自動控制原理第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型.ppt

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1,第二步：聯(lián)立各環(huán)節(jié)的數(shù)學表達式，消去中間變量，得到描述系統(tǒng)輸出、輸入關(guān)系的微分方程。,第一步：首先明確什么是輸入輸出量，將系統(tǒng)分成若干個環(huán)節(jié)，列寫各環(huán)節(jié)的輸出輸入的數(shù)學表達式。,利用適當?shù)奈锢矶伞缗ｎD定律、基爾霍夫電流和電壓定律、能量守恒定律等。,,復習,1、建立系統(tǒng)的微分方程,2,2、線性微分方程的求解,拉普拉斯變換法求解微分方程基本步驟：,（1）考慮初始條件，對微分方程中的各項進行拉式變換，變成變量s的代數(shù)方程。,,（2）由變量s的代數(shù)方程求出系統(tǒng)輸出量的拉式變換式。,,（3）對輸出量的拉式變換式進行拉式反變換，得到系統(tǒng)微分方程的解。,,3,2-2控制系統(tǒng)的復數(shù)域數(shù)學模型——傳遞函數(shù),2.2.1傳遞函數(shù)的定義和主要性質(zhì),傳遞函數(shù)是在用拉氏變換求解線性常微分方程的過程中引申出來的概念。,微分方程是在時域中描述系統(tǒng)動態(tài)性能的數(shù)學模型，在給定外作用和初始條件下，解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出響應。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)變化時分析較麻煩。能否不解方程進行系統(tǒng)分析？,定義：線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。,4,設r(t)和c(t)及其各階系數(shù)在t=0的值均為零，即零初始條件，則對上式中各項分別求拉氏變換，并令C(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代數(shù)方程為：,5,性質(zhì)1傳遞函數(shù)是復變量s的有理真分式函數(shù)，m≤n，且所具有復變量函數(shù)的所有性質(zhì)。（物理可實現(xiàn)）,性質(zhì)2G(s)取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入量的形式（幅度與大?。o關(guān)。,性質(zhì)3G(s)雖然描述了輸出與輸入之間的關(guān)系，但它不提供任何該系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)。因為許多不同的物理系統(tǒng)具有完全相同的傳遞函數(shù)。,性質(zhì)4如果G(s)已知，那么可以研究系統(tǒng)在各種輸入信號作用下的輸出響應。,性質(zhì)5如果系統(tǒng)的G(s)未知，可以給系統(tǒng)加上已知的輸入，研究其輸出，從而得出傳遞函數(shù)，一旦建立G(s)就可獲得該系統(tǒng)動態(tài)特性的完整描述，與其它物理系統(tǒng)描述不同。,6,性質(zhì)6傳遞函數(shù)與微分方程之間有關(guān)系。,如果將置換,,7,[例]求下圖的傳遞函數(shù)：,8,[法2]求下圖的傳遞函數(shù)（復數(shù)阻抗法）,9,傳遞函數(shù)G(s)的零點和極點,2.2.2傳遞函數(shù)G(s)的零點和極點對輸出的影響,10,極點和零點分布圖,11,傳遞函數(shù)的零點影響到各模態(tài)在運動中所占的“比重”,從工程的角度看，決不能認為系統(tǒng)的動態(tài)性質(zhì)唯一地或者主要地由傳遞函數(shù)的極點決定，必須注意到零點的作用。,2.2.3典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù),1、比例環(huán)節(jié)（又叫放大環(huán)節(jié)）特點：輸出量按一定比例復現(xiàn)輸入量，無滯后、失真現(xiàn)象。運動方程:c(t)=Kr(t)K——放大系數(shù)，通常都是有量綱的。傳遞函數(shù)：,比例環(huán)節(jié)又稱為放大環(huán)節(jié)。k為放大系數(shù)。實例：分壓器，放大器，無間隙無變形齒輪傳動等。,例1：輸入：?(t)——角度E——恒定電壓輸出：u(t)——電壓,運動方程：u(t)=K?(t)傳遞函數(shù)：K——比例系數(shù)，量綱為伏/弧度。,例2：輸入：n1(t)——轉(zhuǎn)速Z1——主動輪的齒數(shù)輸出：n2(t)——轉(zhuǎn)速Z2——從動輪的齒數(shù),運動方程：傳遞函數(shù)：,,其它一些比例環(huán)節(jié),2、微分環(huán)節(jié),特點：動態(tài)過程中，輸出量正比于輸入量的變化速度。運動方程：傳遞函數(shù)：,微分環(huán)節(jié)沒有極點，只有零點。分別是零、實數(shù)和一對共軛零點（若）。在實際系統(tǒng)中，由于存在慣性，單純的微分環(huán)節(jié)是不存在的，一般都是微分環(huán)節(jié)加慣性環(huán)節(jié)。,例1RC電路設：輸入——ur(t)輸出——uc(t)消去i(t)，得到：運動方程：傳遞函數(shù)：（Tc=RC）當Tc<<1時，又可表示成：,,3、積分環(huán)節(jié),特點：輸出量的變化速度和輸入量成正比。運動方程：傳遞函數(shù)：,例1：積分電路,輸入為r(t)，輸出為c(t)運動方程：傳遞函數(shù)：（T=R1C）,,4、慣性環(huán)節(jié)(又叫惰性環(huán)節(jié)),特點：此環(huán)節(jié)中含有一個獨立的儲能元件，以致對突變的輸入來說，輸出不能立即復現(xiàn)，存在時間上的延遲。