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2019年高考數(shù)學二輪復習 專題訓練四 第2講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 理
考情解讀 高考對本節(jié)知識主要以解答題的形式考查以下兩個問題：1.以遞推公式或圖、表形式給出條件，求通項公式，考查用等差、等比數(shù)列知識分析問題和探究創(chuàng)新的能力，屬中檔題；2.通過分組、錯位相減等轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和問題，考查等差、等比數(shù)列求和公式及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，屬中檔題．
1．數(shù)列求和的方法技巧
(1)分組轉(zhuǎn)化法
有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項拆開或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并．
(2)錯位相減法
這是在推導等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{anbn}的前n項和，其中{an}，{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．
(3)倒序相加法
這是在推導等差數(shù)列前n項和公式時所用的方法，也就是將一個數(shù)列倒過來排列(反序)，當它與原數(shù)列相加時若有公式可提，并且剩余項的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和．
(4)裂項相消法
利用通項變形，將通項分裂成兩項或n項的差，通過相加過程中的相互抵消，最后只剩下有限項的和．這種方法，適用于求通項為的數(shù)列的前n項和，其中{an}若為等差數(shù)列，則＝.
常見的裂項公式：
①＝－；
②＝(－)；
③＝(－)；
④＝(－)．
2．數(shù)列應(yīng)用題的模型
(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個固定量時，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差．
(2)等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)時，該模型是等比模型，這個固定的數(shù)就是公比．
(3)混合模型：在一個問題中同時涉及等差數(shù)列和等比數(shù)列的模型．
(4)生長模型：如果某一個量，每一期以一個固定的百分數(shù)增加(或減少)，同時又以一個固定的具體量增加(或減少)時，我們稱該模型為生長模型．如分期付款問題，樹木的生長與砍伐問題等．
(5)遞推模型：如果容易找到該數(shù)列任意一項an與它的前一項an－1(或前n項)間的遞推關(guān)系式，我們可以用遞推數(shù)列的知識來解決問題．
熱點一 分組轉(zhuǎn)化求和
例1 等比數(shù)列{an}中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若數(shù)列{bn}滿足：bn＝an＋(－1)nln an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
思維啟迪 (1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)逐個推敲確定{an}的通項公式；(2)分組求和．
解 (1)當a1＝3時，不合題意；
當a1＝2時，當且僅當a2＝6，a3＝18時，符合題意；
當a1＝10時，不合題意．
因此a1＝2，a2＝6，a3＝18，所以公比q＝3.
故an＝23n－1 (n∈N*)．
(2)因為bn＝an＋(－1)nln an
＝23n－1＋(－1)nln(23n－1)
＝23n－1＋(－1)n[ln 2＋(n－1)ln 3]
＝23n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，
所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋
(－1)nn]ln 3.
當n為偶數(shù)時，
Sn＝2＋ln 3＝3n＋ln 3－1；
當n為奇數(shù)時，
Sn＝2－(ln 2－ln 3)＋ln 3＝3n－ln 3－ln 2－1.
綜上所述，Sn＝
思維升華 在處理一般數(shù)列求和時，一定要注意使用轉(zhuǎn)化思想．把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進行求和，在求和時要分析清楚哪些項構(gòu)成等差數(shù)列，哪些項構(gòu)成等比數(shù)列，清晰正確地求解．在利用分組求和法求和時，由于數(shù)列的各項是正負交替的，所以一般需要對項數(shù)n進行討論，最后再驗證是否可以合并為一個公式．
已知數(shù)列{an}中，a1＝1，anan＋1＝()n(n∈N*)．
(1)求證：數(shù)列{a2n}與{a2n－1}(n∈N*)都是等比數(shù)列；
(2)若數(shù)列{an}的前2n項和為T2n，令bn＝(3－T2n)n(n＋1)，求數(shù)列{bn}的最大項．
(1)證明 因為anan＋1＝()n，an＋1an＋2＝()n＋1，
所以＝.
