2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第十七講 解直角三角形.doc
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2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第十七講 解直角三角形 利用直角三角形中的已知元素(至少有一條是邊)求得其余元素的過程叫做解直角三角形,解直角三角形有以下兩方面的應(yīng)用: 1.為線段、角的計算提供新的途徑. 解直角三角形的基礎(chǔ)是三角函數(shù)的概念,三角函數(shù)使直角三角形的邊與角得以轉(zhuǎn)化,突破純粹幾何關(guān)系的局限. 2.解實際問題. 測量、航行、工程技術(shù)等生活生產(chǎn)的實際問題,許多問題可轉(zhuǎn)化為解直角三角形獲解,解決問題的關(guān)鍵是在理解有關(guān)名詞的意義的基礎(chǔ)上,準(zhǔn)確把實際問題抽象為幾何圖形,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為解直角三角形. 【例題求解】 【例1】 如圖,已知電線桿AB直立于地面上,它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上,如果CD與地面成45,∠A=60,CD=4m,BC=()m,則電線桿AB的長為 . 思路點撥 延長AD交BC于E,作DF⊥BC于F,為解直角三角形創(chuàng)造條件. 【例2】 如圖,在四邊形ABCD中,AB=,BC-1,CD=,∠B=135,∠C=90,則∠D等于( ) A.60 B.67.5 C.75 D.無法確定 思路點撥 通過對內(nèi)分割或向外補(bǔ)形,構(gòu)造直角三角形. 注:因直角三角形元素之間有很多關(guān)系,故用已知元素與未知元素的途徑常不惟一,選擇怎樣的途徑最有效、最合理呢?請記?。河行庇孟遥瑹o斜用切,寧乘勿除. 在沒有直角的條件下,常通過作垂線構(gòu)造直角三角形;在解由多個直角三角形組合而成的問題時,往往先解已具備條件的直角三角形,使得求解的直角三角形最終可解. 【例3】 如圖,在△ABC中,∠=90,∠BAC=30,BC=l,D為BC邊上一點,tan∠ADC是方程的一個較大的根?求CD的長. 思路點撥 解方程求出 tan∠ADC的值,解Rt△ABC求出AC值,為解Rt△ADC創(chuàng)造條件. 【例4】 如圖,自卸車車廂的一個側(cè)面是矩形ABCD,AB=3米,BC=0.5米 ,車廂底部距離地面1.2米,卸貨時,車廂傾斜的角度θ=60.問此時車廂的最高點A距離地面多少米?(精確到1米) 思路點撥 作輔助線將問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形,怎樣作輔助線構(gòu)造基本圖形,展開空間想象,就能得到不同的解題尋路 【例5】 如圖,甲樓樓高16米,乙樓坐落在甲樓的正北面,已知當(dāng)?shù)囟林形?2時太陽光線與水平面的夾角為30,此時,求: (1)如果兩樓相距20米,那么甲樓的影子落在乙樓上有多高? (2)如果甲樓的影子剛好不落在乙樓上,那么兩樓的距離應(yīng)當(dāng)是多少米? 思路點撥 (1)設(shè)甲樓最高處A點的影子落在乙樓的C處,則圖中CD的長度就是甲樓的影子在乙樓上的高;(2)設(shè)點A的影子落在地面上某一點C,求BC即可. 注:在解決一個數(shù)學(xué)問題后,不能只滿足求出問題的答案,同時還應(yīng)對解題過程進(jìn)行多方面分析和考察,思考一下有沒有多種解題途徑,每種途徑各有什么優(yōu)點與缺陷,哪一條途徑更合理、更簡捷,從中又能給我們帶來怎樣的啟迪等. 若能養(yǎng)成這種良好的思考問題的習(xí)慣,則可逐步培養(yǎng)和提高我們分析探索能力. 學(xué)歷訓(xùn)練 1.如圖,在△ABC中,∠A=30,tanB=,BC=,則AB的長為 . 2.如圖,在矩形ABCD中.E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點,若tan∠AEH =,四邊形EFGH的周長為40cm,則矩形ABCD的面積為 . 3.如圖,旗桿AB,在C處測得旗桿頂A的仰角為30,向旗桿前北進(jìn)10m,達(dá)到D,在D處測得A的仰角為45,則旗桿的高為 . 4.