2019-2020年高考數(shù)學三輪沖刺 集合與函數(shù)課時提升訓練(13).doc
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2019-2020年高考數(shù)學三輪沖刺 集合與函數(shù)課時提升訓練(13) 1、已知集合,若集合,且對任意的,存在,使得(其中),則稱集合為集合的一個元基底.(Ⅰ)分別判斷下列集合是否為集合的一個二元基底,并說明理由; ①,;②,. (Ⅱ)若集合是集合的一個元基底,證明:; (Ⅲ)若集合為集合的一個元基底,求出的最小可能值,并寫出當取最小值時的一個基底. 2、若集合具有以下性質(zhì):①,;②若,則,且時,. 則稱集合是“好集”.(Ⅰ)分別判斷集合,有理數(shù)集是否是“好集”,并說明理由; (Ⅱ)設集合是“好集”,求證:若,則;(Ⅲ)對任意的一個“好集”,分別判斷下面命題的真假,并說明理由.命題:若,則必有;命題:若,且,則必有; 3、若為集合且的子集,且滿足兩個條件: ①;②對任意的,至少存在一個,使或. … … … … … … … 則稱集合組具有性質(zhì).如圖,作行列數(shù)表,定義數(shù)表中的第行第列的數(shù)為. (Ⅰ)當時,判斷下列兩個集合組是否具有性質(zhì),如果是請畫出所對應的表格,如果不是請說明理由; 集合組1:;集合組2:. (Ⅱ)當時,若集合組具有性質(zhì),請先畫出所對應的行3列的一個數(shù)表,再依此表格分別寫出集合;(Ⅲ)當時,集合組是具有性質(zhì)且所含集合個數(shù)最小的集合組,求的值及的最小值.(其中表示集合所含元素的個數(shù)) 4、已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),且。 (1)當時,求的值;(2)當最小時,①求的值; ②若是圖象上的兩點,且存在實數(shù) 使得,證明:。 5、(本小題滿分14分)對于函數(shù)和,若存在常數(shù),對于任意,不等式都成立,則稱直線是函數(shù)的分界線. 已知函數(shù)為自然對數(shù)的底,為常數(shù)). (Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;(Ⅱ)設,試探究函數(shù)與函數(shù)是否存在“分界線”?若存在,求出分界線方程;若不存在,試說明理由. 6、設a,b,c為實數(shù),f(x)=(x+a).記集合S=若,分別為集合元素S,T的元素個數(shù),則下列結(jié)論不可能的是 A.=1且=0 B.C.=2且=2 D. =2且=3 7、設,已知函數(shù)的定義域是,值域是,若函數(shù)g(x)=2︱x-1︱+m+1有唯一的零點,則( )A.2 B. C.1 D.0 8、已知函數(shù),在定義域[-2,2]上表示的曲線過原點,且在x=1處的切線斜率均為.有以下命題:①是奇函數(shù);②若在內(nèi)遞減,則的最大值為4;③的最大值為,最小值為,則; ④若對,恒成立,則的最大值為2.其中正確命題的個數(shù)為 A .1個 B. 2個 C .3個 D. 4個 11、設函數(shù)的最大值為,最小值為,那么 . 12、(本小題滿分14分)已知函數(shù)(Ⅰ)求函數(shù)的定義域,并證明在定義域上是奇函數(shù); (Ⅱ)若恒成立,求實數(shù)的取值范圍; (Ⅲ)當時,試比較與的大小關系. 13、對于實數(shù),稱為取整函數(shù)或高斯函數(shù),亦即是不超過的最大整數(shù).例如:.直角坐標平面內(nèi),若滿足,則 的取值范圍 1、解:(Ⅰ)①不是的一個二元基底.理由是 ; ②是的一個二元基底. 理由是 ,.(Ⅱ)不妨設,則形如的正整數(shù)共有個; 形如的正整數(shù)共有個;形如的正整數(shù)至多有個; 形如的正整數(shù)至多有個.又集合含個不同的正整數(shù),為集合的一個元基底.故,即. (Ⅲ)由(Ⅱ)可知,所以.當時,,即用基底中元素表示出的數(shù)最多重復一個. *假設為的一個4元基底,不妨設,則. 當時,有,這時或.如果,則由,與結(jié)論*矛盾.如果,則或.易知和都不是的4元基底,矛盾.當時,有,這時,,易知不是的4元基底,矛盾.當時,有,這時,,易知不是的4元基底,矛盾.