又a1＝1，a2＝，所以數(shù)列a1，a3，…，a2n－1，…，是以1為首項，為公比的等比數(shù)列；
數(shù)列a2，a4，…，a2n，…，是以為首項，為公比的等比數(shù)列．
(2)解 由(1)可得T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝＋＝3－3()n，
所以bn＝3n(n＋1)()n，
bn＋1＝3(n＋1)(n＋2)()n＋1，
所以bn＋1－bn＝3(n＋1)()n(－n)
＝3(n＋1)()n＋1(2－n)，
所以b1
b4>…>bn>…，
所以(bn)max＝b2＝b3＝.
熱點二 錯位相減法求和
例2 設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋n＋1(n∈N*)，
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若bn＝，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，n∈N*，證明：Tn<2.
思維啟迪 (1)n>1時，Sn＝2Sn－1＋n兩式相減得{an}的遞推關(guān)系式，然后構(gòu)造數(shù)列求通項；
(2)先利用錯位相減法求出Tn，再放縮．
(1)解 ∵Sn＋1＝2Sn＋n＋1，當n≥2時，Sn＝2Sn－1＋n，
∴an＋1＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)，
即＝2(n≥2)，①
又S2＝2S1＋2，a1＝S1＝1，
∴a2＝3，∴＝2，∴當n＝1時，①式也成立，
∴an＋1＝2n，即an＝2n－1(n∈N*)．
(2)證明 ∵an＝2n－1，
∴bn＝＝＝，
∴Tn＝＋＋＋…＋，
Tn＝＋＋…＋＋，
∴兩式相減，得Tn＝2(＋＋＋…＋－)
＝2－－<2.
思維升華 錯位相減法求數(shù)列的前n項和是一種重要的方法．在應(yīng)用這種方法時，一定要抓住數(shù)列的特征，即數(shù)列的項可以看作是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘所得數(shù)列的求和問題．
設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1－an＝322n－1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)令bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
解 (1)由已知得，當n≥1時，
an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1
＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.
而a1＝2，符合上式，
所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝22n－1.
(2)由bn＝nan＝n22n－1知
Sn＝12＋223＋325＋…＋n22n－1.①
從而22Sn＝123＋225＋327＋…＋n22n＋1.②
①－②，得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n22n＋1，
即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]．
熱點三 裂項相消法求和
例3 已知等差數(shù)列{an}，公差d>0，前n項和為Sn，S3＝6，且滿足a3－a1,2a2，a8成等比數(shù)列．
(1)求{an}的通項公式；
(2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn的值．
思維啟迪 (1)利用方程思想可確定a，d，寫出{an}；(2)利用裂項相消法求Tn.
解 (1)由S3＝6，得a2＝2.
∵a3－a1,2a2，a8成等比數(shù)列，
∴(2d)(2＋6d)＝42，
解得d＝1或d＝－，
∵d>0，∴d＝1.
∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝n.
(2)Tn＝＋＋＋…＋
＝[(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]
＝(－－)＝.
思維升華 裂項相消法適合于形如{}形式的數(shù)列，其中{an}為等差數(shù)列．
已知等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，且滿足a4a7＝15，a3＋a8＝8.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)令bn＝(n≥2)，b1＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
解 (1)根據(jù)題意a3＋a8＝8＝a4＋a7，a4a7＝15，
所以a4，a7是方程x2－8x＋15＝0的兩根，且a480，
當n≥7時，由于S6＝570，
故Sn＝570＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋704[1－()n－6]＝780－210()n－6.
