IIR數(shù)字濾波器的原理及設計.ppt

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第6章IIR數(shù)字濾波器的原理及設計6.1概述6.1.1IIR數(shù)字濾波器的差分方程和系統(tǒng)函數(shù)我們已經知道IIR數(shù)字濾波器是一類遞歸型的線性時不變因果系統(tǒng)，其差分方程可以寫為：（6.1）,,進行z變換，可得：于是得到IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：(6.2),,,6.1.2IIR數(shù)字濾波器的設計方法對(6.2)式的有理函數(shù)的分子、分母多項式進行因式分解，可以得到：(6.3)其中ci為零點而di為極點。H(z)的設計就是要確定系數(shù)、或者零極點、，以使濾波器滿足給定的性能指標。一般有三種方法。,,,,,,1.零極點位置累試法IIR系統(tǒng)函數(shù)在單位圓內的極點處出現(xiàn)峰值、在零點處出現(xiàn)谷值,因此可以根據(jù)此特點來設置H(z)的零極點以達到簡單的性能要求。所謂累試，就是當特性尚未達到要求時，通過多次改變零極點的位置來達到要求。當然這種方法只適用于簡單的、對性能要求不高的濾波器的設計。,2.借助于模擬濾波器的理論和設計方法來設計數(shù)字濾波器模擬濾波器的逼近和綜合理論已經發(fā)展得相當成熟，產生了許多效率很高的設計方法，很多常用濾波器不僅有簡單而嚴格的設計公式，而且設計參數(shù)已圖表化，設計起來方便準確。,,,,,,,,,,,,而數(shù)字濾波器就其濾波功能而言與模擬濾波器是相同的,因此，完全可以借助于模擬濾波器的理論和設計方法來設計數(shù)字濾波器。在IIR數(shù)字濾波器的設計中，較多地采用了這種方法。,,,,,3.用優(yōu)化技術設計系統(tǒng)函數(shù)H(z)的系數(shù)、或者零極點、等參數(shù)，可以采用最優(yōu)化設計方法來確定。最優(yōu)化設計法的第一步是要選擇一種誤差判別準則，用來計算誤差和誤差梯度等。,第二步是最優(yōu)化過程，這個過程的開始是賦予所設計的參數(shù)一組初值，以后就是一次次地改變這組參數(shù)，并一次次計算H(z)的特性與所要求的濾波器的特性之間的誤差，當此誤差達到最小值時，所得到的這組參數(shù)即為最優(yōu)參數(shù)，設計過程也就到此完成。,,,,,,,,,,,,,這種方法能夠精確地設計許多復雜的濾波器，但是往往計算很復雜，需要進行大量的迭代運算，故必須借助于計算機，因而優(yōu)化設計又叫做IIR濾波器的計算機輔助設計(CAD)。第一種方法的算法簡單、設計粗糙，在這里不具體討論了；第三種方法所涉及的內容很多，并且需要最優(yōu)化理論作為基礎，因此在本章中只能作簡要介紹；本章將著重討論用得最多的第二種方法。,,,,,,6.1.3借助于模擬濾波器的理論和方法的設計原理利用模擬濾波器來設計數(shù)字濾波器，要先根據(jù)濾波器的性能指標設計出相應的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，然后由Ha(s)經變換而得到所需要的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。常用的變換方法有沖激響應不變法和雙線性變換法。,,,,6.2模擬低通濾波特性的逼近模擬濾波器的設計包括逼近和綜合兩大部分，其中逼近部分是與數(shù)字濾波器的設計有關的。本節(jié)要討論的是，在已知模擬低通濾波器技術指標的情況下，如何設計其系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，使其逼近所要求的技術指標。,,,,,,模擬系統(tǒng)的頻率響應Ha(jΩ)是沖激響應ha(t)的傅里葉變換，Ha(jΩ)的模表征系統(tǒng)的幅頻特性，下面要討論如何根據(jù)幅頻特性指標來設計系統(tǒng)函數(shù)。圖6.1中用虛線畫出的矩形表示一個理想的模擬低通濾波器的指標，是以平方幅度特性|Ha(jΩ)|2來給出的。,,Ωc是截止頻率，當0≤ΩΩc時，|Ha(jΩ)|2=0，是阻帶。圖6.1中的實的曲線表示一個實際的模擬低通濾波器的平方幅度特性，我們的設計工作就是要用近似特性來盡可能地逼近理想特性。通常采用的典型逼近有Butterworth逼近、Chebyshev逼近和Cauer逼近（也叫橢圓逼近〕。,,,,,,6.2.1Butterworth低通濾波特性的逼近對于Butterworth濾波器有：（6.4）滿足此平方幅度特性的濾波器又叫做B型濾波器。