上午9時,一條船從A處出發(fā),以每小時40海里的速度向正東方向航行,9時30分到達(dá)B處,從A、B兩處分別測得小島M在北偏東45和北偏東15方向,那么B處船與小島M的距離為( ) A.20海里 B.20海里 C.海里 D. 5.已知a、b、c分別為△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊,若關(guān)于的方程 有兩個相等的實根,且sinBcosA—cosBsinA=0,則△ABC的形狀為( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形 6.如圖,在四邊形ABCD中,∠A=135,∠B=∠D=90,BC=,AD=2,則四邊形ABCD的面積是( ) A. B. C. 4 D.6 7.如圖,在△ABC中,∠ACB=90,CD⊥AB于D,CD=1,已知AD、BD的長是關(guān)于的方程的兩根,且tanA—tanB=2,求、的值. 8.如圖,某電信部門計劃修建一條連結(jié)B、C兩地的電纜,測量人員在山腳A點測得B、C兩地的仰角分別為30、45,在B地測得C地的仰角為60.已知C地比A地高200米,則電纜BC至少長多少米?(精確到0.1米) 9.如圖,在等腰Rt△ABC中,∠C=90,∠CBD=30,則= . 10.如圖,正方形ABCD中,N是DC的中點.M是AD上異于D的點,且∠NMB=∠MBC,則tan∠ABM= . 11.在△ABC中,AB=,BC=2,△ABC的面積為l,若∠B是銳角,則∠C的度數(shù)是 . 12.已知等腰三角形的三邊長為 a、b、c,且,若關(guān)于的一元二次方程的兩根之差為,則等腰三角形的一個底角是( ) A. 15 B.30 C.45 D.60 13.如圖,△ABC為等腰直角三角形,若AD=AC,CE=BC,則∠1和∠2的大小關(guān)系是( ) A.∠1>∠2 B.∠1<∠2 C.∠1=∠2 D.無法確定 14.如圖,在正方形ABCD中,F(xiàn)是CD上一點,AE⊥AF,點E在CB的延長線上,EF交AB于點G. (1)求證:DFFC=BGEC; (2)當(dāng)tan∠DAF=時,△AEF的面積為10,問當(dāng)tan∠DAF=時,△AEF的面積是多少? 15.在一個三角形中,有一邊邊長為16,這條邊上的中線和高線長度分別為10和9,求三角形中此邊所對的角的正切值. 16.臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害,它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴,有極強(qiáng)的破壞力.據(jù)氣象觀測,距沿海某城市A的正南方向220千米B處有一臺風(fēng)中心,其中心最大風(fēng)力為12級,每遠(yuǎn)離臺風(fēng)中心20千米,風(fēng)力就會減弱一級,該臺風(fēng)中心現(xiàn)正在以15千米/時的速度沿北偏東30方向往C處移動,且臺風(fēng)中心風(fēng)力不變,若城市所受風(fēng)力達(dá)到或超過四級,則稱為受臺風(fēng)影響. (1)該城市是否會受到這次臺風(fēng)的影響?請說明理由. (2)若會受到臺風(fēng)影響,那么臺風(fēng)影響該城市的持續(xù)時間有多長? (3)該城市受到臺風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級? 17.如圖,山上有一座鐵塔,山腳下有一矩形建筑物ABCD,且建筑物周圍沒有開闊平整地帶.該建筑物頂端寬度AD和高度DC都可直接測得,從A、D、C三點可看到塔頂端H.可供使用的測量工具有皮尺、測角器. (1)請你根據(jù)現(xiàn)有條件,充分利用矩形建筑物,設(shè)計一個測量塔頂端到地面高度HG的方案.具體要求如下: ①測量數(shù)據(jù)盡可能少; ②在所給圖形上,畫出你設(shè)計的測量平面圖,并將應(yīng)測數(shù)據(jù)標(biāo)記在圖形上(如果測A、D間距離,用m表示;如果測D、C間距離,用n表示;如果測角,用α、β、γ等表示.測角器高度不計). (2)根據(jù)你測量的數(shù)據(jù),計算塔頂端到地面的高度HG(用字母表示). 參考答案- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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