因為{an}是遞減數(shù)列，所以{An}是遞減數(shù)列．
因為An＝＝，
A8＝≈82.734>80，
A9＝≈76.823<80，
所以必須在第九年年初對M更新．
思維升華 解答數(shù)列應(yīng)用題，與函數(shù)應(yīng)用題的求解過程類似，一般要經(jīng)過三步：(1)建模，首先要認真審題，理解實際背景，理清數(shù)學關(guān)系，把應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題；(2)解模，利用所學的數(shù)列知識，解決數(shù)列模型中的相關(guān)問題；(3)釋模，把已解決的數(shù)列模型中的問題返回到實際問題中去，與實際問題相對應(yīng)，確定問題的結(jié)果．
設(shè)某商品一次性付款的金額為a元，以分期付款的形式等額地分成n次付清，若每期利率r保持不變，按復利計算，則每期期末所付款是( )
A.(1＋r)n元 B.元
C.(1＋r)n－1元 D.元
答案 B
解析 設(shè)每期期末所付款是x元，則各次付款的本利和為x(1＋r)n－1＋x(1＋r)n－2＋x(1＋r)n－3＋…＋x(1＋r)＋x＝a(1＋r)n，
即x＝a(1＋r)n，
故x＝.
1．數(shù)列綜合問題一般先求數(shù)列的通項公式，這是做好該類題的關(guān)鍵．若是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則直接運用公式求解，否則常用下列方法求解：
(1)an＝
(2)遞推關(guān)系形如an＋1－an＝f(n)，常用累加法求通項．
(3)遞推關(guān)系形如＝f(n)，常用累乘法求通項．
(4)遞推關(guān)系形如“an＋1＝pan＋q(p、q是常數(shù)，且p≠1，q≠0)”的數(shù)列求通項，常用待定系數(shù)法．可設(shè)an＋1＋λ＝p(an＋λ)，經(jīng)過比較，求得λ，則數(shù)列{an＋λ}是一個等比數(shù)列．
(5)遞推關(guān)系形如“an＋1＝pan＋qn(q，p為常數(shù)，且p≠1，q≠0)”的數(shù)列求通項，此類型可以將關(guān)系式兩邊同除以qn轉(zhuǎn)化為類型(4)，或同除以pn＋1轉(zhuǎn)為用迭加法求解．
2．數(shù)列求和中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：
(1)錯位相減法求和時，將問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和問題求解．
(2)并項求和時，將問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和．
(3)分組求和時，將問題轉(zhuǎn)化為能用公式法或錯位相減法或裂項相消法或并項法求和的幾個數(shù)列的和求解．
提醒：運用錯位相減法求和時，相減后，要注意右邊的n＋1項中的前n項，哪些項構(gòu)成等比數(shù)列，以及兩邊需除以代數(shù)式時注意要討論代數(shù)式是否為零．
3．數(shù)列應(yīng)用題主要考查應(yīng)用所學知識分析和解析問題的能力．其中，建立數(shù)列模型是解決這類問題的核心，在解題中的主要思路：①首先構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列模型，然后用相應(yīng)的通項公式與求和公式求解；②通過歸納得到結(jié)論，再用數(shù)列知識求解.
真題感悟
1．(xx湖南)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，Sn＝(－1)nan－，n∈N*，則：
(1)a3＝________；
(2)S1＋S2＋…＋S100＝________.
答案 (1)－ (2)
解析 ∵an＝Sn－Sn－1
＝(－1)nan－－(－1)n－1an－1＋(n≥2)，
∴an＝(－1)nan－(－1)n－1an－1＋(n≥2)．
當n為偶數(shù)時，an－1＝－(n≥2)，
當n為奇數(shù)時，2an＋an－1＝(n≥2)，
∴當n＝4時，a3＝－＝－.
根據(jù)以上{an}的關(guān)系式及遞推式可求．
a1＝－，a3＝－，a5＝－，a7＝－，…，
a2＝，a4＝，a6＝，a8＝，….
∴a2－a1＝，a4－a3＝，a6－a5＝，…，
∴S1＋S2＋…＋S100＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a100－a99)－
＝－
＝.
2．(xx課標全國Ⅱ)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋1.
(1)證明{an＋}是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式；
(2)證明＋＋…＋<.
