九年級數(shù)學(xué)下冊 專題突破講練 利用二次函數(shù)設(shè)計方案試題 （新版）青島版.doc
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利用二次函數(shù)設(shè)計方案 利用二次函數(shù)設(shè)計方案 這類問題常常給出問題情景與解決問題的要求，讓學(xué)生設(shè)計解決問題的方案，或給出多種不同方案，讓學(xué)生判斷它們的優(yōu)劣。 這類試題不僅要求學(xué)生要有扎實的數(shù)學(xué)雙基知識，而且要能夠把實際問題中所涉及的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化、抽象成具體的數(shù)學(xué)問題。解這類問題的關(guān)鍵是尋找相等關(guān)系，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問題。 方法歸納： 從方法上分兩類進(jìn)行概括： （1）方案已知，要求選優(yōu)； （2）先求方案，再選最優(yōu)。 總結(jié)： 1. 能夠利用二次函數(shù)解決施工方案、銷售方案等實際應(yīng)用問題。 2. 能夠利用二次函數(shù)進(jìn)行方案設(shè)計，解決較為復(fù)雜的應(yīng)用問題。 例題1 今年，6月12日為端午節(jié)。在端午節(jié)前夕，三位同學(xué)到某超市調(diào)研一種進(jìn)價為2元的粽子的銷售情況。請根據(jù)小麗提供的信息，解答小華和小明提出的問題。 （1）小華的問題解答：__________。 （2）小明的問題解答：__________。 解析：本題是以對話的形式給出的，首先應(yīng)明確已知和所求，再根據(jù)題意建立二次函數(shù)關(guān)系模型，利用二次函數(shù)的最值進(jìn)行解答。 答案：解：（1）設(shè)實現(xiàn)每天800元利潤的定價為x元/個，根據(jù)題意，得（x－2）（500－10）＝800。整理得：x2－10x＋24＝0，解之得：x1＝4，x2＝6?！呶飪r局規(guī)定，售價不能超過進(jìn)價的240%，即2240%＝4.8（元），∴x2＝6不合題意，舍去，得x＝4。答：應(yīng)定價4元/個，才可獲得800元的利潤。 （2）設(shè)每天利潤為W元，定價為x元/個，得W＝（x－2）（500－10）＝－100x2＋1000x－1600＝－100（x－5）2＋900。∵x≤5時W隨x的增大而增大，且x≤4.8，∴當(dāng)x＝4.8時，W最大＝－100（4.8－5）2＋900＝896＞800。故800元不是最大利潤，當(dāng)定價為4.8元/個時，每天利潤最大。 點撥：本題主要考查利用二次函數(shù)模型解決實際問題的能力。要先根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)關(guān)系式求值。注意：數(shù)學(xué)應(yīng)用題來源于實踐并應(yīng)用于實踐，在當(dāng)今社會市場經(jīng)濟(jì)的環(huán)境下，應(yīng)掌握一些有關(guān)商品價格和利潤的知識。 例題2 某商場要經(jīng)營一種新上市的文具，進(jìn)價為20元，試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價是25元時，每天的銷售量為250件，銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件。 （1）寫出商場銷售這種文具，每天所得的銷售利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）求銷售單價為多少元時，該文具每天的銷售利潤最大； （3）商場的營銷部結(jié)合上述情況，提出了A、B兩種營銷方案：方案A：該文具的銷售單價高于進(jìn)價且不超過30元；方案B：每天銷售量不少于10件，且每件文具的利潤至少為25元。請比較哪種方案的最大利潤更高，并說明理由。 解析：本題可根據(jù)總利潤＝（銷售價－進(jìn)價）銷售量來確立函數(shù)關(guān)系式，關(guān)鍵是第（3）題，求兩種方案的最大利潤時，不一定是二次函數(shù)頂點處的最值，可畫出圖形，結(jié)合二次函數(shù)的圖象解答。 答案：（1）w＝（x－20）[250－10（x－25）]＝－10x2＋700x－10000； （2）w＝－10x2＋700x－10000＝－10（x－35）2＋2250， 所以，當(dāng)x＝35時，w有最大值2250， 即銷售單價為35元時，該文具每天的銷售利潤最大。 （3）方案A：由題意可得20＜x≤30， 因為a＝－10＜0，對稱軸為x＝35，所以該拋物線開口向下，在對稱軸左側(cè)，w隨x的增大而增大，所以當(dāng)x＝30時，w取得最大值為w＝－10（30－35）2＋2250＝2000（元）。 