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第二章 函數與導數
第1課時 函數及其表示(對應學生用書(文)、(理)9～11頁)
① 本節(jié)是函數部分的起始部分，以考查函數概念、三要素及表示法為主，同時考查學生在實際問題中的建模能力.
② 本節(jié)內容曾以多種題型出現在高考試題中，要求相對較低，但很重要，特別是函數的解析式仍會是2019年高考的重要題型．
① 理解函數的概念，了解構成函數的要素.
② 在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析法)表示函數.
③ 了解簡單的分段函數，并能簡單應用．
1. (必修1P26練習3改編)下列對應關系中________是函數．(填序號)
① A＝R＋，B＝R，對于任意的x∈A，x→x的算術平方根；
② A＝{1，2，3，4，5}，B＝{0，2，4，6，8}，對于任意的x∈A，x→2x；
③ x→－x，x∈R；
④ x→y，其中y＝|x|，x∈R，y∈R；
⑤ x→y，其中y為不大于x的最大整數，x∈R，y∈Z.
答案：①③④⑤
解析：①③④⑤均符合函數的定義，②對于集合A中的元素5，在集合B中找不到元素與之對應．
2. (必修1P26練習4改編)下列各組函數中，表示同一函數的是__________．(填序號)
① y＝x＋1和y＝；② y＝x0和y＝1；③ f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2；④ f(x)＝和g(x)＝.
答案：④
解析：只有④表示同一函數，①與②中定義域不同，③是對應法則不同．
3. (必修1P31習題1改編)設函數f(x)＝.若f(a)＝2，則實數a＝__________．
答案：－1
解析：由題意可知，f(a)＝＝2，解得a＝－1.
4. (必修1P31習題8改編)已知函數f(x)由下表給出，則f(3)＝__________．
x
1
2
3
4
f(x)
－3
－2
－4
－1
答案：－4
解析：由表中函數值得f(3)＝－4.
5. (必修1P36習題3改編)已知函數f(x)在[－1，2]上的圖象如圖所示，則f(x)的解析式為____________．
答案：f(x)＝
解析：觀察圖象，知此函數是分段函數，并且在每段上均是一次函數，利用待定系數法求出解析式．當－1≤x≤0時，f(x)＝x＋1；當0
0}，f：x→y＝|x|；
② A＝{x|x≥2，x∈N*}，B＝{y|y≥0，y∈N}，f：x→y＝x2－2x＋2；
③ A＝{x|x>0}，B＝{y|y∈R}，f：x→y＝；
④ A＝{α|α是三角形的內角}，B＝{y|y∈R}，對應法則：y＝tan α；
⑤ A＝{m|m∈Z}，B＝{y|y＝0或y＝1}，對應法則：y＝
答案：②⑤
解析：① 集合A中的零元素，在集合B中沒有相應的對應元素．
② 按照對應法則，滿足題設條件．
③ 一對多，不滿足映射的概念．
④ ∵ ∈A，但的正切值不存在，∴ 此對應不是從集合A到集合B的映射．
⑤ ∵ 集合A中的每一個元素在集合B中都有唯一的元素與之對應，∴ 此對應是從集合A到集合B的映射．
點評：判斷對應是否為映射，即看A中元素是否滿足“每元有象”和“且象唯一”；但要注意：① A中不同元素可有相同的象，即允許多對一，但不允許一對多；② B中元素可無原象，即B中元素可以有剩余．
已知映射f：A→B，其中A＝B＝R，對應法則f：x→y＝－x2＋2x，對于實數k∈B，在集合A中不存在元素與之對應，則k的取值范圍是________．
答案：(1，＋∞)
解析：由題意知，方程－x2＋2x＝k無實數根，即x2－2x＋k＝0無實數根．∴ Δ＝4(1－k)<0，∴ k>1時滿足題意．
, 2 函數的解析式)
, 2) 求下列各題中的函數f(x)的解析式．
(1) 已知f(＋2)＝x＋4，求f(x)；
(2) 已知f＝lg x，求f(x)；
(3) 已知f(x)是二次函數，且滿足f(0)＝1，f(x＋1)＝f(x)＋2x，求f(x)．
解：(1) (解法1)設t＝＋2(t≥2)，則＝t－2，即x＝(t－2)2，∴ f(t)＝(t－2)2＋4(t－2)＝t2－4，
∴ f(x)＝x2－4(x≥2)．
(解法2)∵ f(＋2)＝(＋2)2－4，
∴ f(x)＝x2－4(x≥2)．
(2) 設t＝＋1，則x＝，∴ f(t)＝lg ，
即f(x)＝lg (x>1)．
(3) ∵ f(x)是二次函數，
∴ 設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由f(0)＝1，得c＝1.
