九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 專題突破講練 四點(diǎn)共圓問(wèn)題大盤點(diǎn)試題 （新版）青島版.doc

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四點(diǎn)共圓問(wèn)題大盤點(diǎn) 1. 四點(diǎn)共圓的性質(zhì)： （1）共圓的四個(gè)點(diǎn)所連成同側(cè)共底的兩個(gè)三角形的頂角度數(shù)相等； （2）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)； （3）圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角。 2. 四點(diǎn)共圓常用的判定方法： 判定1：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)在同一圓上。 如果：OA=OB=OC=OD，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓。 判定2：若兩個(gè)直角三角形共斜邊，則四個(gè)頂點(diǎn)共圓，且直角三角形的斜邊為圓的直徑。 如果：△ABD和△BCD是直角三角形，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓。 判定3：共底邊的兩個(gè)三角形頂角相等，且在底邊的同側(cè)，則四個(gè)頂點(diǎn)共圓。 如果：A、D在公共邊BC同側(cè)，且∠A=∠D，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓。 判定4：對(duì)于凸四邊形ABCD，若對(duì)角互補(bǔ)或一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓。 如果：∠1+∠2=180或∠1=∠3，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓。 判定5：對(duì)于凸四邊形ABCD其對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)P，若PAPC=PBPD，則A、B、C、D四點(diǎn)共圓。（相交弦定理的逆定理） 例題 （鄭州模擬）如圖，在正△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，且AD=AC，AE=AB，BD，CE相交于點(diǎn)F。 （1）求證：A、E、F、D四點(diǎn)共圓； （2）若正△ABC的邊長(zhǎng)為2，求A、E、F、D所在圓的半徑。 解析：（1）依題意，可證得△BAD≌△CBE，從而得到∠ADB=∠BEC?∠ADF+∠AEF=180，即可證得A，E，F(xiàn)，D四點(diǎn)共圓； （2）取AE的中點(diǎn)G，連接GD，可證得△AGD為正三角形，GA=GE=GD=，即點(diǎn)G是△AED外接圓的圓心，且圓G的半徑為。 答案：（1）證明：∵AE=AB， ∴BE=AB， ∵在正△ABC中，AD=AC， ∴AD=BE， 又∵AB=BC，∠BAD=∠CBE， ∴△BAD≌△CBE， ∴∠ADB=∠BEC， 即∠ADF+∠AEF=180，所以A，E，F(xiàn)，D四點(diǎn)共圓。 （2）解：如圖， 取AE的中點(diǎn)G，連接GD，則AG=GE=AE， ∵AE=AB， ∴AG=GE=AB=， ∵AD=AC=，∠DAE=60，AB=AC ∴△AGD為正三角形， ∴GD=AG=AD=，即GA=GE=GD=， 所以點(diǎn)G是△AED外接圓的圓心，且圓G的半徑為， 由于A，E，F(xiàn)，D四點(diǎn)共圓，即A，E，F(xiàn)，D四點(diǎn)共圓G，其半徑為。 點(diǎn)撥：本題著重考查全等三角形的證明與四點(diǎn)共圓的證明，突出推理能力與分析運(yùn)算能力的考查，屬于難題。 【方法定位】 將已知條件、欲求的結(jié)論以及所給圖形的特點(diǎn)三個(gè)方面認(rèn)真分析、思考，即可發(fā)現(xiàn)，適當(dāng)利用四點(diǎn)共圓的有關(guān)性質(zhì)以及定理，就能巧妙地找到解決問(wèn)題的途徑。也就是說(shuō)，四點(diǎn)共圓有時(shí)在解（證）題中起著“搭橋鋪路”的作用。 