)附近有點(diǎn)為，當(dāng)很小時(shí)，AB段可近似看做線性的。,非線性環(huán)節(jié)微分方程的線性化,Tuesday,December17,2019,17,3.線性系統(tǒng)微分方程的編寫(xiě)步驟：,⑴確定系統(tǒng)和各元部件的輸入量和輸出量。,⑵對(duì)系統(tǒng)中每一個(gè)元件列寫(xiě)出與其輸入、輸出量有關(guān)的物理的方程。,⑶對(duì)上述方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，比如略去一些對(duì)系統(tǒng)影響小的次要因素，對(duì)非線性元部件進(jìn)行線性化等。,⑷從系統(tǒng)的輸入端開(kāi)始，按照信號(hào)的傳遞順序，在所有元部件的方程中消去中間變量，最后得到描述系統(tǒng)輸入和輸出關(guān)系的微分方程。,線性系統(tǒng)微分方程的編寫(xiě)步驟,Tuesday,December17,2019,18,[例2-4]：編寫(xiě)下圖所示的速度控制系統(tǒng)的微分方程。,線性系統(tǒng)微分方程的編寫(xiě)例子[例2-4],Tuesday,December17,2019,19,線性系統(tǒng)微分方程的編寫(xiě)例子[例2-4],⑸消去中間變量：推出之間的關(guān)系：顯然，轉(zhuǎn)速既與輸入量有關(guān)，也與干擾有關(guān)。,,Tuesday,December17,2019,20,2.2控制系統(tǒng)復(fù)域數(shù)學(xué)模型,Tuesday,December17,2019,21,傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最重要的數(shù)學(xué)模型之一。利用傳遞函數(shù)，可以：,不必求解微分方程就可以研究零初始條件系統(tǒng)在輸入作用下的動(dòng)態(tài)過(guò)程。,了解系統(tǒng)參數(shù)或結(jié)構(gòu)變化時(shí)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程的影響--分析,可以對(duì)系統(tǒng)性能的要求轉(zhuǎn)化為對(duì)傳遞函數(shù)的要求---綜合,傳遞函數(shù)的基本概念,Tuesday,December17,2019,22,將上式求拉氏變化，得(令初始值為零）,當(dāng)傳遞函數(shù)和輸入已知時(shí)Y(s)=G(s)X(s)。通過(guò)反變換可求出時(shí)域表達(dá)式y(tǒng)(t)。,傳遞函數(shù)的基本概念,稱(chēng)為環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),2.2.1、傳遞函數(shù)的基本概念,Tuesday,December17,2019,23,[關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明],傳遞函數(shù)的概念適用于線性定常系統(tǒng)，它與線性常系數(shù)微分方程一一對(duì)應(yīng)。且與系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性一一對(duì)應(yīng)。傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)或元件的學(xué)科屬性和物理性質(zhì)。物理性質(zhì)和學(xué)科類(lèi)別截然不同的系統(tǒng)可能具有完全相同的傳遞函數(shù)。而研究某傳遞函數(shù)所得結(jié)論可適用于具有這種傳遞函數(shù)的各種系統(tǒng)。傳遞函數(shù)僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與系統(tǒng)的輸入無(wú)關(guān)。只反映了輸入和輸出之間的關(guān)系，不反映中間變量的關(guān)系。傳遞函數(shù)的概念主要適用于單輸入單輸出系統(tǒng)。若系統(tǒng)有多個(gè)輸入信號(hào)，在求傳遞函數(shù)時(shí)，除了一個(gè)有關(guān)的輸入外，其它的輸入量一概視為零。傳遞函數(shù)忽略了初始條件的影響。傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)是s的有理分式，對(duì)實(shí)際系統(tǒng)而言分母的階次n大于分子的階次m，此時(shí)稱(chēng)為n階系統(tǒng)。,傳遞函數(shù)的基本概念,Tuesday,December17,2019,24,傳遞函數(shù)的基本概念,[例2-5]求電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)。[解]已知電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)的微分方程為：,方程兩邊求拉氏變換為：,令，得轉(zhuǎn)速對(duì)電樞電壓的傳遞函數(shù)：,令，得轉(zhuǎn)速對(duì)負(fù)載力矩的傳遞函數(shù)：,最后利用疊加原理得轉(zhuǎn)速表示為：,Tuesday,December17,2019,25,傳遞函數(shù)的基本概念,[例2-6]求下圖的傳遞函數(shù)：,Tuesday,December17,2019,26,傳遞函數(shù)的基本概念例2,[例2-6]求下圖的傳遞函數(shù)（運(yùn)算電路法）,Tuesday,December17,2019,27,傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式,[傳遞函數(shù)的幾種表達(dá)形式]：,表示成零點(diǎn)、極點(diǎn)形式：,Tuesday,December17,2019,28,傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式,寫(xiě)成時(shí)間常數(shù)形式：,Tuesday,December17,2019,29,若有零值極點(diǎn)，則傳遞函數(shù)的通式可以寫(xiě)成：,傳遞函數(shù)的表現(xiàn)形式,從上式可以看出：傳遞函數(shù)是一些基本因子的乘積。