2019-2020年高考數(shù)學(xué) 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和練習(xí).doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和練習(xí) 1、設(shè)Sn是數(shù)列{an}（n∈N*）的前n項(xiàng)和，已知a1=4，an+1=Sn+3n，設(shè)bn=Sn﹣3n． （Ⅰ）證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）令cn=2log2bn﹣+2，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn． 2、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=，且a1=1． （1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （2）令bn=lnan，是否存在k（k≥2，k∈N*），使得bk、bk+1、bk+2成等比數(shù)列．若存在，求出所有符合條件的k值；若不存在，請(qǐng)說明理由． 3、數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=r（r＞0），令bn=an?an+1，{bn}是公比為q（q≠0，q≠﹣1）的等比數(shù)列，設(shè)cn=a2n﹣1+a2n． （1）求證：cn=（1+r）?qn﹣1； （2）設(shè){cn}的前n項(xiàng)和為Sn，求的值； （3）設(shè){cn}前n項(xiàng)積為Tn，當(dāng)q=﹣時(shí)，Tn的最大值在n=8和n=9的時(shí)候取到，求n為何值時(shí)，Tn取到最小值． 4、已知等比數(shù)列{an}的公比為q，a1=，其前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*），且S2，S4，S3成等差數(shù)列． （I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)bn=Sn﹣（n∈N*），求bn的最大值與最小值． 5、等比數(shù)列{}的前n 項(xiàng)和為，已知,,成等差數(shù)列 （1）求{}的公比q；（2）若－=3，求。 6、對(duì)于一組向量()，令，如果存在()，使得，那么稱是該向量組的“向量”． （1）設(shè)()，若是向量組的“向量”， 求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）若()，向量組是否存在“向量”？ 給出你的結(jié)論并說明理由； （3）已知均是向量組的“向量”，其中， ．設(shè)在平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)列滿足：為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的位置向量的終點(diǎn)，且與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，與()關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求的最小值． 7、已知數(shù)列為等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，已知，且對(duì)于任意的有，，成等差數(shù)列． 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 已知（），記，若對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍． 8、已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，數(shù)列的通項(xiàng)公式 ，若是與的等比中項(xiàng)。 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）求數(shù)列的前n和項(xiàng)。 9、等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=10，a2為整數(shù)，且在前n項(xiàng)和中S4最大．（1）求{an}的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)bn=，n∈N+． ①求證：bn+1＜bn≤； ②求數(shù)列{b2n}的前n項(xiàng)和Tn． 10、設(shè)為公比不為1的等比數(shù)列，=16，其前n項(xiàng)和為，且5、2、成等差數(shù)列． （l）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和.是否存在正整數(shù)k，使得對(duì)于任意n∈N*不等式>恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由． 11、為了加強(qiáng)環(huán)保建設(shè)，提高社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益，某市計(jì)劃用若干年時(shí)間更換10000輛燃油型公交車。每更換一輛新車，則淘汰一輛舊車，更換的新車為電力型車和混合動(dòng)力型車。今年初投入了電力型公交車輛，混合動(dòng)力型公交車輛，計(jì)劃以后電力型車每年的投入量比上一年增加，混合動(dòng)力型車每年比上一年多投入輛．設(shè)、分別為第年投入的電力型公交車、混合動(dòng)力型公交車的數(shù)量，設(shè)、分別為年里投入的電力型公交車、混合動(dòng)力型公交車的總數(shù)量。 （1）求、，并求年里投入的所有新公交車的總數(shù)； （2）該市計(jì)劃用年的時(shí)間完成全部更換，求的最小值． 