例題 （河南模擬）如圖：AB是⊙O的直徑，G是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，GCD是⊙O的割線，過(guò)點(diǎn)G作AG的垂線，交直線AC于點(diǎn)E，交直線AD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)G作⊙O的切線，切點(diǎn)為H。 （1）求證：C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓； （2）若GH=6，GE=4，求EF的長(zhǎng)。 解析：（1）連接DB，利用AB是⊙O的直徑，可得∠ADB=90，在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD=∠AFE，又同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠ACD=∠ABD，進(jìn)而得到∠ACD=∠AFE即可證明四點(diǎn)共圓； （2）由C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，利用共線定理可得GEGF=GCGD。由GH是⊙O的切線，利用切割線定理可得GH2=GCGD，進(jìn)而得到GH2=GEGF。即可 答案： 證明：（1）連接DB，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90， 在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD=∠AFE， 又∵∠ABD=∠ACD，∴∠ACD=∠AFE。 ∴C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓； （2）∵C，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，∴GEGF=GCGD。 ∵GH是⊙O的切線，∴GH2=GCGD，∴GH2=GEGF。 又因?yàn)镚H=6，GE=4，所以GF=9。 ∴EF=GF－GE=9－4=5。 點(diǎn)撥：熟練掌握?qǐng)A的切線的性質(zhì)、同弧所對(duì)的圓周角相等、四點(diǎn)共圓的判定方法、切割線定理等是解題的關(guān)鍵。此題綜合性較強(qiáng)，涉及知識(shí)點(diǎn)較全面。 （答題時(shí)間：30分鐘） 一、選擇題 1. 銳角△ABC的三條高AD、BE、CF交于H，在A、B、C、D、E、F、H七個(gè)點(diǎn)中。能組成四點(diǎn)共圓的組數(shù)是（　?。? A. 4組 B. 5組 C. 6組 D. 7組 2. 如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD為對(duì)角線，點(diǎn)M、E、N、F分別為AD、AB、BC、CD邊的中點(diǎn)，下列說(shuō)法： ①當(dāng)AC=BD時(shí)，M、E、N、F四點(diǎn)共圓。 ②當(dāng)AC⊥BD時(shí)，M、E、N、F四點(diǎn)共圓。 ③當(dāng)AC=BD且AC⊥BD時(shí)，M、E、N、F四點(diǎn)共圓。 其中正確的是（　?。? A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 3. 如圖，A，B，C，D是圓上四點(diǎn)，AD，BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，弧AB、弧CD分別為100、40，則∠P的度數(shù)為（　?。? A. 40 B. 35 C. 60 D. 30 4. （高青縣模擬）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，CM切⊙O于點(diǎn)C，∠BCM=60，則∠B的正切值是（　?。? A. B. C. D. 5. 已知Pi（i=1，2，3，4）是拋物線y=x2+bx+1上共圓的四點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為xi（i=1，2，3，4），又xi（i=1，2，3，4）是方程（x2－4x+m）（x2－4x+n）=0的根，則二次函數(shù)y=x2+bx+1的最小值為（　?。? A. －1 B. －2 C. －3 D. －4 二、填空題 6. 