證明 (1)由an＋1＝3an＋1，
得an＋1＋＝3(an＋)．
又a1＋＝，
所以{an＋}是首項為，公比為3的等比數(shù)列．
an＋＝，因此{an}的通項公式為an＝.
(2)由(1)知＝.
因為當n≥1時，3n－1≥23n－1，
所以≤.
于是＋＋…＋≤1＋＋…＋
＝(1－)<.
所以＋＋…＋<.
押題精練
1．若數(shù)列{an}的通項公式是an＝(－1)n(3n－2)，則a1＋a2＋…＋a10＝________.
答案 15
解析 由題意知，a1＋a2＋…＋a10
＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10(310－2)
＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9(39－2)＋(－1)10(310－2)]
＝35＝15.
2．秋末冬初，流感盛行，特別是甲型H1N1流感．某醫(yī)院近30天每天入院治療甲流的人數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，則該醫(yī)院30天入院治療甲流共有________人．
答案 255
解析 由于an＋2－an＝1＋(－1)n，
所以a1＝a3＝…＝a29＝1，
a2，a4，…，a30構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，
所以a1＋a2＋…＋a29＋a30
＝15＋152＋2＝255.
故該醫(yī)院30天入院治療甲流的人數(shù)為255.
3．已知數(shù)列{bn}滿足3(n＋1)bn＝nbn＋1，且b1＝3.
(1)求數(shù)列{bn}的通項公式；
(2)已知＝，求證：≤＋＋…＋<1.
(1)解 因為3(n＋1)bn＝nbn＋1，所以＝.
則＝3，＝3，＝3，…，＝3，
累乘，可得＝3n－1n，因為b1＝3，所以bn＝n3n，
即數(shù)列{bn}的通項公式bn＝n3n.
(2)證明 因為＝，所以an＝3n.
因為＝
＝＝(－)
＝－，
所以＋＋…＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)
＝1－.
因為n∈N*，所以0<≤，所以≤1－<1，
所以≤＋＋…＋<1.
(推薦時間：60分鐘)
一、選擇題
1．數(shù)列{an}共有5項，其中a1＝0，a5＝2，且|ai＋1－ai|＝1，i＝1,2,3,4，則滿足條件的不同數(shù)列的個數(shù)為( )
A．3 B．4
C．5 D．6
答案 B
解析 設(shè)bi＝ai＋1－ai，i＝1,2,3,4，則bi等于1或－1，由a5＝(a5－a4)＋(a4－a3)＋(a3－a2)＋(a2－a1)＝b4＋b3＋b2＋b1，知bi(i＝1,2,3,4)共有3個1,1個－1.
所以符合條件的{an}共有4個．
2．已知在數(shù)列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，則|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|等于( )
A．445 B．765
C．1 080 D．3 105
答案 B
解析 ∵an＋1＝an＋3，∴an＋1－an＝3.
∴{an}是以－60為首項，3為公差的等差數(shù)列．
∴an＝－60＋3(n－1)＝3n－63.
令an≤0，得n≤21.
∴前20項都為負值．
∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|
＝－(a1＋a2＋…＋a20)＋a21＋…＋a30
＝－2S20＋S30.
∵Sn＝n＝n，
∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝765.
3．在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2 013，其前n項和為Sn，若－＝2，則S2 013的值等于( )
A．－2 011 B．－2 012
C．－2 010 D．－2 013
答案 D
解析 根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得數(shù)列{}也是等差數(shù)列，
根據(jù)已知可得這個數(shù)列的首項＝a1＝－2 013，
公差d＝1，故＝－2 013＋(2 013－1)1＝－1，
所以S2 013＝－2 013.
4．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝1，a2＝3，記Sn＝a1＋a2＋…＋an，則下列結(jié)論正確的是( )
A．a(chǎn)100＝－1，S100＝5 B．a(chǎn)100＝－3，S100＝5
C．a(chǎn)100＝－3，S100＝2 D．a(chǎn)100＝－1，S100＝2
答案 A
解析 由題意知，a1＝1，a2＝3，a3＝2，a4＝－1，a5＝－3，a6＝－2，a7＝1，由此可以得出數(shù)列{an}是以6為一個周期，所以a100＝a4＝－1，S100＝a1＋a2＋a3＋a4＝5，故選A.
