八年級數學下冊 專題突破講練 利用不等式解決實際問題試題 （新版）青島版.doc

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利用不等式解決實際問題 一、利用不等式解決實際問題 利用一元一次不等式解決實際問題的基本步驟與利用一元一次方程解決實際問題的基本步驟類似，即： 第一步：審 認真審題，分清已知量、未知量之間的關系，找出符合題目全部意義的不等關系，要抓住題目中的關鍵字眼，如：“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等； 第二步：設 設出適當的未知數，一般是直接設未知數，也可根據題目實際間接設未知數； 第三步：列 根據找出的不等關系，列出不等式； 第四步：解 解出所列的不等式； 第五步：答 檢驗答案是否符合題意，并寫出答案。 在以上步驟中，審題是基礎，根據不等關系列出不等式是關鍵，而根據題意找出不等關系是解題難點。 例題1 甲從一個魚攤上買了三條魚，平均每條a元，又從另一個魚攤上買了兩條魚，平均每條b元，后來他又以每條元的價格把魚全部賣給了乙，結果發(fā)現賠了錢，原因是（ ） A. a > b B. a < b C. a＝b D. 與a和b的大小無關 解析：分別表示出兩次買魚的錢和賣魚的錢，根據“賠了錢”，列不等式，推導出a與b的關系。 答案：解：兩次買魚的錢為：3a＋2b，賣魚的錢為：。 根據題意，得：3a＋2b＞ 解得，a > b。 所以選 A。 點撥：“賠了錢”表明買魚的錢大于賣魚的錢，這是本題的不等關系。 例題2 為支援四川雅安地震災區(qū)，某市民政局組織募捐了240噸救災物資，現準備租用甲、乙兩種貨車，將這批救災物資一次性全部運往災區(qū)，它們的載貨量和租金如下表： 甲種貨車 乙種貨車 載貨量（噸/輛） 45 30 租金（元/輛） 400 300 如果計劃租用6輛貨車，且租車的總費用不超過2300元，求最省錢的租車方案。 解析：根據設租用甲種貨車x輛，則租用乙種6－x輛，利用某市民政局組織募捐了240噸救災物資，以及每輛貨車的載重量得出不等式求出即可，進而根據每輛車的運費求出最省錢方案。 答案：解：設租用甲種貨車x輛，則租用乙種6－x輛， 根據題意得出： 45x＋30（6－x）≥240， 解得：x≥4， 則租車方案為：甲4輛，乙2輛；甲5輛，乙1輛；甲6輛，乙0輛； 租車的總費用分別為：4400＋2300＝2200（元），5400＋1300＝2300（元）， 6400＝2400（元）＞2300（不合題意舍去）， 答：最省錢的租車方案是租用甲貨車4輛，乙貨車2輛。 點撥：此題主要考查了一元一次不等式的應用，根據已知找出不等關系，列不等式求出所有方案是解題關鍵。 例題3 甲、乙兩商場以同樣價格出售同樣的商品，并且又各自推出不同的優(yōu)惠方案：在甲商場累計購物超過100元后，超出100元的部分按90%收費；在乙商場累計購物超過50元后，超出50元的部分按95%收費，設小紅在同一商場累計購物x元，其中x＞100。 （1）根據題題意，填寫下表（單位：元） 累計購物 實際花費 130 290 … x 在甲商場 127 … 在乙商場 126 … （2）當x取何值時，小紅在甲、乙兩商場的實際花費相同？ （3）當小紅在同一商場累計購物超過100元時，在哪家商場的實際花費少？ 解析：（1）根據已知得出100＋（290－100）90%以及50＋（290－50）95%，進而得出答案，同理即可得出累計購物x元的實際花費； （2）根據題中已知條件，求出，相等，從而得出正確結論； （3）根據與相比較，從而得出正確結論。 