這里N為正整數(shù)，為B型濾波器的階次，為截止頻率。,,6.2.1.1B型濾波特性1.最平坦函數(shù)B型濾波器的幅頻特性是隨?增大而單調下降的。在?=0附近以及?很大時幅頻特性都接近理想情況，而且在這兩處曲線趨于平坦，因此B型特性又叫做最平坦特性。,,,2.3db帶寬由(6.4)式可知，當Ω=Ωc時，=，而因此截止頻率又叫做3db帶寬或者半功率點。,,,,,,,,圖6.1Butterworth低通濾波器的平方幅度特性,3.N的影響在通帶內，01，故N越大，隨?增大而下降越快。,,,因此，N越大，B型濾波器的幅頻特性越接近理想的矩形形狀；而不同的N所對應的特性曲線都經過Ωc處的半功率點。離Ωc越近，幅頻特性與理想特性相差越大。,6.2.1.2由得到Ha(s),B型濾波器的極點由于Ha(s)是s的實系數(shù)有理函數(shù)，故有：，令s=jΩ,則有：，而(6.5)由(6.4)式和(6.5)式有：用s代替上式中的j?:(6.6),,,,,,,圖6.2階次N對B型特性的影響,,(6.6)式的極點為：p=0,1,…,2N-1作為–1的2N次方根，αp均勻地分布在單位圓上，幅角間隔為π/N；它們關于實軸對稱，卻沒有一個在實軸上。顯然，將的模乘上，再將其按逆時針方向旋轉，就得到sp。因此，sp均勻地分布在半徑為的圓周上，其位置關于虛軸對稱，卻沒有一個在虛軸上，這就是說，2N個極點sp在s平面的左、右兩半平面各有N個。,,,,這2N個極點是Ha(s)Ha(-s)的極點，考慮到系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的極點必須在左半平面系統(tǒng)才是穩(wěn)定的，因而將左半s平面的N個極點sk（k=0,1,…,N-1)分給Ha(s)，這樣，右半平面的N個極點-sk就正好是Ha(s)的極點。因此有：(6.8),,這個式子中的常數(shù)是為了使(6.5)式滿足而加入的。這N個極點s0、s1、…、sN-1在s平面的左半平面而且以共軛形式成對出現(xiàn)，當N為奇數(shù)時,有一個在實軸上(為-)。,,,,6.2.1.3一般情況下的B型低通濾波器,圖6.3一般情況下低通濾波器的設計指標,,,,,,此時，應該將角頻率?標稱化，通常以Ω1為基準頻率，則標稱化角頻率為：Ω’=Ω/Ω1。于是通帶邊界的標稱化角頻率為Ω1’=1，并且在通帶有0≤Ω’≤1，在過渡帶和阻帶則有?’>1。以下為了方便起見，仍用不帶撇的?表示標稱化的角頻率。頻率標稱化后，B型濾波器的平方幅度特性仍如(6.2)式所示，只是式中的參數(shù)和N都需要由圖6.3給出的指標來確定。,,,,,（6.4）式可以寫成：(6.10)當Ω=Ω1=1時，上式為：(6.11)令(6.12)則由(6.11)式可得：,,,,,,,,,當時有：(6.13)故(6.14)由(6.14)式可求出N，再將其代入(6.12)式，即可求得。,,,,,6.4沖激響應不變法本節(jié)和下一節(jié)所討論的問題是，在已知模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的情況下，如何求相應的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。s是模擬復頻率，Ha(s)也是模擬濾波器的沖激響應ha(t)的拉氏變換。,6.4.1沖激響應不變法的變換方法模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)通?？梢员硎緸椋?6.62),,而且一般都滿足M0,r>1；當?<0,r<1。,,,(6.75)式既表示了數(shù)字角頻率與模擬角頻率之間的關系，也表示了z平面的幅角ω與s平面的虛部Ω之間的關系。由(6.75)式還可以知道，s平面上?由-π/Ts到π/Ts這一條狀區(qū)域映射到z平面上?由-到的區(qū)域，即整個z平面；s平面上的水平線Ω=-π/Ts映射到z平面上的射線ω=-π，而當這條射線按逆時針方向旋轉時，對應的s平面上的水平線就向上平移。,上面所闡述的不僅是模擬域s平面與數(shù)字域z平面之間的映射關系，而且也是模擬濾波器的頻率與用沖激響應不變法所得到的數(shù)字濾波器的頻率之間的關系。s平面與z平面的映射關系保證了將穩(wěn)定的模擬濾波器變換為穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。,,圖6.14模擬復頻率s與數(shù)字復頻率z之間的映射關系,例6.6用沖激響應不變法設計一個三階Butteworth數(shù)字低通濾波器，抽樣頻率為fs=1.2kHz,截止頻率為=400Hz。