運動方程：傳遞函數(shù)：,RC充電電路,時間常數(shù)T＝RC，當T小時，充電快,21,求單位階躍輸入的輸出響應：,例：單容水槽（水位控制系統(tǒng)的被控對象）,5、振蕩環(huán)節(jié),特點：包含兩個獨立的儲能元件，當輸入量發(fā)生變化時，兩個儲能元件的能量進行交換，使輸出帶有振蕩的性質(zhì)。運動方程：傳遞函數(shù)：式中：?——阻尼比，T——振蕩環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。,24,上述傳遞函數(shù)有兩種情況：,則,25,[分析]：y(t)的上升過程是振幅按指數(shù)曲線衰減的的正弦運動。與有關(guān)。反映系統(tǒng)的阻尼程度，稱為阻尼系數(shù)，稱為無阻尼振蕩圓頻率。當時，曲線單調(diào)升，無振蕩。當時，曲線衰減振蕩。越小，振蕩越厲害。,例1：RLC電路,解：消去中間變量i(t)得到運動方程：傳遞函數(shù)：,例2：機械裝置,輸入----------力：f(t)，輸出----------位移：x(t)。微分方程式中：K——彈簧彈性系數(shù)；M——物體的質(zhì)量，B——粘性摩擦系數(shù)。傳遞函數(shù)：,6、一階微分環(huán)節(jié),特點：此環(huán)節(jié)的輸出量不僅與輸入量本身有關(guān)，而且與輸入量的變化率有關(guān)運動方程：傳遞函數(shù)：G(s)=Ts+1,RC電路,一階微分環(huán)節(jié)可看成一個微分環(huán)節(jié)與一個比例環(huán)節(jié)的并聯(lián)，其傳遞函數(shù)和頻率特性是慣性環(huán)節(jié)的倒數(shù)。,7、二階微分環(huán)節(jié),特點：輸出與輸入及輸入一階、二階導數(shù)都有關(guān)運動方程：傳遞函數(shù)：可以看出，二階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)是振蕩環(huán)節(jié)的倒數(shù)。,特點：c(t)完全復現(xiàn)r(t)，但滯后一個固定時間,8、延遲環(huán)節(jié)（時滯、滯后）,,在實際中，大量系統(tǒng)都存在滯后，當滯后不嚴重時，常忽略。延遲環(huán)節(jié)是一個非線性的超越函數(shù)，所以有延遲的系統(tǒng)是很難分析和控制的。為簡單起見，化簡如下：,或,有純延遲的單容水槽,9、其他環(huán)節(jié)：還有一些環(huán)節(jié)如等，它們的極點在s平面的右半平面，我們以后會看到，這種環(huán)節(jié)是不穩(wěn)定的。稱為不穩(wěn)定環(huán)節(jié)。,34,右圖所示為電樞控制直流電動機的微分方程，要求取電樞電壓Ua(t)(v)為輸入量，電動機轉(zhuǎn)速ωm(t)(rad/s)為輸出量，列寫微分方程。圖中Ra(Ω)、La(H)分別是電樞電路的電阻和電感，Mc(NM)是折合到電動機軸上的總負載轉(zhuǎn)距。激磁磁通為常值。,,＋,實例：電樞控制直流伺服電動機,,35,解：電樞控制直流電動機的工作實質(zhì)是將輸入的,電能轉(zhuǎn)換為機械能，也就是由輸入的電樞電壓Ua(t)在電樞回路中產(chǎn)生電樞電流ia(t)，再由電流ia(t)與激磁磁通相互作用產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)距Mm(t)，從而拖動負載運動。因此，直流電動機的運動方程可由以下三部分組成。電樞回路電壓平衡方程電磁轉(zhuǎn)距方程電動機軸上的轉(zhuǎn)距平衡方程,36,,①,Ea是電樞反電勢，它是當電樞旋轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的反電勢，其大小與激磁磁通及轉(zhuǎn)速成正比，方向與電樞電壓Ua(t)相反，即Ea=Ceωm(t)②Ce－反電勢系數(shù)(v/rad/s),電樞回路電壓平衡方程：,37,,③,④,-電動機轉(zhuǎn)距系數(shù)（Nm/A）是電動機轉(zhuǎn)距系數(shù),-是由電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)距（Nm）,電動機軸上的轉(zhuǎn)距平衡方程：,fm-電動機和負載折合到電動機軸上的粘性摩擦系數(shù)（Nm/rad/s）,Jm－轉(zhuǎn)動慣量（電動機和負載折合到電動機軸上的）kgm,電磁轉(zhuǎn)距方程：,38,,,,,,,,,電動機機電時間常數(shù)（s）,⑤,⑥,在工程應用中，由于電樞電路電感La較小，通常忽略不計，因而⑤可簡化為,③、④求出ia(t)，代入①同時②亦代入①得：,39,,可視為負載擾動轉(zhuǎn)矩。根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，分別求,＝0,,由傳遞函數(shù)定義,,A令,B令,,,40,,,,,,同一個系統(tǒng)有多個傳遞函數(shù)注：輸入或輸出不一樣,小結(jié),（1）不同物理性質(zhì)的系統(tǒng)，可以有相同形式的傳遞函數(shù)。例如：前面介紹的振蕩環(huán)節(jié)中兩個例子，一個是機械系統(tǒng)，另一個是電氣系統(tǒng)，但傳遞函數(shù)的形式完全相同。（2）同一個系統(tǒng)，當選取不同的輸入量、輸出量時，就可能得到不同形式的傳遞函數(shù)。例如：電容：輸入—電流，輸出—電壓，則是積分環(huán)節(jié)。反之，輸入—電壓，輸出—電流，則為微分環(huán)節(jié)。,