5．數(shù)列{an}的通項公式an＝ncos ，其前n項和為Sn，則S2 012等于( )
A．1 006 B．2 012 C．503 D．0
答案 A
解析 用歸納法求解．
∵an＝ncos ，∴a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4，a5＝0，a6＝－6，a7＝0，a8＝8，….
由此易知a4n－2＝－(4n－2)，a4n＝4n，
且a1＋a2＋a3＋a4＝－2＋4＝2，
a5＋a6＋a7＋a8＝－6＋8＝2，…，
a4n－3＋a4n－2＋a4n－1＋a4n＝－(4n－2)＋4n＝2.
又2 012＝4503，
∴a1＋a2＋…＋a2 012＝2＋2＋…＋＝2503＝1 006.
6．數(shù)列{an}滿足a1＝1，且對任意的m，n∈N*都有am＋n＝am＋an＋mn，則＋＋＋…＋等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 令m＝1，得an＋1＝an＋n＋1，即an＋1－an＝n＋1，
于是a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，
上述n－1個式子相加得an－a1＝2＋3＋…＋n，
所以an＝1＋2＋3＋…＋n＝，
因此＝＝2，
所以＋＋＋…＋
＝2
＝2＝.
二、填空題
7．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋2＋(－1)nan＝1，記Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則S60＝________.
答案 480
解析 ∵an＋2＋(－1)nan＝1，∴a3－a1＝1，a5－a3＝1，a7－a5＝1，…，且a4＋a2＝1，a6＋a4＝1，a8＋a6＝1，…，∴{a2n－1}為等差數(shù)列，且a2n－1＝1＋(n－1)1＝n，即a1＝1，a3＝2，a5＝3，a7＝4，
∴S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝1＋1＋2＝4，S8－S4＝a5＋a6＋a7＋a8＝3＋4＋1＝8，
S12－S8＝a9＋a10＋a11＋a12＝5＋6＋1＝12，…，
∴S60＝415＋4＝480.
8．設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，若(n∈N*)是非零常數(shù)，則稱該數(shù)列為“和等比數(shù)列”；若數(shù)列{cn}是首項為2，公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，且數(shù)列{cn}是“和等比數(shù)列”，則d＝________.
答案 4
解析 由題意可知，數(shù)列{cn}的前n項和為Sn＝，前2n項和為S2n＝，所以＝＝2＋＝2＋.因為數(shù)列{cn}是“和等比數(shù)列”，即為非零常數(shù)，所以d＝4.
9．設(shè)Sn＝＋＋＋…＋(n∈N*)，且Sn＋1Sn＋2＝，則n的值是________．
答案 5
解析 ∵Sn＋1＝＋＋…＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－
＝，
∴Sn＋2＝.
∴Sn＋1Sn＋2＝＝，解得n＝5.
10．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝，前n項和為Sn，若對任意的正整數(shù)n，不等式S2n－Sn>恒成立，則常數(shù)m所能取得的最大整數(shù)為_______________．
答案 5
解析 要使S2n－Sn>恒成立，
只需(S2n－Sn)min>.
因為(S2(n＋1)－Sn＋1)－(S2n－Sn)
＝(S2n＋2－S2n)－(Sn＋1－Sn)
＝a2n＋1＋a2n＋2－an＋1
＝＋－
>＋－＝－>0，
所以S2n－Sn≥S2－S1＝，
所以0，n∈N*，且a3－a2＝8，又a1，a5的等比中項為16.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)bn＝log4an，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，是否存在正整數(shù)k，使得＋＋＋…＋
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2019年高考數(shù)學二輪復習
專題訓練四
第2講
數(shù)列求和及綜合應(yīng)用
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數(shù)學
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