由f(x＋1)＝f(x)＋2x，得
a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝ax2＋bx＋1＋2x，
整理，得(2a－2)x＋a＋b＝0，
由恒等式原理，知?
∴ f(x)＝x2－x＋1.
變式訓練
根據下列條件分別求出f(x)的解析式．
(1) f(＋1)＝x＋2；
(2) 二次函數f(x)滿足f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.
解：(1) 令t＝＋1，∴ t≥1，x＝(t－1)2.
則f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，
即f(x)＝x2－1，x∈[1，＋∞)．
(2) 設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∴ f(x＋2)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋c，
則f(x＋2)－f(x)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.
∴ ∴
又f(0)＝3，∴ c＝3，∴ f(x)＝x2－x＋3.
, 3 分段函數)
, 3) 如圖所示，在邊長為4的正方形ABCD上有一點P，沿著折線BCDA由B點(起點)向A點(終點)移動．設P點移動的路程為x，△ABP的面積為y＝f(x)．
(1) 求△ABP的面積與P移動的路程間的函數解析式；
(2) 作出函數的圖象，并根據圖象求y的最大值．
解：(1) 這個函數的定義域為(0，12)，
當0＜x≤4時，S＝f(x)＝4x＝2x；
當4＜x≤8時，S＝f(x)＝8；
當8＜x＜12時，S＝f(x)＝4(12－x)＝24－2x.
∴ 函數解析式為f(x)＝
(2) 其圖象如圖所示，由圖知fmax(x)＝8.
變式訓練
已知函數f(x)＝則滿足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范圍是____________．
答案：(－1，－1)
解析：函數f(x)＝的圖象如圖所示：
f(1－x2)>f(2x)?解得－10)，g(x)＝1(x>0)；
④中，f(x)＝＝x－3(x≠－3)．
因此填③.
2. 二次函數y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分對應值如下表：
x
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
則關于x的不等式f(x)≤0的解集為____________．
答案：[－3，2]
解析：由表格數據作出二次函數的草圖，結合數據與圖象即可發(fā)現不等式f(x)≤0的解集為[－3，2]．
3. 為了保證信息安全傳輸必須使用加密方式，有一種方式其加密、解密原理如下：
明文密文密文明文
已知加密為y＝ax－2(x為明文、y為密文)，如果明文“3”通過加密后得到密文為“6”，再發(fā)送，接受方通過解密得到明文“3”，若接受方接到密文為“14”，則原發(fā)的明文是________．
答案：4
4. 有一個有進水管和出水管的容器，每單位時間進水量是一定的，設從某時刻開始，5分鐘內只進水，不出水，在隨后的15分鐘內既進水，又出水，得到時間x與容器中的水量y之間的關系如圖所示．再隨后，只放水不進水，水放完為止，則這段時間內(即x≥20)，y與x之間的函數關系是____________________．
答案：y＝－3x＋95
解析：設進水速度為a1 L/min，出水速度為a2 L/min，則由題意得解得則y＝35－3(x－20)，得y＝－3x＋95.當水放完，時間為x＝ min，又知x≥20，故解析式為y＝－3x＋95.