如圖，在△ABC中，AD，BE分別是∠A，∠B的角平分線，O是AD與BE的交點(diǎn)，若C，D，O，E四點(diǎn)共圓，DE=3，則△ODE的內(nèi)切圓半徑為 。 7. （濟(jì)寧）如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD，若∠CAD=76，則∠CBD=　　度。 8. 已知△ABC的中線AD、BE交于K，AB=，且K，D，C，E四點(diǎn)共圓，則CK= 。 **9. 如圖，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長(zhǎng)線交直線CD于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn)，且BCAE=DCAF，B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓。若DB=BE=EA，則過(guò)B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值為 。 三、解答題 10. （太原模擬）如圖，已知AB為半圓O的直徑，BE、CD分別為半圓的切線，切點(diǎn)分別為B、C，DC的延長(zhǎng)線交BE于F，AC的延長(zhǎng)線交BE于E。AD⊥DC，D為垂足。 （1）求證：A、D、F、B四點(diǎn)共圓； （2）求證：EF=FB。 *11. （貴陽(yáng)模擬）如圖，AP是圓O的切線，A是切點(diǎn)，AD⊥OP于D點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓O的割線與圓O相交于B，C兩點(diǎn)。 （1）證明：O、D、B、C四點(diǎn)共圓。 （2）設(shè)∠OPC=30，∠ODC=40，求∠DBC的大小。 *12. （長(zhǎng)春模擬）如圖，在△ABC中，∠C為鈍角，點(diǎn)E，H分別是邊AB上的點(diǎn)，點(diǎn)K和M分別是邊AC和BC上的點(diǎn)，且AH=AC，EB=BC，AE=AK，BH=BM。 （1）求證：E、H、M、K四點(diǎn)共圓； （2）若KE=EH，CE=3，求線段KM的長(zhǎng)。  一、選擇題 1. C 解析：如圖，以AH為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（A、F、H、E）， 以BH為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（B、F、H、D）， 以CH為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（C、D、H、E）， 以AB為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（A、E、D、B）， 以BC為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（B、F、E、C）， 以AC為斜邊的兩個(gè)直角三角形，四個(gè)頂點(diǎn)共圓（A、F、D、C）， 共6組。 故選C。 2. C 解析：連接EM、MF、FN、NE，連接EF、MN，交于點(diǎn)O，如圖所示， ∵點(diǎn)M、E、N、F分別為AD、AB、BC、CD邊的中點(diǎn)， ∴EM∥BD∥NF，EN∥AC∥MF，EM=NF=BD，EN=MF=AC， ∴四邊形ENFM是平行四邊形， ①當(dāng)AC=BD時(shí)， 則有EM=EN， 所以平行四邊形ENFM是菱形， 而菱形的四個(gè)頂點(diǎn)不一定共圓， 故①不一定正確； ②當(dāng)AC⊥BD時(shí)， 由EM∥BD，EN∥AC可得：EM⊥EN，即∠MEN=90， 所以平行四邊形ENFM是矩形， 則有OE=ON=OF=OM。 所以M、E、N、F四點(diǎn)共圓， 故②正確； ③當(dāng)AC=BD且AC⊥BD時(shí)， 同理可得：四邊形ENFM是正方形。 則有OE=ON=OF=OM。 所以M、E、N、F四點(diǎn)共圓， 故③正確。 故選C。 3. D 解：連接BD， ∵=100， ∴∠ADB=100=50， 又∵=40， ∴∠B=20， 在△DBP中，∠P=∠ADB－∠B=50－20=30。 故選D。 4. B 解：連接BD， AB是直徑，則∠ADB=90， ∴∠CDB=∠BCM=60， ∴∠CDA=∠CDB+∠ADB=150， ∵∠CBA=180－∠CDA=30， ∴tan∠ABC=tan30=， 故選B。 