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第二章 圓錐曲線及方程
綜合檢測
一、選擇題
1.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰好為一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn),則該橢圓的離心率為( ).
A.13 B.12 C.33 D.22
【解析】依題意橢圓的焦距和短軸長相等,故b=c,
∴a2-c2=c2,∴e=22.
【答案】D
2.若橢圓x29+y2m2=1與雙曲線x2m2-y23=1有相同的焦點(diǎn),則m的值是( ).
A.3 B.3 C.-3 D.不存在
【解析】顯然雙曲線焦點(diǎn)在x軸上,
故9-m2=m2+3,所以m2=3,即m=3.
【答案】A
3.若橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32,則雙曲線x2a2-y2b2=1的離心率為( ).
A.54 B.52 C.32 D.54
【解析】由題意知e2=c2a2=a2-b2a2=322=34,得b2a2=14,而雙曲線的離心率e2=c2a2=a2+b2a2=1+14=54,故e=52.
【答案】B
4.已知直線y=x-3與拋物線y2=4x交于A,B兩點(diǎn),過A,B兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線,垂足為P,Q,則梯形APQB的面積為( ).
A.48 B.56 C.64 D.72
【解析】聯(lián)立方程組y2=4x,y=x-3,解得點(diǎn)A(1,-2),B(9,6).
∵拋物線準(zhǔn)線為x=-1,∴|AP|=2,|BQ|=10,|PQ|=8.
故S梯形APQB=(2+10)82=48.
【答案】A
5.設(shè)離心率為e的雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,直線l過焦點(diǎn)F,且斜率為k,則直線l與雙曲線C的左、右兩支都相交的充要條件是( ).
A.k2-e2>1 B.k2-e2<1
C.e2-k2>1 D.e2-k2<1
【解析】由雙曲線的圖象和漸近線的幾何意義,可知直線的斜率k只需滿足-ba
1.
【答案】C
6.已知點(diǎn)N(3,0),圓(x+2)2+y2=16的圓心為M,設(shè)A為圓上任一點(diǎn),線段AN的垂直平分線交直線MA于點(diǎn)P,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是( ).
A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線
【解析】由中垂線的性質(zhì)可知|AP|=|NP|,
因?yàn)閨AP|=|MP|+|AM|,所以|NP|=|MP|+|AM|,
即|NP|-|MP|=|AM|,
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線.
【答案】C
7.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線過點(diǎn)(2,3),且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2=47x的準(zhǔn)線上,則雙曲線的方程為( ).
A.x221-y228=1 B.x228-y221=1
C.x23-y24=1 D.x24-y23=1
【解析】雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=bax,因?yàn)辄c(diǎn)(2,3)在漸近線上,所以ba=32.又雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2=47x的準(zhǔn)線方程x=-7上,所以c=7,由此可解得a=2,b=3,所以雙曲線的方程為x24-y23=1,故選D.
【答案】D
8.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線的斜率為2,且右焦點(diǎn)與拋物線y2=43x的焦點(diǎn)重合,則該雙曲線的離心率等于( ).
A.2 B.3 C.2 D.23
【解析】由題意知拋物線的焦點(diǎn)為(3,0),即c=3.雙曲線的漸近線方程為y=bax,即ba=2,得b=2a,所以b2=2a2=c2-a2,故c2=3a2,即e2=3,得e=3.
【答案】B
9.過點(diǎn)M(-2,0)的直線m與橢圓x22+y2=1交于P1,P2兩點(diǎn),線段P1P2的中點(diǎn)為P,設(shè)直線m的斜率為k1(k1≠0),直線OP的斜率為k2,則k1k2的值為( ).
