2019-2020年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第八章 第4節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 理(含解析).doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第八章 第4節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 理(含解析) 1.(xx江西,5分)在平面直角坐標(biāo)系中,A,B分別是x軸和y軸上的動點,若以AB為直徑的圓C與直線2x+y-4=0相切,則圓C面積的最小值為( ) A. π B. π C.(6-2)π D. π 解析:選A 法一:設(shè)A(a,0),B(0,b),圓C的圓心坐標(biāo)為,2r=,由題知圓心到直線2x+y-4=0的距離d==r,即|2a+b-8|=2r,2a+b=82r,由(2a+b)2≤5(a2+b2),得82r≤2r?r≥,即圓C的面積S=π r2≥π. 法二:由題意可知以線段AB為直徑的圓C過原點O,要使圓C的面積最小,只需圓C的半徑或直徑最?。謭AC與直線2x+y-4=0相切,所以由平面幾何知識,知圓的直徑的最小值為點O到直線2x+y-4=0的距離,此時2r=,得r=,圓C的面積的最小值為S=πr2=π. 答案:A 2.(xx新課標(biāo)全國卷Ⅱ,5分)設(shè)點M(x0,1),若在圓O:x2+y2=1上存在點N,使得∠OMN=45,則x0的取值范圍是________. 解析:由題意可知M在直線y=1上運動,設(shè)直線y=1與圓x2+y2=1相切于點P(0,1).當(dāng)x0=0即點M與點P重合時,顯然圓上存在點N(1,0)符合要求;當(dāng)x0≠0時,過M作圓的切線,切點之一為點P,此時對于圓上任意一點N,都有∠OMN≤∠OMP,故要存在∠OMN=45,只需∠OMP≥45.特別地,當(dāng)∠OMP=45時,有x0=1.結(jié)合圖形可知,符合條件的x0的取值范圍為[-1,1]. 答案:[-1,1] 3.(xx江蘇,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線x+2y-3=0被圓(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦長為________. 解析:因為圓心(2,-1)到直線x+2y-3=0的距離d==,所以直線x+2y-3=0被圓截得的弦長為2=. 答案: 3.(xx重慶,5分)已知直線ax+y-2=0與圓心為C的圓(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B兩點,且△ABC為等邊三角形,則實數(shù)a=________. 解析:依題意,圓C的半徑是2,圓心C(1,a)到直線ax+y-2=0的距離等于2=,于是有=,即a2-8a+1=0,解得a=4. 答案:4 4.(xx湖北,5分)直線l1:y=x+a和l2:y=x+b將單位圓C:x2+y2=1分成長度相等的四段弧,則a2+b2=________. 解析:由題意得,直線l1截圓所得的劣弧長為,則圓心到直線l1的距離為,即=?a2=1,同理可得b2=1,則a2+b2=2. 答案:2 5.(xx江蘇,16分)如圖,為保護(hù)河上古橋OA,規(guī)劃建一座新橋BC,同時設(shè)立一個圓形保護(hù)區(qū).規(guī)劃要求:新橋BC與河岸AB垂直;保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓.且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80 m.經(jīng)測量,點A位于點O正北方向60 m處,點C位于點O正東方向170 m處(OC為河岸),tan∠BCO=. (1)求新橋BC的長; (2)當(dāng)OM多長時,圓形保護(hù)區(qū)的面積最大? 解:法一:(1)如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點,OC所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系xOy. 由條件知A(0,60),C(170,0), 直線BC的斜率kBC= -tan∠BCO=-. 又因為AB⊥BC,所以直線AB的斜率kAB=. 設(shè)點B的坐標(biāo)為(a,b), 則kBC==-,kAB==. 解得a=80,b=120. 所以BC==150. 因此新橋BC的長是150 m. (2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M的半徑為r m,OM=d m(0≤d≤60). 由條件知,直線BC的方程為y=-(x-170), 即4x+3y-680=0. 由于圓M與直線BC相切,故點M(0,d)到直線BC的距離是r, 即r==. 因為O和A到圓M上任意一點的距離均不少于80 m, 所以即 解得10≤d≤35. 故當(dāng)d=10時,r=最大,即圓面積最大. 所以當(dāng)OM=10 m時,圓形保護(hù)區(qū)的面積最大. 法二:(1)如圖,延長OA,CB交于點F. 因為tan∠FCO=, 所以sin∠FCO=,cos∠FCO=. 因為OA=60,OC=170, 所以O(shè)F=OCtan∠FCO=, CF==. 從而AF=OF-OA=. 因為OA⊥OC,所以cos∠AFB=sin∠FCO=. 又因為AB⊥BC,所以BF=AFcos∠AFB=, 從而BC=CF-BF=150. 