5. C 解：拋物線與圓的四個(gè)交點(diǎn)，上下兩組點(diǎn)的連線的中點(diǎn)位于拋物線的對(duì)稱軸上。 所以由（x2－4x+m）（x2－4x+n）=0可知，該拋物線的對(duì)稱軸為x=2。 則b=－4。 所以最小值為。 二、填空題 6. 解：作OF⊥ED于點(diǎn)F， ∵AD，BE分別是∠A，∠B的角平分線， ∴∠AOB=90+∠C，CO平分∠ACB， 又∵∠DOE=∠AOB，∠DOE+∠C=180， ∴∠C=60，∠DOE=∠AOB=120， ∴90+∠C＋∠C=180 在AB上截取AM=AE，可得△AOE△AOM ∴OE=OM， ∵∠DOE=120， ∴∠EOA=∠AOM=∠DOB=∠BOM =60， ∴△BOM△BOD ∴OD=OM， ∴OD=OE， ∴∠OED=∠ODE=30， ∴FD=， tan30=， ∴FO=，OD=OE=， ∴△ODE的周長(zhǎng)為：2+3， ∴△ODE的面積為：3=， ∴△ODE的內(nèi)切圓半徑為， 故答案為：。 7. 解：∵AB=AC=AD， ∴點(diǎn)B，C，D可以看成是以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑的圓上的三個(gè)點(diǎn)， ∴∠CBD是弧CD所對(duì)的圓周角，∠CAD是弧CD所對(duì)的圓心角； ∵∠CAD=76， ∴∠CBD=∠CAD=76=38。 8. 解：作△ABC的外接圓，延長(zhǎng)CK交圓于點(diǎn)H，交AB于F，則∵K，D，C，E四點(diǎn)共圓，DE∥BA ∴∠BHC=∠BAC=∠DEC=∠DKC， ∴AK∥HB， ∵D為BC的中點(diǎn) ∴點(diǎn)K是CH的中點(diǎn)，即CK=KH， 又K是重心， ∴FK=HF=CF， 由相交弦定理，得BFFA=CFFH， ∴=CF2， ∴CF=， ∴CK==1， 故答案為1。 9. 解：如圖所示， 連接EF?！逥C是△ABC的外接圓的切線，∴∠DCB=∠EAF， ∵BCAE=DCAF，∴， ∴△BCD≌△FAE， ∴∠CBD=∠AFE， ∵B、E、F、C四點(diǎn)共圓， ∴∠AFE=∠CBE， ∴∠CBD=∠CBE， 又∵∠CBD+∠CBE=180，∴∠CBE=90， ∴AC是△ABC的外接圓的直徑，CE是E，F(xiàn)，C四點(diǎn)所在圓的直徑。 不妨設(shè)DB=1，則BE=EA=DB=1， 由切割線定理可得：DC2=DB?DA=13，， 在△DCE中，由DB=BE，CB⊥DE?！郈E=DC=， 在Rt△CBE中，BC2=CE2－BE2=， 在Rt△ABC中，AC2=BC2+AB2=2+22=6。 ∴過(guò)B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值=。 故答案為。 三、解答題 10. 證明：（1）∵FB是半圓O的切線， ∴∠ABF=90， 又∵AD⊥DC， ∴∠ADF=90， ∴A，D，F(xiàn)，B四點(diǎn)共圓。 （2）解：連接BC，則BC⊥AC， ∵DF是半圓的切線， ∴∠DCA=∠ABC， ∵∠DCA=∠ECF， ∴∠ECF=∠ABC， 在Rt△ABE中，BC⊥AE， ∴∠ABC=∠E， ∴∠ECF=∠E，∴EF=FC， ∵FC，F(xiàn)B是半圓的切線， ∴FC=FB， ∴EF=FB。 11. 解：（1）證明：∵AP是圓O的切線，A是切點(diǎn)， ∴OA⊥AP， ∵AD⊥OP， ∴AP2=PDPO， ∵AP是圓O的切線，PBC是圓O的割線， ∴AP2=PBPC， ∴PDPO=PBPC， ∴， ∵∠DPB=∠CPO， ∴△DPB∽△CPO， ∴∠PDB=∠PCO， ∴O，D，B，C四點(diǎn)共圓； （2）解：連接OB，則∠OBC=∠ODC=40， ∴∠OCB=40， ∵O，D，B，C四點(diǎn)共圓， ∴∠PDB=∠OCB=40， ∴∠DBC=30+40=70。 12. （1）證明：連接CH，∵AC=AH，AK=AE，∴四邊形CHEK為等腰梯形， 注意到等腰梯形的對(duì)角互補(bǔ)， 故C，H，E，K四點(diǎn)共圓， 同理C，E，H，M四點(diǎn)共圓， 即E，H，M，K均在點(diǎn)C，E，H所確定的圓上。 （2）解：連接EM， 由（1）得E，H，M，C，K五點(diǎn)共圓， ∵CEHM為等腰梯形，∴EM=HC， 故∠MKE=∠CEH， 由KE=EH可得∠KME=∠ECH， 故△MKE≌△CEH， 即KM=EC=3。