12、已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足. （I）求p的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式； （II）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 13、已知遞增等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且. （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和． 14、等差數(shù)列中，，公差且成等比數(shù)列，前項(xiàng)的和為. （1）求及. （2）設(shè)，，求 15、本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分. 已知a>0且a1，數(shù)列{an}是首項(xiàng)與公比均為a的等比數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足bn=anlgan(nN*)． (1)若a=3，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn； (2)若對(duì)于nN*，總有bn < bn+1，求a的取值范圍． 16、已知點(diǎn)是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，目標(biāo)函數(shù)的最大值記作，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且點(diǎn)在直線上。 （1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列； （2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和。 17、設(shè)數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）對(duì)于正整數(shù)（），求證：“且”是“這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列”成立的充要條件； （3）設(shè)數(shù)列滿足：對(duì)任意的正整數(shù)，都有 ，且集合中有且僅有3個(gè)元素，試求的取值范圍. 18、已知等比數(shù)列，則 A． B． C． D． 19、現(xiàn)有六名籃球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行傳球訓(xùn)練，由甲開始傳球（第一次傳球是由甲傳向其他五名運(yùn)動(dòng)員中的一位），若第次傳球后，球傳回到甲的不同傳球方式的種數(shù)記為. (1) 求出、的值，并寫出與≥的關(guān)系式； (2) 證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式； (3) 當(dāng)≥時(shí)，證明：. 20、定義：若各項(xiàng)為正實(shí)數(shù)的數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“算術(shù)平方根遞推數(shù)列”. 已知數(shù)列滿足且點(diǎn)在二次函數(shù)的圖像上. (1)試判斷數(shù)列是否為算術(shù)平方根遞推數(shù)列？若是，請(qǐng)說明你的理由； (2)記，求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式； (3)從數(shù)列中依據(jù)某種順序自左至右取出其中的項(xiàng) ，把這些項(xiàng)重新組成一個(gè)新數(shù)列：.(理科)若數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的無窮等比數(shù)列，且數(shù)列各項(xiàng)的和為，求正整數(shù)的值． (文科) 若數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的無窮等比數(shù)列，且數(shù)列各項(xiàng)的和為，求正整數(shù)的值． 答 案 1、（Ⅰ）由an+1=Sn+3n可得Sn+1﹣3n+1=2Sn+3n﹣3n+1=2（Sn﹣3n），從而得到bn+1=2bn，于是有：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，可求得b1=1，從而可求得數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）由（Ⅰ）得：cn=2log2bn﹣+2=2n﹣，設(shè)M=1++++…++…①則M=++++…++…②，利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn． 證明：（Ⅰ）∵an+1=Sn+3n， ∴Sn+1﹣Sn=Sn+3n 即Sn+1=2Sn+3n， ∴Sn+1﹣3n+1=2Sn+3n﹣3n+1=2（Sn﹣3n） ∴bn+1=2bn…（4分） 又b1=S1﹣3=a1﹣3=1， ∴{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列， 故數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=2n﹣1…（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）得：cn=2log2bn﹣+2=2n﹣…（8分） 設(shè)M=1++++…++…① 則M=++++…++…② ①﹣②得： M=1+++++…+﹣=2﹣﹣， ∴M=4﹣﹣=4﹣， ∴Tn=n（n+1）+﹣4…（12分） 2、（1）直接利用an=Sn﹣Sn﹣1 （n≥2）求解數(shù)列的通項(xiàng)公式即可（注意要驗(yàn)證n=1時(shí)通項(xiàng)是否成立）． （2）先利用（1）的結(jié)論求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)，再求出bkbk+2的表達(dá)式，利用基本不等式得出不存在k（k≥2，k∈N*），使得bk、bk+1、bk+2成等比數(shù)列． 