5. 設函數f(x)＝若f(a)＞f(1)，則實數a的取值范圍是____________．
答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：由f(1)＝－2，則f(a)＞－2.當a>0時，有2a－4>－2，則a>1；當a＜0時，－a－3＞－2，則a＜－1.所以實數a的取值范圍是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
6. 函數f(x)＝若關于x的方程f(x)＝kx－k至少有兩個不相等的實數根，則實數k的取值范圍是____________．
答案：∪(1，＋∞)
解析：如圖，作出函數圖象，y2＝kx－k過定點(1，0)，臨界點和(1，0)連線的斜率為－，又f′(1)＝1，由圖象知實數k的取值范圍是∪(1，＋∞)．
, 3. 分段函數意義理解不清致誤)
典例 已知實數a≠0，函數f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，則a的值為__________．
易錯分析：(1) 誤以為1－a<1，1＋a>1，沒有對a進行討論直接代入求解；(2) 求解過程中忘記檢驗所求結果是否符合要求致誤．
解析：當a>0時，1－a<1，1＋a>1，
由f(1－a)＝f(1＋a)可得2－2a＋a＝－1－a－2a，
解得a＝－，不合題意；
當a<0時，1－a>1，1＋a<1，
由f(1－a)＝f(1＋a)可得－1＋a－2a＝2＋2a＋a，
解得a＝－.
答案：－
特別提醒：(1) 注意分類討論思想在求函數值中的應用，對于分段函數的求值問題，若自變量的取值范圍不確定，應分情況求解；(2) 檢驗所求自變量的值或范圍是否符合題意，求解過程中，求出的參數的值或范圍并不一定符合題意，因此要檢驗結果是否符合要求．
1. 已知集合A＝{a，b，c}，B＝{1，2}，那么可建立從A到B的映射個數是______，從B到A的映射個數是______．
答案：8 9
解析：依題意，建立從A到B的映射，即集合A中的每一個元素在集合B中找到對應元素，從而從A到B的映射個數為23＝8，從B到A的映射個數是32＝9.所以填寫答案依次為：8；9.
2. 已知一個函數的解析式為y＝x2，它的值域為{1，4}，這樣的函數有________個．
答案：9
解析：列舉法：定義域可能是{1，2}、{－1，2}、{1，－2}、{－1，－2}、{1，－2，2}、{－1，－2，2}、{－1，1，2}、{－1，1，－2}、{－1，1，－2，2}．
3. 若函數f(x)＝，f(2)＝1，又方程f(x)＝x有唯一解，則f(x)＝________．
答案：
解析：由f(2)＝1得＝1，即2a＋b＝2；由f(x)＝x得＝x，變形得x＝0，解此方程得x＝0或x＝，∵ 方程有唯一解，∴ ＝0，解得b＝1，代入2a＋b＝2得a＝，∴ f(x)＝.
4. 如圖，動點P從單位正方形ABCD頂點A開始，順次經B，C，D繞邊界一周，當x表示點P的行程，y表示PA之長時，求y關于x的解析式，并求f的值．
解：當P在AB上運動時，y＝x(0≤x≤1)；當P在BC上運動時，y＝(1－1且x≠1，故函數的定義域為(－1，1)∪(1，＋∞)．
3. 函數y＝的值域為________．
答案：
解析：∵ x2＋2≥2，∴ 0<≤.∴ 00時，值域為[，＋∞)；當a<0時，值域為(－∞，]．
③ y＝(k≠0)的值域為{y|y≠0}．
④ y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．
⑤ y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R．
⑥ y＝sin x，y＝cos x的值域是[－1，1]．
⑦ y＝tan x的值域是R．
3. 函數的最值
一般地，設y＝f(x)的定義域為A.
