《2019高中數(shù)學(xué) 第四章 圓與方程 4.1 圓的方程（第1課時）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程講義（含解析）新人教A版必修2.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019高中數(shù)學(xué) 第四章 圓與方程 4.1 圓的方程（第1課時）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程講義（含解析）新人教A版必修2.doc（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
第1課時 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
[核心必知]
1．預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入
根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P118～P120，回答下列問題．
(1)圓是怎樣定義的？確定它的要素又是什么呢？各要素與圓有怎樣的關(guān)系？
提示：平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)是圓．定點就是圓心，定長就是半徑．圓心和半徑．圓心：確定圓的位置；半徑：確定圓的大?。?
(2)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時常用哪些幾何性質(zhì)？
提示：求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是確定圓心坐標(biāo)和半徑，為此常用到圓的以下幾何性質(zhì)：
①弦的垂直平分線必過圓心．
②圓內(nèi)的任意兩條弦的垂直平分線的交點一定是圓心．
③圓心與切點的連線長是半徑長．
④圓心與切點的連線必與切線垂直．
2．歸納總結(jié)，核心必記
(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
①圓的定義：平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓，定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑．
②確定圓的要素是圓心和半徑，如圖所示．
③圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為A(a，b)，半徑長為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
當(dāng)a＝b＝0時，方程為x2＋y2＝r2，表示以原點為圓心、半徑為r的圓．
(2)點與圓的位置關(guān)系
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圓心A(a，b)，半徑為r.設(shè)所給點為M(x0，y0)，則
位置
關(guān)系
判斷方法
幾何法
代數(shù)法
點在
圓上
│MA│＝r?點M在圓A上
點M(x0，y0)在圓上?(x0－a)2＋(y0－b)2＝
點在
圓內(nèi)
│MA│
r?點M在圓A外
點M(x0，y0)在圓外?(x0－a)2＋(y0－b)2＞
[問題思考]
方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a，b，r∈R)表示一個圓嗎？為什么？
提示：未必表示圓．當(dāng)r≠0時，表示圓心為(a，b)，半徑為|r|的圓；當(dāng)r＝0時，表示一個點(a，b)．
[課前反思]
通過以上預(yù)習(xí)，必須掌握的幾個知識點．
(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？怎樣求解？
??；
(2)點與圓有哪些位置關(guān)系？
.
“南昌之星”摩天輪2006年建成時是世界上最高的摩天輪，它位于江西省南昌市紅谷灘新區(qū)紅角洲贛江邊上的贛江市民公園，是南昌市標(biāo)志性建筑．該摩天輪總高度為160米，轉(zhuǎn)盤直徑為153米．
[思考1] 游客在摩天輪轉(zhuǎn)動過程中離摩天輪中心的距離一樣嗎？
提示：一樣．圓上的點到圓心的距離都是相等的，都是圓的半徑．
[思考2] 若以摩天輪中心所在位置為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，游客在任一點(x，y)的坐標(biāo)滿足什么關(guān)系？
提示：＝.
[思考3] 以(1,2)為圓心，3為半徑的圓上任一點的坐標(biāo)(x，y)滿足什么關(guān)系？
提示： ＝3.
[思考4] 確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需具備哪些條件？
名師指津：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2中有三個參數(shù)，要確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要確定這三個參數(shù)，其中圓心(a，b)是圓的定位條件，半徑r是圓的定量條件．
講一講
1．求過點A(1，－1)，B(－1,1)且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(鏈接教材P120－例3)
[嘗試解答] 法一：設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由已知條件知
解此方程組，得
故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.
法二：設(shè)點C為圓心，∵點C在直線x＋y－2＝0上，
∴可設(shè)點C的坐標(biāo)為(a,2－a)．
又∵該圓經(jīng)過A，B兩點，
∴|CA|＝|CB|.
∴＝，
解得a＝1.
∴圓心坐標(biāo)為C(1,1)，半徑長r＝|CA|＝2.
故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.
法三：由已知可得線段AB的中點坐標(biāo)為(0,0)，
kAB＝＝－1，
∴弦AB的垂直平分線的斜率為k＝1，
∴AB的垂直平分線的方程為y－0＝1(x－0)，
即y＝x.則圓心是直線y＝x與x＋y－2＝0的交點，
由得
即圓心為(1,1)，
圓的半徑為＝2，
故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.