A.2 B.-2 C.12 D.-12
【解析】已知直線m與橢圓交于P1,P2兩點(diǎn),從而設(shè)點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),可知點(diǎn)Px1+x22,y1+y22,即k2=y1+y2x1+x2,設(shè)直線m:y=k1(x+2),聯(lián)立橢圓方程得x22+y2=1,y=k1(x+2)?(2k12+1)x2+8k12x+8k12-2=0,可得x1+x2=-8k122k12+1,所以y1+y2=k1(x1+x2)+4k1=4k12k12+1,則k2=-12k1,即k1k2=-12.
【答案】D
10.如圖,某人造衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球中心F2為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓,設(shè)近地點(diǎn)A(離地面最近的點(diǎn))距地面m千米,遠(yuǎn)地點(diǎn)B(離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn))距地面n千米,地球半徑為r千米,且點(diǎn)F2,A,B在同一直線上,則該衛(wèi)星運(yùn)行軌道的短半軸長為( ).(單位:千米)
A.2mn B.2(m+r)(n+r)
C.mn D.(m+r)(n+r)
【解析】由圖可知|AF2|=m+r=a-c,|BF2|=n+r=a+c?b2=a2-c2=(a+c)(a-c)=(m+r)(n+r),故選D.
【答案】D
11.我們把焦點(diǎn)相同,且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關(guān)曲線”.已知F1,F2是一對相關(guān)曲線的焦點(diǎn),P是它們在第一象限的交點(diǎn),當(dāng)∠F1PF2=60時(shí),這一對相關(guān)曲線中雙曲線的離心率是( ).
A.3 B.2 C.233 D.2
【解析】設(shè)橢圓的半長軸為a1,橢圓的離心率為e1,則e1=ca1,a1=ce1.雙曲線的實(shí)半軸長為a,雙曲線的離心率為e,e=ca,a=ce.|PF1|=x,|PF2|=y,(x>y>0),則由余弦定理得4c2=x2+y2-2xycos 60=x2+y2-xy,當(dāng)點(diǎn)P看作是橢圓上的點(diǎn)時(shí),有4c2=(x+y)2-3xy=4a12-3xy,當(dāng)點(diǎn)P看作是雙曲線上的點(diǎn)時(shí),有4c2=(x-y)2+xy=4a2+xy,兩式聯(lián)立消去xy得4c2=a12+3a2,即4c2=ce12+3ce2,所以1e12+31e2=4.又1e1=e,所以e2+3e2=4,整理得e4-4e2+3=0,解得e2=3,所以e=3,即雙曲線的離心率為3,故選A.
【答案】A
12.若橢圓C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)和橢圓C2:x2a22+y2b22=1(a2>b2>0)的焦點(diǎn)相同,且a1>a2.給出如下四個(gè)結(jié)論:
①橢圓C1和橢圓C2一定沒有公共點(diǎn);
②a1a2>b1b2;
③a12-a22=b12-b22;
④a1-a2b1+b2,故a1-a2y,由e2=3e1,得a2=a13.
由橢圓定義及勾股定理,得x+y=2a1,x-y=2a2,x2+y2=4c2,解得e1=53.
【答案】53
15.如圖,橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),F為左焦點(diǎn),A,B分別為長軸、短軸上的一個(gè)頂點(diǎn),當(dāng)FB⊥AB時(shí),此類橢圓稱為“黃金橢圓”.類比“黃金橢圓”,可推出“黃金雙曲線”的離心率為.
【解析】由題意可類比出“黃金雙曲線”的圖形大致如右圖.由圖可知(a+c)2=(b2+c2)+(b2+a2),把b2=c2-a2代替,整理得c2-ac-a2=0,即e2-e-1=0,解得e=152,故e=1+52.
【答案】1+52
16.已知A(1,1)為橢圓x29+y25=1內(nèi)一點(diǎn),F1為橢圓左焦點(diǎn),P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn),則|PF1|+|PA|的最大值為 ,最小值為 .
【解析】由x29+y25=1可知,a=3,b=5,c=2,左焦點(diǎn)F1(-2,0),右焦點(diǎn)F2(2,0).由橢圓的定義知,|PF1|=2a-|PF2|=6-|PF2|,
∴|PF1|+|PA|=6-|PF2|+|PA|=6+|PA|-|PF2|.