(1) 如果存在x0∈A，使得對于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么稱f(x0)為y＝f(x)的最大值，記為ymax＝f(x0)．
(2) 如果存在x0∈A，使得對于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么稱f(x0)為y＝f(x)的最小值，記為ymin＝f(x0)．
4. 值域與最值的關系
若函數y＝f(x)的最大值為b，最小值為a，那么y＝f(x)的值域必定是數集[a，b]的子集，若f(x)可以取到[a，b]中的一切值，那么其值域就是[a，b]．
5. 復合函數
如果函數y＝f(u)(u∈A)，u＝g(x)(x∈B，u∈A)，則y＝f(g(x))叫做由函數y＝f(u)(u∈A)，u＝g(x)(x∈B，u∈A)合成的復合函數，u叫做中間變量．y＝f(u)(u∈A)，叫做該復合函數的外層函數，而u＝g(x)(x∈B)叫做該復合函數的內層函數．注意：由u＝g(x)(x∈B)求出的值域一定是A.即內層函數的值域是外層函數的定義域．
6. 函數解析式的表示離不開函數的定義域．
[備課札記]
, 1 求函數的定義域)
, 1) (1) 已知函數f(x)的定義域是[0，2]，則函數g(x)＝f＋f的定義域是__________．
(2) 函數y＝的定義域為____________．
答案：(1) (2) (－1，1)
解析：(1) 因為函數f(x)的定義域是[0，2]，所以函數g(x)＝f＋f中的自變量x需要滿足：
解得
所以≤x≤，
所以函數g(x)的定義域是.
(2) 由得－11)．
解：(1) (解法1：換元法)令＝t，則t≥0且x＝，于是f(t)＝－t＝－(t＋1)2＋1.由于t≥0，所以f(t)≤，故函數的值域是.
(解法2：單調性法)容易判斷f(x)為增函數，而其定義域應滿足1－2x≥0，即x≤，所以f(x)≤f＝，即函數的值域是.
(2) y＝＝－1.
因為1＋x2≥1，所以0<≤2.
所以－1<－1≤1，即y∈(－1，1]．
所以函數的值域為(－1，1]．
(3) (解法1)由y＝＝2－，結合圖象知，函數在[3，5]上是增函數，所以ymax＝，ymin＝，故所求函數的值域是.
(解法2)由y＝，得x＝.
因為x∈[3，5]，所以3≤≤5，解得≤y≤，
即所求函數的值域是.
(4) (基本不等式法)令t＝x－1，則x＝t＋1(t>0)，
所以y＝＝＝t＋－2(t>0)．
因為t＋≥2＝2，當且僅當t＝，即x＝＋1時，等號成立，
故所求函數的值域為[2－2，＋∞)．
求下列函數的值域：
(1) f(x)＝＋；
(2) g(x)＝；
(3) y＝log3x＋logx3－1.
解：(1) 由解得－3≤x≤1.
∴ f(x)＝＋的定義域是[－3，1]．
令y＝f(x)，則y≥0，∴ y2＝4＋2，
即y2＝4＋2(－3≤x≤1)．
令t(x)＝－(x＋1)2＋4(－3≤x≤1)．
∵ x∈[－3，1]，由t(－3)＝0，t(－1)＝4，t(1)＝0，
知0≤t(x)≤4，從而y2∈[4，8]，即y∈[2，2]，
∴ 函數f(x)的值域是[2，2]．
(2) g(x)＝＝＝＝1＋(x≠3且x≠4)．
∵ x≠3且x≠4，∴ g(x)≠1且g(x)≠－6.
∴ 函數g(x)的值域是(－∞，－6)∪(－6，1)∪(1，＋∞)．
(3) 函數的定義域為{x|x>0且x≠1}．
當x>1時，log3x>0，logx3>0，
y＝log3x＋logx3－1≥2－1＝1；
當00恒成立，試求實數a的取值范圍．
【思維導圖】 函數恒成立→不等式恒成立→分類討論→新函數的最值→a的取值范圍
【規(guī)范解答】 解：(1) 當a＝時，f(x)＝x＋＋2.
∵ f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數，∴ f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上的最小值為f(1)＝.