求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法
確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就是設(shè)法確定圓心C(a，b)及半徑r，其求解的方法：
(1)待定系數(shù)法，如法一，建立關(guān)于a，b，r的方程組，進而求得圓的方程；
(2)借助圓的幾何性質(zhì)直接求得圓心坐標(biāo)和半徑，如法二、三．一般地，在解決有關(guān)圓的問題時，有時利用圓的幾何性質(zhì)作轉(zhuǎn)化較為簡捷．
練一練
1．求下列圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)圓心是(4,0)，且過點(2,2)；
(2)圓心在y軸上，半徑為5，且過點(3，－4)；
(3)過點P(2，－1)和直線x－y＝1相切，并且圓心在直線y＝－2x上．
解：(1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，
∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－4)2＋y2＝8.
(2)設(shè)圓心為C(0，b)，
則(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
∴b＝0或b＝－8，
∴圓心為(0,0)或(0，－8)，
又r＝5，
∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
(3)∵圓心在y＝－2x上，設(shè)圓心為(a，－2a)，
則圓心到直線x－y－1＝0的距離為r.
∴r＝， ①
又圓過點P(2，－1)，
∴r2＝(2－a)2＋(－1＋2a)2， ②
由①②得或
∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝2或(x－9)2＋(y＋18)2＝338.
愛好運動的小華，小強，小兵三人相邀搞一場擲飛鏢比賽，他們把靶子釘在土墻上，規(guī)定誰的飛鏢離靶心O越近，誰獲勝，如圖A，B，C分別是他們擲一輪飛鏢的落點．看圖回答下列問題：
[思考1] 點與圓的位置關(guān)系有幾種？
提示：三種．點在圓外、圓上、圓內(nèi)．
[思考2] 如何判斷他們的勝負(fù)？
提示：利用點與圓心的距離．
講一講
2．已知圓心在點C(－3，－4)，且經(jīng)過原點，求該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷點P1(－1,0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圓的位置關(guān)系．(鏈接教材P119—例1)
[嘗試解答] 因為圓心是C(－3，－4)，且經(jīng)過原點，
所以圓的半徑r＝＝5，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x＋3)2＋(y＋4)2＝25.
因為|P1C|＝＝＝2<5，所以P1(－1,0)在圓內(nèi)；
因為|P2C|＝＝5，
所以P2(1，－1)在圓上；
因為|P3C|＝＝6>5，
所以P3(3，－4)在圓外．
(1)判斷點與圓的位置關(guān)系的方法
①只需計算該點與圓的圓心距離，與半徑作比較即可；
②把點的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷式子兩邊的大小，并作出判斷．
(2)靈活運用
若已知點與圓的位置關(guān)系，也可利用以上兩種方法列出不等式或方程，求解參數(shù)范圍．
練一練
2．已知點A(1,2)不在圓C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的內(nèi)部，求實數(shù)a的取值范圍．
解：由題意，點A在圓C上或圓C的外部，
∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，
∴2a＋5≥0，
∴a≥－，又a≠0，
∴a的取值范圍是∪(0，＋∞)．
講一講
3．已知x和y滿足(x＋1)2＋y2＝，試求：
(1)x2＋y2的最值；(2)x＋y的最值．
[思路點撥] 首先觀察x、y滿足的條件，其次觀察所求式子的幾何意義，最后結(jié)合圖形求出其最值．
[嘗試解答] (1)據(jù)題意知x2＋y2表示圓上的點到坐標(biāo)原點距離的平方，顯然當(dāng)圓上的點與坐標(biāo)原點的距離取最大值和最小值時，其平方也相應(yīng)取得最大值和最小值．原點O(0,0)到圓心C(－1,0)的距離d＝1，故圓上的點到坐標(biāo)原點的最大距離為1＋＝，最小距離為1－＝.因此x2＋y2的最大值和最小值分別為和.
(2)令y＋x＝b并將其變形為y＝－x＋b.問題轉(zhuǎn)化為斜率為－1的直線在經(jīng)過圓上的點時在y軸上的截距的最值．當(dāng)直線和圓相切時在y軸上的截距取得最大值和最小值，此時有＝，解得b＝－1，即最大值為－1，最小值為－－1.
數(shù)形結(jié)合思想能有效地找到解題的捷徑，解題時找到圓心和半徑，分析待求數(shù)學(xué)表達式的幾何意義，將“數(shù)”與“形”有機地結(jié)合起來是求解與圓有關(guān)的最值問題的關(guān)鍵．
練一練
3．已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，點A(0，－1)，B(0,1)，設(shè)P是圓C上的動點，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值．
解：設(shè)P(x，y)，
則d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2.