如圖,由||PA|-|PF2||≤|AF2|=(2-1)2+(0-1)2=2,得-2≤|PA|-|PF2|≤ 2.
當(dāng)點(diǎn)P在AF2的延長線上的P2處時(shí),取右“=”;
當(dāng)點(diǎn)P在AF2的反向延長線的P1處時(shí),取左“=”,
即|PA|-|PF2|的最大值、最小值分別為2、-2.
于是|PF1|+|PA|的最大值是6+2,最小值是6-2.
【答案】6+2 6-2
三、解答題
17.已知點(diǎn)P52,-32,F1 (-2,0),F2 (2,0).
(1)求以F1,F2為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求以F1,F2為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
【解析】(1)由于橢圓焦點(diǎn)在x軸上,故可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),
由橢圓的定義知,
2a=52+22+-322+52-22+-322=3210+1210=210.
∴a2=10,又∵c=2,∴b2=a2-c2=10-4=6,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x210+y26=1.
(2)由于雙曲線焦點(diǎn)在x軸上,故可設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a12-y2b12=1(a1>0,b1>0),由雙曲線的定義知,
2a1=52+22+-322-52-22+-322=3210-1210=10,
∴a12=52,b12=c12-a12=4-52=32,
故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2x25-2y23=1.
18.如圖,已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22,以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F1、F2為頂點(diǎn)的三角形的周長為4(2+1),一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn),設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn),直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A,B和C,D.
(1)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線PF1,PF2的斜率分別為k1,k2,求證:k1k2=1.
【解析】(1)設(shè)橢圓的半焦距為c,由題意知ca=22,2a+2c=4(2+1),得a=22,c=2.
又a2=b2+c2,所以b=2.
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28+y24=1.
由題意,設(shè)等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2m2-y2m2=1(m>0).
因?yàn)榈容S雙曲線的頂點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn),所以m=2.
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24-y24=1.
(2)設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),則k1=y0x0+2,k2=y0x0-2.
因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線x2-y2=4上,所以x02-y02=4.
故k1k2=y0x0+2y0x0-2=y02x02-4=1,即k1k2=1.
19.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C:x22+y2=1上,過M作x軸的垂線,垂足為N,點(diǎn)P滿足NP=2 NM.
(1)求點(diǎn)P的軌跡方程.
(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-3上,且OPPQ=1.證明:過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.
【解析】(1)設(shè)P(x,y),M(x0,y0),
則N(x0,0),NP=(x-x0,y),NM=(0,y0).
由NP=2 NM得x0=x,y0=22y.
因?yàn)镸(x0,y0)在C上,所以x22+y22=1.
因此點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=2.
(2)由題意知F(-1,0).設(shè)Q(-3,t),P(m,n),
則OQ=(-3,t),PF=(-1-m,-n),
OQPF=3+3m-tn,
OP=(m,n),PQ=(-3-m,t-n).
由OPPQ=1得-3m-m2+tn-n2=1,
又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.
所以O(shè)QPF=0,即OQ⊥PF.
又過點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ,所以過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.
20.設(shè)A,B為曲線C:y=x24上兩點(diǎn),A與B的橫坐標(biāo)之和為4.
(1)求直線AB的斜率;
(2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn),C在M處的切線與直線AB平行,且AM⊥BM,求直線AB的方程.
【解析】(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1≠x2,y1=x124,y2=x224,又x1+x2=4,
所以直線AB的斜率k=y1-y2x1-x2=x1+x24=1.
(2)由y=x24,得y=x2.
設(shè)M(x3,y3),由題設(shè)知x32=1,解得x3=2,所以M(2,1).
設(shè)直線AB的方程為y=x+m,
故線段AB的中點(diǎn)為N(2,2+m),所以|MN|=|m+1|.