方案B：由題意可得，解得：45≤x≤49。 在對稱軸右側(cè)，w隨x的增大而減小， 所以當(dāng)x＝45時，w取得最大值為w＝－10（45－35）2＋2250＝1250（元）。 因為2000＞1250，所以選擇方案A。 點撥：這是一類比較簡單的方案設(shè)計問題，確切地講，方案不需要設(shè)計，題目已經(jīng)給出具體方案。解答這類問題時關(guān)鍵是對所給方案進(jìn)行比較，找出合適的、合理的方案。從二次函數(shù)的應(yīng)用這個角度講，本題主要考查了利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求二次函數(shù)的最值，特別是非頂點處的最值。 有些方案設(shè)計問題其本質(zhì)就是求滿足某種特殊要求的自變量的取值或函數(shù)值。解答這類問題時的解題策略與一般的函數(shù)應(yīng)用問題相同，需要特別注意的是自變量和函數(shù)值的特殊要求，這往往表現(xiàn)在自變量或函數(shù)值是整數(shù)、正整數(shù)等。 例 某小區(qū)有一長100m，寬80m的空地，現(xiàn)將其建成花園廣場，設(shè)計圖案如圖所示，陰影區(qū)域為綠化區(qū)（四塊綠化區(qū)是全等矩形），空白區(qū)域為活動區(qū)，且四周出口一樣寬，寬度不小于50m，不大于60m。預(yù)計活動區(qū)每平方米造價60元，綠化區(qū)每平方米造價50元。 （1）設(shè)其中一塊綠化區(qū)的長邊長為x m，寫出工程總造價y（元）與x（m）的函數(shù)關(guān)系式（寫出x的取值范圍）； （2）如果小區(qū)投資46.9萬元，問能否完成工程任務(wù)？若能，請寫出x為整數(shù)的所有工程方案；若不能，請說明理由。（參考數(shù)據(jù)：≈1.732） 答案：解：（1）因為出口寬為（100－2x），所以一塊綠化區(qū)的短邊長為[80－（100－2x）]＝（x－10），所以y＝504x（x－10）＋60[10080－4x（x－10）]＝200x2－2000x＋480000－240x2＋2400x，所以y＝－40x2＋400x＋480000（20≤x≤25）。 （2）能。因為－40x2＋400x＋480000＝469000，所以x2－10x－275＝0，所以x＝＝510。所以x1＝5＋10≈22.32，x2=5－10－12.32（舍去），所以投資46.9萬元能完成工程任務(wù)。 因為y＝－40x2＋400x＋480000（20≤x≤25）的對稱軸是x＝－＝5，又因為此拋物線開口向下，所以在20≤x≤25內(nèi)y隨x的增大而減小，所以當(dāng)x≥22.32時投資46.9萬元能夠完成工程任務(wù)，x為整數(shù)的工程方案如下： 方案一：一塊矩形綠化區(qū)的長為23m，寬為13m； 方案二：一塊矩形綠化區(qū)的長為24m，寬為14m； 方案三：一塊矩形綠化區(qū)的長為25m，寬為15m。 點撥：本題是確定函數(shù)關(guān)系式及利用函數(shù)的性質(zhì)設(shè)計工程方案的問題。解題過程中應(yīng)理解：①工程總造價包括綠化區(qū)造價和活動區(qū)造價兩部分；②根據(jù)投資額得出方程，結(jié)合圖象的性質(zhì)求出完成工程任務(wù)的所有方案。 一、選擇題 1. 喜迎圣誕，某商店銷售一種進(jìn)價為50元/件的商品，售價為60元/件，每星期可賣出200件，若每件商品的售價每上漲1元，則每星期就會少賣出10件。設(shè)每件商品的售價上漲x元（x為正整數(shù)），每星期銷售該商品的利潤為y元，則y與x的函數(shù)解析式為（ ） A. y＝－10x2＋100x＋2000 B. y＝10x2＋100x＋2000 C. y＝－10x2＋200x D. y＝－10x2－100x＋2000 *2. 生產(chǎn)季節(jié)性產(chǎn)品的企業(yè)，當(dāng)它的產(chǎn)品無利潤時就會及時停產(chǎn)，現(xiàn)有一生產(chǎn)季節(jié)性產(chǎn)品的企業(yè)，一年中獲得利潤y與月份n之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝－n2＋15n－36，那么該企業(yè)一年中應(yīng)停產(chǎn)的月份是（ ） A. 1月，2月 B. 1月，2月，3月 C. 3月，12月 D. 1月，2月，3月，12月 *3. 某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個檔次。第1檔次（最低檔次）的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)76件，每件利潤10元。每提高一個檔次，每件利潤增加2元，但一天產(chǎn)量減少4件。該工廠一天能獲得的最大利潤是（ ） A. 1120元 B. 1144元 C. 1152元 D. 1160元 **4. 