∵|CO|2＝32＋42＝25，
∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2.
即16≤x2＋y2≤36.
∴d的最小值為216＋2＝34.
最大值為236＋2＝74.
————————————[課堂歸納感悟提升]—————————————
1．本節(jié)課的重點是會用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，能根據(jù)所給條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握點與圓的位置關(guān)系．難點是根據(jù)所給條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
2．本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法
(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，見講1.
(2)判斷點與圓的位置關(guān)系的方法，見講2.
(3)求與圓有關(guān)的最值的方法，見講3.
3．本節(jié)課的易錯點是求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中易漏解，如練1.
課下能力提升(二十二)
[學(xué)業(yè)水平達標(biāo)練]
題組1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
1．圓(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圓心和半徑分別是( )
A．(－2,3)，1 B．(2，－3)，3
C．(－2,3)， D．(2，－3)，
解析：選D 由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心坐標(biāo)為(2，－3)，半徑為.
2．(2016洛陽高一檢測)圓心為(0,4)，且過點(3,0)的圓的方程為( )
A．x2＋(y－4)2＝25 B．x2＋(y＋4)2＝25
C．(x－4)2＋y2＝25 D．(x＋4)2＋y2＝25
解析：選A 由題意，圓的半徑r＝＝5，則圓的方程為x2＋(y－4)2＝25.
3．(2016達州高一檢測)△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(1,0)，B(3,0)，C(3,4)，則△ABC的外接圓方程是 ( )
A．(x－2)2＋(y－2)2＝20
B．(x－2)2＋(y－2)2＝10
C．(x－2)2＋(y－2)2＝5
D．(x－2)2＋(y－2)2＝
解析：選C 易知△ABC是直角三角形，∠B＝90，所以圓心是斜邊AC的中點(2,2)，半徑是斜邊長的一半，即r＝，所以外接圓的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝5.
4．經(jīng)過原點，圓心在x軸的負(fù)半軸上，半徑為2的圓的方程是________．
解析：圓心是(－2,0)，半徑是2，所以圓的方程是(x＋2)2＋y2＝4.
答案：(x＋2)2＋y2＝4
5．求過點A(1,2)和B(1,10)且與直線x－2y－1＝0相切的圓的方程．
解：圓心在線段AB的垂直平分線y＝6上，設(shè)圓心為(a,6)，半徑為r，則圓的方程為(x－a)2＋(y－6)2＝r2.
將點(1,10)代入得(1－a)2＋(10－6)2＝r2， ①
而r＝，代入①，得(a－1)2＋16＝，
解得a＝3，r＝2或a＝－7，r＝4.
故所求圓的方程為(x－3)2＋(y－6)2＝20或(x＋7)2＋(y－6)2＝80.
題組2 點與圓的位置關(guān)系
6．點P(m2,5)與圓x2＋y2＝24的位置關(guān)系是( )
A．在圓外 B．在圓內(nèi)
C．在圓上 D．不確定
解析：選A 把點P(m2,5)代入圓的方程x2＋y2＝24得m4＋25>24，故點P在圓外．
7．點(5＋1，)在圓(x－1)2＋y2＝26的內(nèi)部，則a的取值范圍是________．
解析：由于點在圓的內(nèi)部，所以(5＋1－1)2＋()2＜26，即26a＜26，又a≥0，解得0≤a＜1.
答案：[0,1)
8．已知圓M的圓心坐標(biāo)為(3,4)，且A(－1,1)，B(1,0)，C(－2,3)三點一個在圓M內(nèi)，一個在圓M上，一個在圓M外，則圓M的方程為________．
解析：∵|MA|＝＝5，
|MB|＝＝2，
|MC|＝＝，
∴|MB|＜|MA|＜|MC|，
∴點B在圓M內(nèi)，點A在圓M上，點C在圓M外，
∴圓的半徑r＝|MA|＝5，
∴圓M的方程為(x－3)2＋(y－4)2＝25.
答案：(x－3)2＋(y－4)2＝25
題組3 與圓有關(guān)的最值問題
9．設(shè)P是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的動點，Q是直線x＝－3上的動點，則|PQ|的最小值為( )
A．6 B．4 C．3 D．2
解析：選B 由題意，知|PQ|的最小值即為圓心到直線x＝－3的距離減去半徑長，即|PQ|的最小值為6－2＝4.