解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，，（2分） 即（n≥2）．（4分） 所以數(shù)列是首項(xiàng)為的常數(shù)列．（5分） 所以，即an=n（n∈N*）． 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n（n∈N*）．（7分） （2）假設(shè)存在k（k≥2，m，k∈N*），使得bk、bk+1、bk+2成等比數(shù)列， 則bkbk+2=bk+12．（8分） 因?yàn)閎n=lnan=lnn（n≥2）， 所以 ．（13分） 這與bkbk+2=bk+12矛盾． 故不存在k（k≥2，k∈N*），使得bk、bk+1、bk+2成等比數(shù)列．（14分） 3、（1）根據(jù)題意得出=q（n≥2），判斷出奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可． （2）運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式得出q=1時(shí)，Sn=（1+r）n，=0，q≠1時(shí)，Sn=，=，分類討論求解即可 （3）利用條件得出（1+r）8（﹣）28=（1+r）9（﹣）36，r=28﹣1=255，Tn=（256）n?（﹣2）=（﹣1）?2，再根據(jù)函數(shù)性質(zhì)得出最小項(xiàng)，注意符號(hào)即可． 解：（1）bn=an?an+1，{bn}是公比為q（q≠0，q≠﹣1）的等比數(shù)列， 因?yàn)閿?shù)列{anan+1}是一個(gè)以q（q＞0）為公比的等比數(shù)列 因此=q，所以=q（n≥2）， 即=q（n≥2）， ∴奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列 ∵設(shè)cn=a2n﹣1+a2n． ∴cn=1?qn﹣1+r?qn﹣1=（1+t）?qn﹣1 ∴bn=（1+r）?qn﹣1 （2）q=1時(shí)，Sn=（1+r）n，=0 q≠1時(shí)，Sn=，= 若0＜q＜1，= 若q＞1，=0∴ = （3）設(shè){cn}前n項(xiàng)積為Tn，當(dāng)q=﹣時(shí)，Tn=（1+r）n ∵Tn的最大值在n=8和n=9的時(shí)候取到， ∴（1+r）8（﹣）28=（1+r）9（﹣）36，r=28﹣1=255， ∴Tn=（256）n?（﹣2）=（﹣1）?2， 根據(jù)數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)得出n=7，n=10時(shí)，Tn的最小值為﹣235． 4、（Ⅰ）利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式表示出S2，S4，S3，然后根據(jù)S2，S4，S3成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，將表示出的S2，S4，S3代入得到關(guān)于a1與q的關(guān)系式，由a1≠0，兩邊同時(shí)除以a1，得到關(guān)于q的方程，求出方程的解，即可得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）Sn=1﹣，分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求出bn的最大值與最小值． 解：（Ⅰ）由題意，q≠1，則 ∵S2，S4，S3成等差數(shù)列， ∴2S4=S2+S3， 又?jǐn)?shù)列{an}為等比數(shù)列， ∴4（a1+a1q+a1q2+a1q3）=（a1+a1q）+（a1+a1q+a1q2）， 整理得：2q2﹣q﹣1=0， 解得：q=1或q=﹣， ∴an=； （Ⅱ）Sn=1﹣， n為奇數(shù)時(shí)，Sn=1+，隨著n的增大而減小，所以1＜Sn≤S1=， 因?yàn)閥=x﹣在（0，+∞）上為增函數(shù)，bn=Sn﹣（n∈N*）， 所以0＜bn≤； n為偶數(shù)時(shí)，Sn=1﹣，隨著n的增大而增大，所以S2≤Sn＜1， 因?yàn)閥=x﹣在（0，+∞）上為增函數(shù)，bn=Sn﹣（n∈N*）， 所以﹣≤bn＜0； 所以﹣≤bn＜0或0＜bn≤， 所以bn的最大值為，最小值為﹣． 5、（Ⅰ）依題意有 由于 ，故，又，從而…… 6分 （Ⅱ）由已知可得，故 從而 …………………………12分 6、(1)由題意，得：，則………………..2’ 解得： ………………..4’ (2) 是向量組的“向量”，證明如下： ， 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，………………..6’ ，故………8’ 即 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， 故 即 綜合得：是向量組的“向量”………………..10’ (3)由題意，得：，，即 即，同理， 三式相加并化簡(jiǎn)，得： 即，，所以………………..13’ 設(shè)，由得： 設(shè)，則依題意得：， 得 故 所以……16’ 當(dāng)且僅當(dāng)()時(shí)等號(hào)成立 故………………..18’ 7、 8、 關(guān)閉 9、（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)即可得出； （2）①利用數(shù)列的單調(diào)性即可證明； ②利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出． 