當時,有,,,易知不是的4元基底,矛盾.當時,有,,,易知不是的4元基底,矛盾.當時,有,,,易知不是的4元基底,矛盾.當時,有,,,易知不是的4元基底,矛盾.當時,均不可能是的4元基底.當時,的一個基底;或{3,7,8,9,10};或{4,7,8,9,10}等,只要寫出一個即可.綜上,的最小可能值為5. 2、解:(Ⅰ)集合不是“好集”. 理由是:假設集合是“好集”. 因為,,所以. 這與矛盾.有理數(shù)集是“好集”. 因為,,對任意的,有,且時,. 所以有理數(shù)集是“好集”. (Ⅱ)因為集合是“好集”,所以 .若,則,即.所以,即. (Ⅲ)命題均為真命題. 理由如下:對任意一個“好集”,任取, 若中有0或1時,顯然.下設均不為0,1. 由定義可知:. 所以 ,即.所以 . 由(Ⅱ)可得:,即. 同理可得.若或,則顯然.若且,則. 所以 .所以 由(Ⅱ)可得:.所以 . 綜上可知,,即命題為真命題.若,且,則.所以 ,即命題為真命題. 3、(Ⅰ)解:集合組1具有性質(zhì).所對應的數(shù)表為:集合組2不具有性質(zhì).因為存在,有,與對任意的,都至少存在一個,有或矛盾,所以集合組不具有性質(zhì).(Ⅱ注:表格中的7行可以交換得到不同的表格,它們所對應的集合組也不同) (Ⅲ)設所對應的數(shù)表為數(shù)表,因為集合組為具有性質(zhì)的集合組, 所以集合組滿足條件①和②,由條件①:, 可得對任意,都存在有,所以,即第行不全為0, 所以由條件①可知數(shù)表中任意一行不全為0.由條件②知,對任意的,都至少存在一個,使或,所以一定是一個1一個0,即第行與第行的第列的兩個數(shù)一定不同. 所以由條件②可得數(shù)表中任意兩行不完全相同.因為由所構(gòu)成的元有序數(shù)組共有個,去掉全是的元有序數(shù)組,共有個,又因數(shù)表中任意兩行都不完全相同,所以,所以. 又時,由所構(gòu)成的元有序數(shù)組共有個,去掉全是的數(shù)組,共個,選擇其中的個數(shù)組構(gòu)造行列數(shù)表,則數(shù)表對應的集合組滿足條件①②,即具有性質(zhì). 所以.因為等于表格中數(shù)字1的個數(shù), 所以,要使取得最小值,只需使表中1的個數(shù)盡可能少,而時,在數(shù)表中, 的個數(shù)為的行最多行;的個數(shù)為的行最多行;的個數(shù)為的行最多行; 的個數(shù)為的行最多行;因為上述共有行,所以還有行各有個,所以此時表格中最少有個.所以的最小值為. 4、解:。(1)當時,由,得或, 所以在上為增函數(shù),在,上為減函數(shù),由題意知,且。因為,所以, 可知。(2)① 因為, 當且僅當時等號成立。由,有,得;由,有,得;故取得最小值時,,。②此時,,, 由知,,欲證,先比較與的大小。 因為,所以,有, 于是,即,另一方面,,因為,所以,從而,即?!?4分同理可證,因此。 5、(本小題滿分14分)解:(1),當時,,即, 函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù);當時,,函數(shù)是區(qū)間上的增函數(shù) 當時,即, 函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),在區(qū)間上是減函數(shù). (2)若存在,則恒成立,令,則,所以,因此:恒成立,即恒成立,由得到:, 現(xiàn)在只要判斷是否恒成立,設,因為:, 當時,,,當時,,,所以,即恒成立,所以函數(shù)與函數(shù)存在“分界線”. 6、D 7、C 8、B 11、4021 12、解:(Ⅰ)由,解得或,∴ 函數(shù)的定義域為 當時, ∴ 在定義域上是奇函數(shù)。(Ⅱ)由時,恒成立, ∴ ∴ 在成立 令,,由二次函數(shù)的性質(zhì)可知時函數(shù)單調(diào)遞增,時函數(shù)單調(diào)遞減,時,∴(Ⅲ)= 證法一:設函數(shù),則時,,即在上遞減,所以,故在成立, 則當時,成立.證法二:構(gòu)造函數(shù), 當時,,∴在單調(diào)遞減, 當()時, 13、(1,5)∪[10,20)- 配套講稿:
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