(2) (解法1)在區(qū)間[1，＋∞)上，f(x)＝ >0恒成立，∴ x2＋2x＋a>0恒成立．
設y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)．
∵ y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上單調遞增，
∴ 當x＝1時，ymin＝3＋a，當且僅當ymin＝3＋a>0時，函數f(x)>0恒成立，故a>－3.
(解法2)f(x)＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)．
當a≥0時，函數f(x)的值恒為正；
當a<0時，函數f(x)在[1，＋∞)上單調遞增，故當x＝1時，f(x)min＝3＋a，
當且僅當f(x)min＝3＋a>0時，函數f(x)>0恒成立，故a>－3.
【精要點評】 解法1運用轉化思想把f(x)>0轉化為關于x的二次不等式；解法2運用了分類討論思想．
●總結歸納
(1) 求函數的值域
此類問題主要利用求函數值域的常用方法：配方法、分離變量法、單調性法、圖象法、換元法、不等式法等．無論用什么方法求函數的值域，都必須考慮函數的定義域．
(2) 函數的綜合性題目
此類問題主要考查函數值域、單調性、奇偶性等一些基本知識相結合的題目．此類問題要求具備較高的數學思維能力、綜合分析能力以及較強的運算能力．
(3) 運用函數的值域解決實際問題
此類問題的關鍵是把實際問題轉化為函數問題，從而利用所學知識去解決．此類題目要求具有較強的分析能力和數學建模能力．
●題組練透
1. 函數y＝的值域是____________．
答案：
解析：∵ x2＋x＋1＝2＋≥，∴ y≥，∴ 值域為.
2. 函數y＝x＋的值域是____________．
答案：(－∞，1]
解析：令＝t(t≥0)，則x＝.∵ y＝＋t＝－ (t－1)2＋1≤1，∴ 值域為(－∞，1]．
3. 已知函數f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.
(1) 若f(x)的值域是[0，＋∞)，求a的值；
(2) 若函數f(x)≥0恒成立，求g(a)＝2－a|a－1|的值域．
解：(1) ∵ f(x)的值域是[0，＋∞)，即f(x)min＝0，∴ ＝0，∴ a＝－1或.
(2) 若函數f(x)≥0恒成立，則Δ＝(4a)2－4(2a＋6)≤0，即2a2－a－3≤0，∴ －1≤a≤，
∴ g(a)＝2－a|a－1|＝
當－1≤a≤1時，g(a)＝a2－a＋2＝＋，∴ g(a)∈；
當10且a≠1)的值域是[4，＋∞)，則實數a的取值范圍是________．
答案：(1，2]
解析：當x≤2時，－x＋6≥4，要使得函數f(x)的值域為[4，＋∞)，只需當x＞2時，f(x)＝3＋logax的值域在區(qū)間[4，＋∞)內即可，故a＞1，所以3＋loga2≥4，解得1＜a≤2，所以實數a的取值范圍是(1，2]．
5. 已知函數f(x)＝ax＋b(a>0且a≠1)的定義域和值域都是[－1，0]，則a＋b＝________．
答案：－
解析：當a>1時，該方程組無解；當0.