將y=x+m代入y=x24得x2-4x-4m=0.
由Δ=16(m+1)>0,即m>-1,得x1,2=22m+1.
所以|AB|=2|x1-x2|=42(m+1).
由AM⊥BM得|AB|=2|MN|,即42(m+1)=2(m+1),解得m=7或m=-1(舍去).
所以直線AB的方程為y=x+7.
21.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,A為短軸的一個(gè)端點(diǎn),且|OA|=|OF|=2(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)求橢圓的方程.
(2)若C,D分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M滿足MD⊥CD,連接CM交橢圓于點(diǎn)P,問:x軸上是否存在異于點(diǎn)C的定點(diǎn)Q,使得以MP為直徑的圓恒過直線DP,MQ的交點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
【解析】(1)由已知得b=c=2,∴a2=b2+c2=4,故所求橢圓方程為x24+y22=1.
(2)由(1)知,點(diǎn)C(-2,0),D(2,0),
由題意可設(shè)直線CM:y=k(x+2),P(x1,y1),M(2,4k).
由x24+y22=1,y=k(x+2),整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-4=0,
方程顯然有兩個(gè)解,-2x1=8k2-41+2k2,得x1=2-4k21+2k2,y1=4k1+2k2,所以點(diǎn)P2-4k21+2k2,4k1+2k2.設(shè)點(diǎn)Q(x0,0)(x0≠0),
若存在滿足題設(shè)的點(diǎn)Q,則MQ⊥DP,由MQDP=0,及MQ=(x0-2,-4k),DP=2-4k21+2k2-2,4k1+2k2,
整理可得8k2x01+2k2=0恒成立,所以x0=0.
故存在定點(diǎn)Q(0,0)滿足題設(shè)要求.
22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32,直線y=x被橢圓C截得的線段長為4105.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是橢圓C的頂點(diǎn)). 點(diǎn)D在橢圓C上,且AD⊥AB,直線BD與x軸,y軸分別交于M,N兩點(diǎn).
①設(shè)直線BD,AM的斜率分別為k1,k2,證明:存在常數(shù)λ使得k1=λk2,并求出λ的值;
②求△OMN面積的最大值.
【解析】(1)由題意知a2-b2a=32,可得a2=4b2,
則橢圓C的方程可簡化為x2+4y2=a2.
將y=x代入可得x=5a5,
因此225a5=4105,可得a=2,因此b=1,
所以橢圓C的方程為x24+y2=1.
(2)①設(shè)點(diǎn)A(x1,y1)(x1y1≠0),D(x2,y2),則B(-x1,-y1).
因?yàn)橹本€AB的斜率kAB=y1x1,
又AB⊥AD,所以直線AD的斜率k=-x1y1.
設(shè)直線AD的方程為y=kx+m,由題意知k≠0,m≠0.
由y=kx+m,x24+y2=1,可得(1+4k2)x2+8mkx+4m2-4=0.
所以x1+x2=-8mk1+4k2,
因此y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+4k2.
由題意知x1≠-x2,所以k1=y1+y2x1+x2=-14k=y14x1.
所以直線BD的方程為y+y1=y14x1(x+x1).
令y=0,得x=3x1,即點(diǎn)M(3x1,0),
可得k2=-y12x1.
所以k1=-12k2,即λ=-12.
因此存在常數(shù)λ=-12使得結(jié)論成立.
②直線BD的方程為y+y1=y14x1(x+x1),
令x=0,得y=-34y1,
則點(diǎn)N0,-34y1.
由①知M(3x1,0),可得△OMN的面積
S=123|x1|34|y1|=98|x1||y1|.
因?yàn)閨x1||y1|≤x124+y12=1,
當(dāng)且僅當(dāng)|x1|2=|y1|=22時(shí)等號成立,此時(shí)S取得最大值98,
所以△OMN面積的最大值為98.
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