測(cè)量平差第四章平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理.ppt

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同學(xué)們，我們學(xué)習(xí)了誤差理論的基本概念。那么如何處理觀測(cè)數(shù)據(jù)、在處理數(shù)據(jù)中遵循何種原則？本次課程我們將簡(jiǎn)要地?cái)⑹鲞@一問題。,第四章平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理,4.1測(cè)量平差概述4.2函數(shù)模型4.3函數(shù)模型線性化4.4測(cè)量平差的數(shù)學(xué)模型4.5參數(shù)估計(jì)與最小二乘原理,Chapter4MathematicalModelofAdjustmentandPrincipleofLeastSquares,4.1測(cè)量平差概述General,一、測(cè)量控制網(wǎng)簡(jiǎn)介1.高程控制網(wǎng)(水準(zhǔn)網(wǎng)或三角高程網(wǎng))包括閉合水準(zhǔn)網(wǎng)和符合水準(zhǔn)網(wǎng)、三角高程網(wǎng)網(wǎng)中元素：已知高程點(diǎn)，未知高程點(diǎn)和高差觀測(cè)值距離測(cè)站數(shù),2.平面控制網(wǎng)1）三角網(wǎng)：包括測(cè)角三角網(wǎng)、測(cè)邊三角網(wǎng)和邊角同測(cè)三角網(wǎng)。（1）測(cè)角三角網(wǎng)：包括獨(dú)立三角網(wǎng)和符合三角網(wǎng)。網(wǎng)中元素：已知點(diǎn)、未知、角度觀測(cè)值,,,,,,（2）測(cè)邊三角網(wǎng)：包括獨(dú)立測(cè)邊網(wǎng)和符合測(cè)邊網(wǎng)網(wǎng)中元素：已知點(diǎn)，未知點(diǎn)和觀測(cè)邊長(zhǎng),（3）邊角三角網(wǎng)：包括獨(dú)立邊角網(wǎng)和符合邊角網(wǎng)。網(wǎng)中元素：已知點(diǎn)，未知點(diǎn)，觀測(cè)角度和邊長(zhǎng),,,,,2）導(dǎo)線網(wǎng)：包括獨(dú)立導(dǎo)線網(wǎng)和符合導(dǎo)線網(wǎng)。網(wǎng)中元素：已知點(diǎn)，未知點(diǎn)，觀測(cè)角度和邊長(zhǎng)。3）三維GPS控制網(wǎng)網(wǎng)中元素：已知點(diǎn)，未知點(diǎn)，基線向量。,,二、必要起算數(shù)據(jù)確定幾何（物理）圖形的位置所必須具有的已知數(shù)據(jù)：起算數(shù)據(jù)①水準(zhǔn)網(wǎng)（三角高程網(wǎng)）：②測(cè)角網(wǎng)：③測(cè)邊網(wǎng)和邊角網(wǎng)：,,確定幾何（物理）圖形的位置所必須具有的已知數(shù)據(jù)：起算數(shù)據(jù)水準(zhǔn)網(wǎng)（三角高程網(wǎng)）：,：一個(gè)已知點(diǎn)高程,,確定幾何（物理）圖形的位置所必須具有的已知數(shù)據(jù)：起算數(shù)據(jù)②測(cè)角網(wǎng)：,（1）兩個(gè)相鄰點(diǎn)坐標(biāo)（2）一個(gè)已知點(diǎn)坐標(biāo)，一個(gè)相鄰已知方位，一個(gè)相鄰已知邊長(zhǎng)。,,③測(cè)邊網(wǎng)和邊角網(wǎng)：,,一個(gè)已知點(diǎn)坐標(biāo)，一個(gè)相鄰已知方位，一個(gè)相鄰已知邊長(zhǎng)或兩個(gè)相鄰點(diǎn)坐標(biāo)。,,三、必要觀測(cè)必要觀測(cè)/必要元素：唯一確定一個(gè)確定幾何、物理模型的形狀、大小所必須進(jìn)行的觀測(cè)稱為必要觀測(cè)，其符號(hào)用符號(hào)t表示。