5. 設函數f(x)滿足：對任意的x1，x2∈R都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，則f(－3)與f(－π)的大小關系是____________．
答案：f(－3)>f(－π)
解析：由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，可知函數f(x)為增函數，又－3>－π，∴ f(－3)>f(－π)．
1. 增函數和減函數
一般地，設函數y＝f(x)的定義域為I：
如果對于定義域I內某個區(qū)間D上的任意兩個值x1，x2，當x1f(x2)，那么就說y＝f(x)在區(qū)間D上是單調減函數．(如圖②所示)
2. 單調性與單調區(qū)間
如果一個函數在某個區(qū)間D上是單調增函數或是單調減函數，那么就說這個函數在這個區(qū)間D上具有單調性(區(qū)間D稱為單調區(qū)間)．
3. 判斷函數單調性的方法
(1) 定義法
利用定義嚴格判斷．
(2) 利用函數的運算性質
如果f(x)，g(x)為增函數，則① f(x)＋g(x)為增函數；② 為減函數(f(x)>0)；③ 為增函數(f(x)≥0)；④ f(x)g(x)為增函數(f(x)>0，g(x)>0)；⑤ －f(x)為減函數．
(3) 利用復合函數關系判斷單調性
法則是“同增異減”，即兩個簡單函數的單調性相同，則這兩個函數的復合函數為增函數；若兩個簡單函數的單調性相反，則這兩個函數的復合函數為減函數．
(4) 圖象法
奇函數在關于原點對稱的兩個區(qū)間上具有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的兩個區(qū)間上具有相反的單調性．
4. 函數的單調性的證明方法
已知函數解析式，證明其在某區(qū)間上的單調性一般只能嚴格用定義(或導數)來證明．主要步驟：
(1) 設元；
(2) 作差(商)；
(3) 變形(變形要徹底，一般通過因式分解、配方等方法，直到符號的判定非常明顯)；
(4) 判斷符號；
(5) 結論．
[備課札記]
, 1 函數單調性的判斷)
, 1) 判斷函數f(x)＝(a≠0)在區(qū)間(－1，1)上的單調性．
分析：此函數既不是常見函數，也不是由常見函數經過簡單的復合而成，因此要判斷其在區(qū)間(－1，1)上的單調性，只能用函數單調性的定義．
解：任取x1，x2∈(－1，1)，且x10，∴ 當a>0時，f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，∴ f(x)在(－1，1)上單調遞減；同理，當a<0時，f(x)在(－1，1)上單調遞增．
證明函數f(x)＝在區(qū)間[1，＋∞)上是減函數．
證明：設任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x10，
∴ f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴ f(x)＝在[1，＋∞)上為減函數．
點評：亦可證明函數f(x)＝在區(qū)間[－1，1]上是增函數．由于函數f(x)＝是定義在R上的奇函數，故利用單調性與奇偶性可作出函數f(x)＝的圖象．同時也可得到函數f(x)＝在[－1，1]上的值域為.
, 2 求函數的單調區(qū)間)
, 2) 求下列函數的單調區(qū)間：
(1) y＝x2－3|x|＋；
(2) y＝；
(3) y＝log2(6＋x－2x2)．
解：(1) ∵ y＝x2－3|x|＋＝
∴ 由圖象可知，y在，上為減函數，在，上為增函數．
(2) 易得定義域為R，令u＝x2－2x＝(x－1)2－1，則u在(－∞，1]上為減函數，在[1，＋∞)上為增函數．又y＝在(－∞，＋∞)上為減函數，∴ y＝的單調增區(qū)間為(－∞，1]，單調減區(qū)間為[1，＋∞)．
(3) 由題意得6＋x－2x2>0，化簡得2x2－x－6<0，即(2x＋3)(x－2)<0，解得－2時，由圖④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.
綜上，當a<0時，f(x)min＝－1，f(x)max＝3－4a；當0≤a<1時，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝3－4a；當12時，f(x)min＝3－4a，f(x)max＝－1.