解：此數(shù)字濾波器的截止頻率：Ωc=2πfc=2π400=800π弧度/s這也是模擬濾波器的截止頻率，于是可以寫出模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù):,其中，，現(xiàn)在進行部分分式分解，令(*2),,,,,,可以得到：根據(jù)(*1)式和(*2)式，再將A、B、C代入，便得到：,,,,,上式中Ts=1/fs=1/1200（秒）。,,6.5雙線性變換法6.5.1雙線性變換關系的導出模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以變換為：這里為了方便說明，已令M=N。,,,由此式可以看出，模擬濾波器的基本單元是積分器，因此，只要設法用某種數(shù)字網(wǎng)絡來代替此基本單元，就能夠將模擬濾波器轉變成相應的數(shù)字濾波器。模擬濾波器基本單元的系統(tǒng)函數(shù)為：則其沖激響應為：,,,,設有一信號(t≥0）輸入到該積分器系統(tǒng)，則其輸出也即對的響應為：設01,即單位圓外?=0，即虛軸r=1,即單位圓?<0，即左半平面r<1,即單位圓內,因此，用雙線性變換法，穩(wěn)定的模擬濾波器導出的數(shù)字濾波器也必定是穩(wěn)定的。但是，與沖激響應不變法不同的是，在雙線性變換下，模擬濾波器的復頻率s與相應的數(shù)字濾波器的復頻率z之間的映射是一一對應的關系。,,圖6.16雙線性變換法s平面與z平面之間的映射關系,6.5.3頻率預畸變下面討論s平面的虛軸與z平面的單位圓的映射關系，也即模擬濾波器的角頻率?與相應的數(shù)字濾波器的角頻率?之間的關系。在(6.84)式中令?=0，便可得到：或（6.85）,,,圖6.17ω與Ω之間的非線性關系,?與?的關系是非線性的，但是，s平面上的虛軸一一對應地映射到了z平面單位圓的一周之上，因此，采用雙線性變換法，不存在頻域混疊失真的問題。由雙線性變換所引起的模擬濾波器頻率?與數(shù)字頻率?之間的非線性關系，使得所得到的數(shù)字濾波器的相位頻率特性產生失真；,但對于幅度頻率特性，可以通過頻率預畸變來校正。實際上，只要首先根據(jù)所要求的數(shù)字濾波器的各關鍵頻率，按照(6.85)式轉變成相應的模擬頻率，再根據(jù)這些頻率指標來設計模擬濾波器，則最后轉換成的數(shù)字濾波器的各關鍵頻率就會正好映射到所要求的位置上。,6.5.4雙線性變換法的特點1．模擬濾波器經過雙線性變換后，不存在頻率特性的混疊失真，因而對模擬濾波器的頻率響應函數(shù)Ha(?)無限帶要求，而且能夠直接用于設計低通、高通、帶通、帶阻等各種類型的數(shù)字濾波器。,2．與沖激響應不變法中模擬頻率與數(shù)字頻率之間的線性關系ω=ΩTs不同的是，雙線性變換法中模擬濾波器的頻率與所轉換成的數(shù)字濾波器的頻率之間是非線性關系，但是，如果事先進行頻率預畸變，這種非線性關系不會使所設計的數(shù)字濾波器的幅頻特性受到影響。3．雙線性變換方法比較容易，不需要將模擬系統(tǒng)函數(shù)進行部分分式分解。,因此，雙線性變換法是用得很普遍、并且很有效的一種方法；只是，由于頻率的非線性關系會產生相頻特性失真，所以若對數(shù)字濾波器的相位特性要求較嚴，則不宜采用這種變換方法。,最后必須強調說明一下用雙線性變換法來設計數(shù)字濾波器時各種頻率之間的關系。我們在考慮一個數(shù)字濾波器的頻域特性時，所采用的頻率變量可以是數(shù)字頻率?，也可以是模擬頻率。模擬角頻率?=2?f，f是以赫茲(Hz)為單位的真正具有物理意義的頻率變量。?與?的關系為?=?Ts，Ts為抽樣周期。,數(shù)字濾波器的頻率響應=，是?的周期函數(shù)，以2?為周期；是?的周期函數(shù)，周期為Ωs=2π/Ts。上述這些關系與數(shù)字濾波器的設計方法無關。如果數(shù)字濾波器是用沖激響應不變法設計的，則模擬濾波器的頻率變量也就是數(shù)字濾波器的模擬頻率變量；如果數(shù)字濾波器是用雙線性變換法來設計的，那末模擬濾波器的頻率變量并不是數(shù)字濾波器的模擬頻率變量。,,,,,我們在6.5.2節(jié)中所述的雙線性變換法s平面與z平面的映射關系實際上是被變換的模擬濾波器的復頻率s與所得到的數(shù)字濾波器的復頻率z之間的關系，(6.85)式中的?也是此模擬濾波器的角頻率，并不是數(shù)字濾波器的模擬角頻率。為了便于區(qū)分，應該將(6.85)式中的模擬濾波器角頻率用Ω’來表示，即為：；而數(shù)字濾波器的數(shù)字角頻率?與其本身的模擬角頻率Ω之間仍然是上面所述的那種線性關系，即有：?=?Ts。,,