必要元素的特點(diǎn)：（1）元素的個(gè)數(shù)僅與幾何模型有關(guān)而與實(shí)際觀測(cè)量無關(guān)（2）必要元素之間函數(shù)獨(dú)立,,必要觀測(cè)量？條件方程？必要觀測(cè)量？條件方程？,,,,,,,,,四、多余觀測(cè)必要觀測(cè)之外的觀測(cè)稱為多余觀測(cè)，其數(shù)目用符號(hào)r表示。多余觀測(cè)數(shù)＝觀測(cè)總數(shù)－必要觀測(cè)數(shù)（r=n-t）與控制網(wǎng)有關(guān)幾個(gè)基本概念：必要觀測(cè)、觀測(cè)量、起算數(shù)據(jù)、多余起算數(shù)據(jù)待求量,必要觀測(cè)的特點(diǎn)：元素的個(gè)數(shù)僅與幾何模型有關(guān)而與實(shí)際觀測(cè)量無關(guān)必要元素之間函數(shù)獨(dú)立問題：多余觀測(cè)：r=n-tn>t條件方程：觀測(cè)誤差存在使得測(cè)量平差有必要，多余觀測(cè)使得測(cè)量平差得以實(shí)現(xiàn),僅有必要觀測(cè)能否完成測(cè)量工作？觀測(cè)結(jié)果是否可靠？,幾何量符號(hào)表示,1、必要觀測(cè)次數(shù)t（個(gè)數(shù)和類型）2、實(shí)際觀測(cè)次數(shù)n3、多余觀測(cè)次數(shù)r4、觀測(cè)值5、真值6、真誤差7、估值8、平差值,五、幾何模型,1、確定幾何模型的必要元素（必要觀測(cè)量）（1）幾何模型的形狀2個(gè)（2）形狀、大小3個(gè)（3）形狀、大小、位置6個(gè)2、必要元素的選取與性質(zhì)（1）能唯一確定該模型（2）最少需要（3）元素間不存在任何確定的函數(shù)關(guān)系,,測(cè)邊網(wǎng)和邊角網(wǎng)：,一個(gè)已知點(diǎn)坐標(biāo)，一個(gè)相鄰已知方位。,,由于觀測(cè)不可避免地存在偶然誤差，當(dāng)n>t時(shí)，幾何模型中應(yīng)該滿足r=n-t個(gè)條件方程，實(shí)際存在閉俁差而并不滿足，如何調(diào)整觀測(cè)值，即對(duì)觀測(cè)值合理地加上改正數(shù)，使其達(dá)到消除閉合差的目的，這是測(cè)量平差的主要任務(wù)。一個(gè)測(cè)量平差問題，首先要由觀測(cè)值和待求量間組成數(shù)學(xué)模型，然后采用一定的平差原則對(duì)待求量進(jìn)行估計(jì)，這種估計(jì)要求是最優(yōu)的，最后計(jì)算和分析成果的精度。,觀測(cè)誤差存在使得測(cè)量平差有必要，多余觀測(cè)使得測(cè)量平差得以實(shí)現(xiàn),函數(shù)模型：是描述觀測(cè)量與未知量間的數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系模型，是確定客觀實(shí)際的本質(zhì)或特征的模型。幾何模型：各種測(cè)量控制網(wǎng)幾何觀測(cè)量：方向、角度、高差、邊長(zhǎng)物理模型：與時(shí)間、速度、加速度等物理量相關(guān)的模型；物理觀測(cè)量：時(shí)間、速度、加速度,4.2測(cè)量平差函數(shù)模型FunctionalModel,一、條件平差的函數(shù)模型以條件方程為函數(shù)模型的平差方法，稱為條件平差法。出發(fā)點(diǎn)：觀測(cè)量之間的函數(shù)關(guān)系式——條件方程在具體測(cè)量問題中，實(shí)際觀測(cè)次數(shù)n，必要觀測(cè)次數(shù)t，則多余觀測(cè)次數(shù)r，那么可建立(n-t)個(gè)條件方程，即：,,測(cè)量平差函數(shù)模型,,,二、間接平差法,選擇幾何模型中t個(gè)獨(dú)立量為平差的參數(shù)，將每一個(gè)觀測(cè)量表達(dá)成所選參數(shù)的函數(shù)，以此為平差的函數(shù)模型，稱為間接平差法。