【精要點評】 (1) 二次函數的單調區(qū)間是由圖象的對稱軸確定的．故需要確定對稱軸與區(qū)間的關系．由于對稱軸是x＝a，而a的取值不定，從而導致了分類討論．
(2) 不是應該分a<0，0≤a≤2，a>2三種情況討論嗎？為什么成了四種情況？這是由于拋物線的對稱軸在區(qū)間[0，2]所對應的區(qū)域時，最小值是在頂點處取得，但最大值卻有可能是f(0)，也有可能是f(2)．
●總結歸納
(1) 要注意函數思想在求函數值域中的運用，求函數最值常借助函數單調性．含有參數的最值問題，需要分類討論參數在不同范圍內時函數單調性的變化，進而判斷最值的位置．
(2) 不等式恒成立問題也可以轉化為求函數的最值問題．
●題組練透
1. 函數y＝2x＋的值域是____________．
答案：[－2，＋∞)
解析：x≥－1，y是x的增函數，當x＝－1時，ymin＝－2，∴ 函數的值域為[－2，＋∞)．
2. 已知x∈[0，1]，則函數y＝－的值域是______________．
答案：[－1，]
解析：該函數為增函數，自變量最小時，函數值最小；自變量最大時，函數值最大．
3. 函數f(x)＝(x∈[3，6])的值域為____________．
答案：[1，4]
解析：區(qū)間[3，6]是函數f(x)＝的單調減區(qū)間，把x＝3，x＝6分別代入f(x)中可得最大值、最小值．
4. 已知a∈R且a≠1，求函數f(x)＝在[1，4]上的最值．
解：由f(x)＝＝a＋.當1－a>0，即a<1時，f(x)在[1，4]上為減函數，∴ fmax(x)＝f(1)＝，fmin(x)＝f(4)＝；當1－a<0，即a>1時，f(x)在[1，4]上為增函數，∴ fmax(x)＝f(4)＝，fmin(x)＝f(1)＝.
5. 已知二次函數f(x)＝ax2＋bx＋1，若f(1)＝0，且函數f(x)的值域為[0，＋∞)．
(1) 求a，b的值；
(2) 若h(x)＝2f(x＋1)＋x|x－m|＋2m，求h(x)的最小值．
解：(1) 顯然a≠0，∵ f(1)＝0，∴ a＋b＋1＝0.
又f(x)的值域為[0，＋∞)，∴ Δ＝b2－4a＝0.
由解得
(2) 由(1)知f(x)＝x2－2x＋1，h(x)＝2x2＋x|x－m|＋2m，即h(x)＝
① 若m≥0，則hmin(x)＝min，即hmin(x)＝min.
又2m2＋2m－＝≥0，∴ 當m≥0時，hmin(x)＝－＋2m；
② 若m＜0，則hmin(x)＝h＝2m－.
綜上所述，hmin(x)＝
, 4 函數的單調性的綜合應用)
, 4) 已知函數f(x)＝2x－，x∈(0，1]．
(1) 當a＝－1時，求函數y＝f(x)的值域；
(2) 若函數y＝f(x)在(0，1]上是減函數，求實數a的取值范圍．
解：(1) 當a＝－1時，f(x)＝2x＋，
因為00恒成立，
所以2x1x2＋a<0，即a<－2x1x2在(0，1]上恒成立，
所以a<－2，即實數a的取值范圍是(－∞，－2)．
(解法2)由f(x)＝2x－，知f′(x)＝2＋，
因為函數y＝f(x)在(0，1]上是減函數，
所以f′(x)＝2＋<0在(0，1]上恒成立，
即a<－2x2在(0，1]上恒成立，
所以a<－2，即實數a的取值范圍是(－∞，－2)．
變式訓練
若函數f(x)＝是(－∞，＋∞)上的減函數，則實數a的取值范圍是________．
答案：[－2，0)
解析：由x≥1時，f(x)＝－x2＋2ax－2a是減函數，得a≤1.由x＜1時，函數f(x)＝ax＋1是減函數，得a＜0，分界點處的值應滿足－12＋2a1－2a≤1a＋1，解得a≥－2，所以－2≤a＜0.
點睛：本題考查分段函數的單調性，解決本題的關鍵是熟悉二次函數、一次函數的單調性，除了確定兩段函數在區(qū)間上單調以外，還需考慮分界點兩側的單調性，需要列出分界點處的不等關系．
已知函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，其在定義域上為增函數，且對任意實數x，y∈(0，＋∞)都滿足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(2)＝1，試解不等式f(x)＋f(x－2)<3.
分析：此題的關鍵是將不等式轉化為兩個函數值的大小關系，然后借助于函數的單調性再將函數值的大小關系轉化為自變量取值的大小關系．
解：由題意得3＝1＋1＋1＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝f(4)＋f(2)＝f(8)，即f(8)＝3，
∴ f(x)＋f(x－2)<3?f(x)＋f(x－2)
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