10．已知點P(x，y)在圓x2＋y2＝1上，則的最大值為________．
解析：的幾何意義是圓上的點P(x，y)到點(1,1)的距離，因此最大值為＋1.
答案：1＋
[能力提升綜合練]
1．與圓(x－3)2＋(y＋2)2＝4關(guān)于直線x＝－1對稱的圓的方程為( )
A．(x＋5)2＋(y＋2)2＝4
B．(x－3)2＋(y＋2)2＝4
C．(x－5)2＋(y＋2)2＝4
D．(x－3)2＋y2＝4
解析：選A 已知圓的圓心(3，－2)關(guān)于直線x＝－1的對稱點為(－5，－2)，
∴所求圓的方程為(x＋5)2＋(y＋2)2＝4.
2．圓心為C(－1,2)，且一條直徑的兩個端點落在兩坐標(biāo)軸上的圓的方程是( )
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝20
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5
D．(x＋1)2＋(y－2)2＝20
解析：選C 因為直徑的兩個端點在兩坐標(biāo)軸上，所以該圓一定過原點，所以半徑r＝＝，又圓心為C(－1,2)，故圓的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝5，故選C.
3．方程y＝表示的曲線是( )
A．一條射線 B．一個圓
C．兩條射線 D．半個圓
解析：選D y＝可化為x2＋y2＝9(y≥0)，故表示的曲線為圓x2＋y2＝9位于x軸及其上方的半個圓．
4．當(dāng)a為任意實數(shù)時，直線(a－1)x－y＋a＋1＝0恒過定點C，則以C為圓心，為半徑的圓的方程為( )
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5
B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5
D．(x－1)2＋(y－2)2＝5
解析：選C 直線方程變?yōu)?x＋1)a－x－y＋1＝0.由得
∴C(－1,2)，∴所求圓的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝5.
5．(2016合肥高一檢測)圓心為直線x－y＋2＝0與直線2x＋y－8＝0的交點，且過原點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．
解析：由可得x＝2，y＝4，
即圓心為(2,4)，從而r＝＝2，
故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－4)2＝20.
答案：(x－2)2＋(y－4)2＝20
6．若圓心在x軸上，半徑為的圓C位于y軸左側(cè)，且與直線x＋2y＝0相切，則圓C的方程是________．
解析：如圖所示，設(shè)圓心C(a,0)，則圓心C到直線x＋2y＝0的距離為＝，解得a＝－5，a＝5(舍去)，
∴圓心是(－5,0)．故圓的方程是(x＋5)2＋y2＝5.
答案：(x＋5)2＋y2＝5
7．已知某圓圓心在x軸上，半徑長為5，且截y軸所得線段長為8，求該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解：法一：如圖所示，由題設(shè)|AC|＝r＝5，|AB|＝8，
∴|AO|＝4.在Rt△AOC中，
|OC|＝ ＝ ＝3.
設(shè)點C坐標(biāo)為(a,0)，
則|OC|＝|a|＝3，∴a＝3.
∴所求圓的方程為(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.
法二：由題意設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋y2＝25.
∵圓截y軸線段長為8，∴圓過點A(0,4)．
代入方程得a2＋16＝25，∴a＝3.
∴所求圓的方程為(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.
8．(1)如果實數(shù)x，y滿足(x－2)2＋y2＝3，求的最大值和最小值；
(2)已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋(y－1)2＝，求的取值范圍．
解：(1)法一：如圖，當(dāng)過原點的直線l與圓(x－2)2＋y2＝3相切于上方時最大，過圓心A(2,0)作切線l的垂線交于B，
在Rt△ABO中，OA＝2，AB＝.
∴切線l的傾斜角為60，∴的最大值為.
同理可得的最小值為－.
法二：令＝n，則y＝nx與(x－2)2＋y2＝3聯(lián)立，
消去y得(1＋n2)x2－4x＋1＝0，
Δ＝(－4)2－4(1＋n2)≥0，即n2≤3，
∴－≤n≤，即的最大值、最小值分別為、－.
(2)可以看成圓上的點P(x，y)到A(2,3)的距離．圓心C(0,1)到A(2,3)的距離為d＝＝2.
由圖可知，圓上的點P(x，y)到A(2,3)的距離的范圍是.
即 的取值范圍是2－，2＋.
2019高中數(shù)學(xué) 第四章 圓與方程 4.1 圓的方程（第1課時）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程講義（含解析）新人教A版必修2.doc
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