在具體測(cè)量問題中，實(shí)際觀測(cè)次數(shù)n，必要觀測(cè)次數(shù)t，則多余觀測(cè)次數(shù)r=(n-t)。選擇t個(gè)函數(shù)獨(dú)立的參數(shù)后可列出觀測(cè)方程：,線性方程情況下,其中,,三、附有參數(shù)的條件平差法,,,線性方程情況下,,四、附有限制條件的間接平差法,線性方程情況下,4.3函數(shù)模型線性化LinearizationofFunctionalModel,四種平差方法的一般形式分別為,條件平差法：,間接平差法：,,附有參數(shù)的條件平差法：附有條件的間接平差法：,,若平差的函數(shù)是非線性的，平差之前就要進(jìn)行線性化。線性化的方法是應(yīng)用臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開，保留一次項(xiàng),,對(duì)于函數(shù),按臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開則有,,令,,則函數(shù)F的線性形式是,4.4測(cè)量平差的數(shù)學(xué)模型MathematicalModel,,,一、平差的隨機(jī)模型,,,,,隨機(jī)模型：描述平差問題的中隨機(jī)量及其相互間統(tǒng)計(jì)相關(guān)性質(zhì)的模型,隨機(jī)模型描繪的是觀測(cè)值的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，是通過觀測(cè)值的數(shù)學(xué)期望和協(xié)方差陣（協(xié)因數(shù)陣）來表示，借以說明觀測(cè)值是否受系統(tǒng)誤差的影響、觀測(cè)值的精度季它們是否相關(guān)等。,二、數(shù)學(xué)模型,1、條件平差2、間接平差（Gauss-Markoff模型）,,,,3、附有參數(shù)的條件平差4、附有限制條件的間接平差法,4.5參數(shù)估計(jì)與最小二乘原理EstimationofParametersandPrinciplesofLeastSquares,一、參數(shù)估計(jì)及最優(yōu)性質(zhì)平差問題是由于測(cè)量中進(jìn)行了多余觀測(cè)而產(chǎn)生，不論何種平差方法，平差最終目的都是對(duì)參數(shù)和觀測(cè)量（或Δ）作出某種估計(jì)，并評(píng)定其精度。所謂評(píng)定精度，就是對(duì)待估量的方差與協(xié)方差作出估計(jì)。所以，可統(tǒng)稱為對(duì)平差模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。,,無偏性一致性有效性,,一、參數(shù)估計(jì)及最優(yōu)性質(zhì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論證明，具有無偏性、最優(yōu)性的估計(jì)量必然是一致性估計(jì)量，所以測(cè)量平差中參數(shù)的最佳估值要求是最優(yōu)無偏估計(jì)量。由于平差模型是線性的，最佳估計(jì)也稱為最優(yōu)線性無偏估計(jì)。,,,,,,,,,,,,,,,,二、最小二乘原理測(cè)量平差就是測(cè)量數(shù)據(jù)調(diào)整，調(diào)整原則是使得觀測(cè)值殘差的平方和極小為原則：,觀測(cè)量：調(diào)整后的估值改正數(shù)\殘差觀測(cè)值權(quán)陣,小結(jié),重點(diǎn)：理解必要觀測(cè)、必要起算數(shù)據(jù)、多余觀測(cè)的概念掌握：函數(shù)模型、隨機(jī)模型的涵義、作用和實(shí)質(zhì)理解：四種平差方法的函數(shù)模型函數(shù)模型線性化的方法最小二乘原理了解：最小二乘估計(jì)的性質(zhì),