這些基本因子就是典型環(huán)節(jié)所對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)，是一些最簡(jiǎn)單、最基本的一些形式。,Tuesday,December17,2019,30,典型環(huán)節(jié)有比例、積分、慣性、振蕩、微分和延遲環(huán)節(jié)等多種。以下分別討論典型環(huán)節(jié)的時(shí)域特征和復(fù)域（s域）特征。時(shí)域特征包括微分方程和單位階躍輸入下的輸出響應(yīng)。s域特性研究系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布。,比例環(huán)節(jié)又稱(chēng)為放大環(huán)節(jié)。k為放大系數(shù)。實(shí)例：可調(diào)電位器，放大器，無(wú)間隙無(wú)變形齒輪傳動(dòng)等。,2.2.3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),Tuesday,December17,2019,31,積分環(huán)節(jié),Tuesday,December17,2019,32,積分環(huán)節(jié)實(shí)例,Tuesday,December17,2019,33,（三）慣性環(huán)節(jié),當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí),有，可解得：，式中：k為放大系數(shù)，T為時(shí)間常數(shù)。,慣性環(huán)節(jié),Tuesday,December17,2019,34,兩個(gè)實(shí)例：,慣性環(huán)節(jié)實(shí)例,Tuesday,December17,2019,35,振蕩環(huán)節(jié),（四）振蕩環(huán)節(jié)：時(shí)域方程：,傳遞函數(shù)：,上述傳遞函數(shù)有兩種情況：,Tuesday,December17,2019,36,振蕩環(huán)節(jié)分析,則,Tuesday,December17,2019,37,微分環(huán)節(jié),,（五）微分環(huán)節(jié)：微分環(huán)節(jié)的時(shí)域形式有三種形式：①②③,相應(yīng)的傳遞函數(shù)為：①②③,分別稱(chēng)為：純微分，一階微分和二階微分環(huán)節(jié)。微分環(huán)節(jié)沒(méi)有極點(diǎn)，只有零點(diǎn)。分別是零、實(shí)數(shù)和一對(duì)共軛零點(diǎn)若(）在實(shí)際系統(tǒng)中，由于存在慣性，單純的微分環(huán)節(jié)是不存在的，一般都是微分環(huán)節(jié)加慣性環(huán)節(jié)。,Tuesday,December17,2019,38,式中：,[實(shí)例],微分環(huán)節(jié)實(shí)例,Tuesday,December17,2019,39,延遲環(huán)節(jié),（六）延遲環(huán)節(jié)：又稱(chēng)時(shí)滯，時(shí)延環(huán)節(jié)。它的輸出是經(jīng)過(guò)一個(gè)延遲時(shí)間后，完全復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)。如右圖所示。其傳遞函數(shù)為：,Tuesday,December17,2019,40,（七）其他環(huán)節(jié)：還有一些環(huán)節(jié)如等，它們的極點(diǎn)在s平面的右半平面，我們以后會(huì)看到，這種環(huán)節(jié)是不穩(wěn)定的。稱(chēng)為不穩(wěn)定環(huán)節(jié)。,其他環(huán)節(jié),Tuesday,December17,2019,41,①定義：如果有一個(gè)以時(shí)間t為自變量的函數(shù)f(t)，它的定義域t>0，那么下式即是拉氏變換式：,式中s為復(fù)數(shù)。記作,F(s)—象函數(shù)，f(t)—原函數(shù)。記為拉氏反變換。,復(fù)習(xí)拉氏變換,復(fù)習(xí)拉氏變換,Tuesday,December17,2019,42,⑴線性性質(zhì)：,⑵微分定理：,⑶積分定理：（設(shè)初值為零）,⑷時(shí)滯定理：,⑸初值定理：,復(fù)習(xí)拉氏變換,②性質(zhì)：,Tuesday,December17,2019,43,⑹終值定理：,③常用函數(shù)的拉氏變換：?jiǎn)挝浑A躍函數(shù)：?jiǎn)挝幻}沖函數(shù)：?jiǎn)挝恍逼潞瘮?shù)：?jiǎn)挝粧佄锞€函數(shù)：正弦函數(shù)：其他函數(shù)可以查閱相關(guān)表格獲得。,復(fù)習(xí)拉氏變換,,Tuesday,December17,2019,44,二.拉氏反變換1.定義：從象函數(shù)F(s)求原函數(shù)f(t)的運(yùn)算稱(chēng)為拉氏反變換。記為。由F(s)可按下式求出式中C是實(shí)常數(shù)，而且大于F(s)所有極點(diǎn)的實(shí)部。直接按上式求原函數(shù)太復(fù)雜，一般都用查拉氏變換表的方法求拉氏反變換，但F(s)必須是一種能直接查到的原函數(shù)的形式。,Tuesday,December17,2019,45,若F(s)不能在表中直接找到原函數(shù)，則需要將F(s)展開(kāi)成若干部分分式之和，而這些部分分式的拉氏變換在表中可以查到。例1：例2：求的逆變換。解：,Tuesday,December17,2019,46,例3.,Tuesday,December17,2019,47,2.拉式反變換——部分分式展開(kāi)式的求法（1）情況一:F(s)有不同極點(diǎn),這時(shí),F(s)總能展開(kāi)成如下簡(jiǎn)單的部分分式之和,Tuesday,December17,2019,48,Tuesday,December17,2019,49,