答案：解：（1）在甲商場：100＋90%（290－100）＝271， ； 在乙商場：50＋95%（290－50）＝278， ； （2）根據題意得出： ＝， 解得：x＝150， ∴當x＝150時，小紅在甲、乙兩商場的實際花費相同。 （3）由＜， 解得：x＞150， ＞， 解得：x＜150， ∴當小紅累計購物大于150元時，選擇甲商場實際花費少； 當小紅累計購物超過100元而不到150元時，在乙商場實際花費少。 點撥：在解決實際問題時，要注意區(qū)分題目中體現的是相等關系還是不等關系：如果是相等關系（如本題中的（2）），就應列方程；如果是不等關系（如本題中的（3）），就應列不等式。 不等式及其解法在解決數學問題和實際問題時都有廣泛的應用，比如利用不等式可以比較兩個代數式的大小。 滿分訓練 已知A＝2x2＋3x＋2，B＝2x2－4x－5，試比較A與B的大小。 解析：求出A與B的差，再根據x的取值范圍確定A與B的大小。 答案：A－B＝（2x2＋3x＋2）－（2x2－4x－5） ＝2x2＋3x＋2－2x2＋4x＋5 ＝7x＋7 ①若7 x＋7>0，則x>－1，即當x>－1時，A> B； ②若7 x＋7＝0，則x＝－1，即當x＝－1時，A＝B； ③若7 x＋7<0，則x<－1，即當x<－1時，A< B。 點撥：比較兩個數（或整式）的大小，通常用“作差法”，即求出這兩個數（或整式）的差，根據差的正負，確定大小.本例中差是一個代數式，其正負不確定，因此還要根據x的取值范圍進行分類討論。 （答題時間：45分鐘） 一、選擇題 1. 若實數a＞1，則實數M＝a，N＝，P＝的大小關系是（　?。? A. P＞N＞M B. M＞N＞P C. N＞P＞M D. M＞P＞N 2. 設“▲”、“●”、“■”分別表示三種不同的物體，現用天平稱兩次，情況如圖所示，那么▲、●、■這三種物體按質量從大到小排列應為（ ） A. ■、●、▲ B. ▲、■、● C. ■、▲、● D. ●、▲、■ 3. 已知實數x，y，m滿足，且y為負數，則m的取值范圍是（　?。? A. m＞6 B. m＜6 C. m＞－6 D. m＜－6 ﹡4. 某種出租車的收費標準：起步價7元（即行駛距離不超過3千米都需付7元車費），超過3千米后，每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米計）。某人乘這種出租車從甲地到乙地共付車費19元，那么甲地到乙地路程的最大值是（　?。? A. 5千米 B. 7千米 C. 8千米 D. 15千米 二、填空題 5. 有人問一位老師所教班級有多少學生，老師說：“一半學生在做數學，四分之一的學生在畫畫，七分之一的學生在讀英語，還剩不足七位同學在操場上玩”。試問這班最多有學生 個。 6. 已知（x－2）2 ＋｜2x－3y－a｜＝0，y是正數，則a的取值范圍是__ 。 7. 九年級（1）班的幾個同學畢業(yè)前合影留念，每人交0.70元。一張彩色底片0.68元，擴印一張相片0.50元，每人分一張。在收來的錢盡量用掉的前提下，這張相片上的同學最少有 人。 ﹡8. 已知方程組的解滿足x＋y＜0，則m的取值范圍是_________。 三、解答題 9. 某次知識競賽共有20道題，每一題答對得10分，答錯或不答都扣5分，小明得分要超過90分，他至少要答對多少道題？ 10. 小剛星期天與同學一起去登山，計劃上午9時出發(fā)，到達山頂后游玩2h，吃午飯與休息共半小時，下午4點30分要趕回出發(fā)點，已知各座山峰與出發(fā)點間的距離如圖所示，他們上山的速度為3.2km/h，下山的速度為4.5km/h，他們最遠可以登上哪座山峰？ ﹡11. 為支援雅安災區(qū)，某學校計劃將“義捐義賣”活動中籌集的部分資金用于購買A，B兩種型號的學習用品共1000件，已知A型學習用品的單價為20元，B型學習用品的單價為30元。 （1）若購買這批學習用品用了26000元，則購買A，B兩種學習用品各多少件？ （2）若購買這批學習用品的錢不超過28000元，則最多購買B型學習用品多少件？ **12. 四川省第十二屆運動會將于2014年8月18日在遂寧市隆重開幕，根據大會組委會安排，某校接受了開幕式大型團體操表演任務。為此，學校需要采購一批演出服裝，A、B兩家制衣公司都愿成為這批服裝的供應商。經了解：兩家公司生產的這款演出服裝的質量和單價都相同，即男裝每套120元，女裝每套100元。經洽談協(xié)商：A公司給出的優(yōu)惠條件是，全部服裝按單價打七折，但校方需承擔2200元的運費；B公司的優(yōu)惠條件是男女裝均按每套100元打八折，公司承擔運費。另外根據大會組委會要求，參加演出的女生人數應是男生人數的2倍少100人，如果設參加演出的男生有x人。 （1）分別寫出學校購買A、B兩公司服裝所付的總費用y1（元）和y2（元）與參演男生人數x之間的關系式； （2）問：該學校購買哪家制衣公司的服裝比較合算？請說明理由。  一、選擇題 1. D 解析：∵a＞1，∴M－P＝a－＝，， ∴M＞P，P＞N，∴M＞P＞N，故選D。 2. C 解析：從左圖看出一個▉重于一個▲，一個▲等于兩個●，故選C。 3. A 解析：根據題意得：，解得：，則6－m＜0，解得：m＞6。故選A。 4. C 解析：設他乘此出租車從甲地到乙地的路程為x千米，根據題意得：7＋2.4（x－3）≤19，解得，所以甲地到乙地路程的最大值是8。故選C。 二、填空題 5. 56 解析：設這個班有x個人，依題意列不等式x－（）≤6，解得x≤56，故填56。 6. 解析：根據非負數的性質“若幾個非負數的和為0，則這幾個非負數同時為0”，得：x－2＝0，且2x－3y－a＝0。解得：x＝2，，由y是正數，得：，解得：。 7. 4 解析：設這張相片上的同學有x人，依題意得： 0.68＋0.5x≤0.7x 解之得，x≥3.4， ∵人數為整數， ∴這張相片上的同學最少有4人。 8. m＜－1 解析：①＋②得3（x＋y）＝2＋2m。∵x＋y＜0?！?＋2m＜0?！鄊＜－1。 三、解答題 9. 解：設應答對x道，則：10x－5（20－x）＞90 解得x＞12， ∵x取整數， ∴x最小為13。 答：他至少要答對13道題。 10. 解：設他們要登的山峰距出發(fā)點有x（km），則上山時間為（h），下山時間為，根據題意，得，解之得。 答：他們最遠可去的山峰是C。 11. 解：（1）設購買A型學習用品x件，則B型學習用品為。 根據題意，得 解方程，得x＝400。 則。 答：購買A型學習用品400件，購買B型學習用品600件。 （2）設最多購買B型學習用品x件，則購買A型學習用品為件。 根據題意，得 解不等式，得。 答：最多購買B型學習用品800件。 12. 解：（1）總費用y1（元）和y2（元）與參演男生人數x之間的關系式分別是： y1＝0.7[120x＋100（2x－100）]＋2200＝224x－4800， y2＝0.8[100（3x－100）]＝240x－8000； （2）由題意，得 當y1＞y2時，即224x－4800＞240x－8000，解得：x＜200； 當y1＝y(tǒng)2時，即224x－4800＝240x－8000，解得：x＝200 當y1＜y2時，即224x－4800＜240x－8000，解得：x＞200 即當參演男生少于200人時，購買B公司的服裝比較合算； 當參演男生等于200人時，購買兩家公司的服裝總費用相同，可任選一家公司購買； 當參演男生多于200人時，購買A公司的服裝比較合算。