某企業(yè)投資100萬元引進(jìn)一條新產(chǎn)品加工線，若不計維修、保養(yǎng)費用，預(yù)計投產(chǎn)后每年可創(chuàng)利33萬元，該生產(chǎn)線投產(chǎn)后，從第1年到第x年的維修、保養(yǎng)費用累計為y萬元，其情況如圖所示，可以看出圖中的折線近似于過原點的拋物線的一部分。則該公司第幾年可以收回投資并開始贏利（ ） A. 第3年 B. 第4年 C. 第5年 D. 第6年 二、填空題 *5. 李大伯第一次種植大棚菜，在塑料大棚內(nèi)密植了100棵黃瓜秧，收獲時，每棵黃瓜秧平均只收獲2千克黃瓜，聽說鄰居每棵黃瓜秧可收獲近5千克黃瓜，他便向縣農(nóng)業(yè)技術(shù)員請教，農(nóng)業(yè)技術(shù)員查看了情況后說：種植太密，不通風(fēng)，并告訴他如何改進(jìn)。已知每少栽一棵秧苗，一棵黃瓜秧平均可多收0.1千克黃瓜，那么請你幫李伯伯計算減少__________棵黃瓜秧苗收獲最多，最多收獲__________千克。 **6. 某種消費品每件60元，不收附加稅時，每年大約銷售80萬件，若政府收附加稅時，每銷售100元要征稅x元（叫做稅率x%），則每年銷售量將減少x萬件，要使每年在此項經(jīng)營中收取的稅金不少于128萬元，問稅率x%的范圍是__________，當(dāng)稅率x%＝__________時，所收取的稅金最多，為__________萬元。 **7. 某旅行社有100張床位，每床每日收費10元，客床可全部租出，若每床每日收費提高2元，則租出床位減少10張。若每床每日收費再提高2元，則租出床位再減少10張。以每提高2元的這種方法變化下去，為了投資少而獲利大，每床每日應(yīng)提高_(dá)_________元。 **8. 某工廠要趕制一批抗震救災(zāi)用的大型活動板房。如圖，板房一面的形狀是由矩形和拋物線的一部分組成，矩形長為12m，拋物線拱高為5.6m?，F(xiàn)需在拋物線AOB的區(qū)域內(nèi)安裝幾扇窗戶，窗戶的底邊在AB上，每扇窗戶寬1.5m，高1.6m，相鄰窗戶之間的間距均為0.8m，左右兩邊窗戶的窗角所在的點到拋物線的水平距離至少為0.8m。最多可安裝__________扇這樣的窗戶。（參考數(shù)據(jù)：≈5.072） 三、解答題 9. 某商場以100元一件的價格進(jìn)一批服裝，若將售價定為120元一件，則每天可賣120件，經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價每增加5元，則每天會少賣10件，那么商場將售價定為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？ 10. 某商場購進(jìn)一種每件價格為100元的新商品，在商場試銷發(fā)現(xiàn)：銷售單價x（元/件）與每天銷售量y（件）之間滿足如圖所示的關(guān)系： （1）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）寫出每天的利潤W與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式；若你是商場負(fù)責(zé)人，會將售價定為多少，來保證每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少？ **11. 某商場經(jīng)營某種品牌的玩具，購進(jìn)時的單價是30元，根據(jù)市場調(diào)查：在一段時間內(nèi)，銷售單價是40元時，銷售量是600件，而銷售單價每漲1元，就會少售出10件玩具。 （1）不妨設(shè)該種品牌玩具的銷售單價為x元（x＞40），請你分別用x的代數(shù)式來表示銷售量y件和銷售該品牌玩具獲得的利潤w元，并把結(jié)果填寫在表格中： 銷售單價（元） x 銷售量y（件） __________ 銷售玩具獲得利潤w（元） __________ （2）在（1）問條件下，若商場獲得了10000元銷售利潤，求該玩具銷售單價x應(yīng)定為多少元。 （3）在（1）問條件下，若玩具廠規(guī)定該品牌玩具銷售單價不低于44元，且商場要完成不少于540件的銷售任務(wù)，求商場銷售該品牌玩具獲得的最大利潤是多少？ **12. 為鼓勵大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市政府出臺了相關(guān)政策：由政府協(xié)調(diào)，本市企業(yè)按成本價提供產(chǎn)品給大學(xué)畢業(yè)生自主銷售，成本價與出廠價之間的差價由政府承擔(dān)。李明按照相關(guān)政策投資銷售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈。已知這種節(jié)能燈的成本價為每件10元，出廠價為每件12元，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù)：y＝－10x＋500。 （1）李明在開始創(chuàng)業(yè)的第一個月將銷售單價定為20元，那么這個月政府為他承擔(dān)的總差價為多少元？ （2）設(shè)李明獲得的利潤為w（元），當(dāng)銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？ （3）物價部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價不得高于25元。如果李明想要每月獲得的利潤不低于3000元，那么政府為他承擔(dān)的總差價最少為多少元？ 一、選擇題 1. A 解析：設(shè)每件商品的售價上漲x元（x為正整數(shù)），則每件商品的利潤為：（60－50＋x）元，總銷量為：（200－10x）件，商品利潤為：y＝（60－50＋x）（200－10x）＝（10＋x）（200－10x）＝－10x2＋100x＋2000。故選：A。 *2. D 解析：令y＝0，則－n2＋15n－36＝0，∴n2－15n＋36＝0，解得n1＝3，n2＝12，∵a＝－1＜0，∴拋物線開口向下，∴n＝1和n＝2時，y＜0，∴該企業(yè)一年中應(yīng)停產(chǎn)的月份是1月，2月，3月，12月。故選D。 *3. C 解析：設(shè)生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品一天的總利潤為y元（其中x為正整數(shù)，且1≤x≤10），則y＝[10＋2（x－1）][76－4（x－1）]＝－8x2＋128x＋640＝－8（x－8）2＋1152，所以生產(chǎn)第8檔次的產(chǎn)品一天能獲得最大利潤1152元。 **4. B 解析：因為此拋物線過原點，所以設(shè)其解析式為y＝ax2＋bx。由題意可知，x＝1時，y＝1.5；x＝2時，y＝5，分別代入y＝ax2＋bx，得，解得a＝1，b＝，∴y＝x2＋x。設(shè)g＝33x－100－x2－x，則g＝－x2＋32x－100。當(dāng)x＝3時，g＝－9＋3－100＜0，當(dāng)x＝4時，g＝－16＋130－100＝14（萬元），即第4年可收回投資并開始贏利。 二、填空題 *5. 40，360 解析：設(shè)減少x棵黃瓜秧苗，使得黃瓜收獲最多，由題意得：y＝（100－x）（0.1＋2）＝－0.1x2＋8x＋200＝－0.1（x－40）2＋360，∴當(dāng)x＝40棵時，y最多＝360千克。故答案為：40，360。 **6. 4%≤x%≤8%，6%，144 解析：設(shè)收取的稅金為y萬元，則y＝（80－x）60＝－4x2＋48x＝－4（x－6）2＋144。解－4x2＋48x＝128，得x1＝4，x2＝8，因為拋物線開口向下，所以當(dāng)4≤x≤8時，y≥128，即稅金不少于128萬元時稅率x%的范圍是4%≤x%≤8%。當(dāng)x＝6時，y最大＝144，即當(dāng)稅率x%＝6%時收取的稅金最多，為144萬元。 依題意有：征附加稅x元（叫做稅率x%），每年銷售量將減少x萬件，則銷量變?yōu)椋?0－x）萬件，要使每年在此項經(jīng)營中所收取的附加稅額不少于128萬元，可以建立如下不等式：（80－x）60≥128，解得：4≤x≤8。∴4%≤x%≤8%，W＝（80－x）60＝－4x2+48x，當(dāng)x＝－＝6時，W最大＝144。 **7. 6 解析：設(shè)每床每日應(yīng)提高x元，每日獲利為y元，則y＝（10＋x）（100－10）＝－5（x－5）2＋1125（2＜x＜10），∵a＝－5＜0，∴函數(shù)圖象開口向下，二次函數(shù)有最大值，∴為了投資少而獲利大，當(dāng)x＝6時，每日獲利y最大。故填6元。注意本題是以每提高2元的方案進(jìn)行的，雖然x＝4和x＝6都獲利大，但當(dāng)x＝4時租出的床位數(shù)大于x＝6時租出的床位數(shù)，投資會多一些，所以當(dāng)x＝6時投資少而獲利大。 **8. 4 解析：設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝ax2，點B（6，－5.6）在拋物線的圖象上。∴－5.6＝36a，解得a＝－，∴拋物線的表達(dá)式為y＝－x2。設(shè)窗戶上邊所在直線交拋物線于C、D兩點，D點坐標(biāo)為（k，t），已知窗戶高1.6m，∴t＝－5.6+（1.6）＝－4，有－4＝－k2，解得k＝5.07（負(fù)值舍去），∴CD＝5.072＝10.14m，又設(shè)最多可安裝n扇窗戶，∴1.5n＋0.8（n＋1）≤10.14，解得n≤4.06。即最多可安裝4扇窗戶。 三、解答題 9. 解：設(shè)每天銷售利潤為y元，而售價為x元，則由題意得y＝（x－100）（120－10）＝－2x2＋560x－36000（100下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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