解析： （1）由a1=10，a2為整數(shù)，等差數(shù)列{an}的公差d為整數(shù)． 又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，即10+3d≥0，10+4d≤0， 解得， 因此d=﹣3． 數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=10﹣3（n﹣1）=13﹣3n． （2）①證明：由（1）可知：bn==， ∴bn+1﹣bn=＜0， ∴數(shù)列{bn}是單調(diào)遞減數(shù)列，{bn}的最大項(xiàng)為b1=． ∴bn+1＜bn≤． ②， ， 兩式相減可得=﹣=﹣， ∴Tn=． 10、(1)解：∵5S1、2S2、S3成等差數(shù)列 ∴，即 2分 ∴ ∵，∴q = 2 4分 又∵，即， ∴． 5分 (2)解：假設(shè)存在正整數(shù)k使得對(duì)于任意n∈N*不等式都成立 則 7分 又 9分 所以 10分 顯然Tn關(guān)于正整數(shù)n是單調(diào)遞增的，所以 ∴，解得k≥2． 11分 所以存在正整數(shù)k，使得對(duì)于任意n∈N*不等式都成立 且正整數(shù)k的最小值為． 12分 11、（1）設(shè)、分別為第年投入的電力型公交車、混合動(dòng)力型公交車的數(shù)量， 依題意知，數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列； 1分 數(shù)列是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列， 2分 所以數(shù)列的前和， 4分 數(shù)列的前項(xiàng)和， 6分 所以經(jīng)過年，該市更換的公交車總數(shù) ； 7分 （2）因?yàn)?、是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)， 9分 因此是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)， 10分 所以滿足的最小值應(yīng)該是， 11分 即，解得， 12分 又，所以的最小值為147． 13分 12、 …………12分 13、（1）設(shè)公比為q，由題意：q>1, ，則，，∵，∴， 則 解得： 或（舍去）， ∴ （2） 則 14、（1）有題意可得又因?yàn)?…… 2分 …………………4分 （2） ………6分 …………10分 15、(1) 由已知有， ， ， 所以， . ………………………………………………………7分 (2) 即.由且，得， 所以或 即或?qū)θ我鈔N*成立， 且，所以或……………………………………………14分 16、 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴ ∵， ∴ ………10分 ∴ …………13分 17、（1）數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，， 又，，，； ………… 4分 （2）（ⅰ）必要性：設(shè)這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列， ①若，則，，， . ………… 6分 ②若，則，，左邊為偶數(shù)，等式不成立， ③若，同理也不成立， 綜合①②③，得，所以必要性成立. …………8分 （ⅱ）充分性：設(shè)，， 則這三項(xiàng)為，即，調(diào)整順序后易知成等差數(shù)列， 所以充分性也成立. 綜合（?。áⅲ?，原命題成立. …………10分 （3）因?yàn)椋? 即，（*） 當(dāng)時(shí)，，（**） 則（**）式兩邊同乘以2，得，（***） （*）－（***），得，即， 又當(dāng)時(shí)，，即，適合，.………14分 ，， 時(shí)，，即； 時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減， 又，，，，. ……………16分 18、C 19、(1) ,， ;(2) (3) 見解析. 解析：（1）,， 第次傳球后，不同傳球方式種數(shù)為，不在甲手中的種數(shù)為， ∴當(dāng)≥時(shí)， ……5分 （2）由=－＋得，， 又，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列. 從而，故. …………9分 （3）.當(dāng)≥為奇數(shù)時(shí), 則為偶數(shù) ＜ 當(dāng)≥為偶數(shù)時(shí), 則為奇數(shù),從而 綜上，當(dāng)≥時(shí),. …………分 【思路點(diǎn)撥】（1）第次傳球后，不同傳球方式種數(shù)為，不在甲手中的種數(shù)為，由此能求出,，即可寫出與≥的關(guān)系式． （2）由=－＋得，，由此能證明數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.，從而能求出． （3）當(dāng)≥為奇數(shù)時(shí), 則為偶數(shù)，；當(dāng)≥為偶數(shù)時(shí), 則為奇數(shù),從而 ，由此能證明當(dāng)≥時(shí),. 20、(1)答：數(shù)列是算術(shù)平方根遞推數(shù)列. 理由：在函數(shù)的圖像上， ，. 又， ∴． 　　∴數(shù)列是算術(shù)平方根遞推數(shù)列. 證明(2) ， . 又, 數(shù)列是首項(xiàng)為,公比的等比數(shù)列. . (理)(3)由題意可知，無窮等比數(shù)列的首項(xiàng),公比， ． 化簡(jiǎn)，得． 若，則.這是矛盾！ . 又時(shí)，, . . (文) (3)由題意可知，無窮等比數(shù)列的首項(xiàng),公比， ． 化簡(jiǎn)，得． 若，則.這是矛盾！ . 又時(shí)，, . .