因此新橋BC的長是150 m. (2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M與BC的切點為D,連接MD,則MD⊥BC,且MD是圓M的半徑,并設(shè)MD=r m,OM=d m(0≤d≤60). 因為OA⊥OC,所以sin∠CFO=cos∠FCO. 故由(1)知sin∠CFO====,所以r=. 因為O和A到圓M上任意一點的距離均不少于80 m, 所以即 解得10≤d≤35. 故當(dāng)d=10時,r=最大,即圓面積最大. 所以當(dāng)OM=10 m時,圓形保護(hù)區(qū)的面積最大. 6.(xx江西,5分)過點(,0)引直線l與曲線y=相交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點,當(dāng)△AOB的面積取最大值時,直線l的斜率等于( ) A. B.- C. D.- 解析:本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓的位置關(guān)系,意在考查考生的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想及運算能力.由y= 得x2+y2=1(y≥0),即該曲線表示圓心在原點,半徑為1的半圓,如圖所示.故S△AOB=|OA||OB|sin ∠AOB=sin ∠AOB.所以當(dāng)sin ∠AOB=1,即OA⊥OB時,S△AOB取得最大值,此時點O到直線l的距離d=|OA|sin 45=.設(shè)此時直線l的斜率為k,則方程為y=k(x-),即kx-y-k=0,則有=,解得k=,由圖可知直線l的傾斜角為鈍角,故取k=-. 答案:B 7.(xx山東,4分)過點(3,1)作圓(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦的長為________. 解析:本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合思想和運算能力.最短弦為過點(3,1),且垂直于點(3,1)與圓心的連線的弦,易知弦心矩d==,所以最短弦長為2=2=2. 答案:2 8.(xx重慶,5分)已知圓C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圓C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分別是圓C1,C2上的動點,P為x軸上的動點,則|PM|+|PN|的最小值為( ) A.5-4 B.-1 C.6-2 D. 解析:本題考查與圓有關(guān)的最值問題,意在考查考生數(shù)形結(jié)合的能力.兩圓的圓心均在第一象限,先求|PC1|+|PC2|的最小值,作點C1關(guān)于x軸的對稱點C(2,-3),則(|PC1|+|PC2|)min=|CC2|=5,所以(|PM|+|PN|)min=5-(1+3)=5-4. 答案:A 9.(xx江蘇,14分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A(0,3),直線l:y=2x-4.設(shè)圓C的半徑為1,圓心在l上. (1)若圓心C也在直線y=x-1上,過點A作圓C的切線,求切線的方程; (2)若圓C上存在點M,使MA=2MO,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍. 解:本題考查直線與圓的方程,兩直線交點和直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系,意在考查學(xué)生用待定系數(shù)法處理問題的能力和用代數(shù)法處理幾何性質(zhì)的能力. (1)由題設(shè),圓心C是直線y=2x-4和y=x-1的交點,解得點C(3,2),于是切線的斜率必存在.設(shè)過A(0,3)的圓C的切線方程為y=kx+3, 由題意,=1,解得k=0或-, 故所求切線方程為y=3或3x+4y-12=0. (2)因為圓心在直線y=2x-4上,所以圓C的方程為(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1. 設(shè)點M(x,y),因為MA=2MO, 所以=2,化簡得x2+y2+2y-3=0,即x2+(y+1)2=4,所以點M在以D(0,-1)為圓心,2為半徑的圓上. 由題意,點M(x,y)在圓C上,所以圓C與圓D有公共點,則|2-1|≤CD≤2+1,即1≤≤3. 由5a2-12a+8≥0,得a∈R; 由5a2-12a≤0,得0≤a≤. 所以點C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為0,. 10.(xx天津,5分)設(shè)m,n∈R,若直線(m+1)x+(n+1)y-2=0與圓(x-1)2+(y-1)2=1相切,則m+n的取值范圍是( ) A.[1-,1+ ] B.(-∞,1- ]∪[1+,+∞) C.[2-2,2+2 ] D.(-∞,2-2 ]∪[2+2,+∞) 解析:由題意可得=1,化簡得mn=m+n+1≤,解得m+n≤2-2或m+n≥2+2. 答案:D 11.(xx陜西,5分)已知圓C:x2+y2-4x=0,l是過點P(3,0)的直線,則( ) A.l與C相交 B.l與C相切 C.l與C相離 D.以上三個選項均有可能 解析:把點(3,0)代入圓的方程的左側(cè)得32+0-43=-3<0,故點(3,0)在圓的內(nèi)部,所以過點(3,0)的直線l與圓C相交. 答案:A 12.(2011江西,5分)若曲線C1:x2+y2-2x=0與曲線C2:y(y-mx-m)=0有四個不同的交點,則實數(shù)m的取值范圍是( ) A.(-,) B.(-,0)∪(0,) C.[-,] D.(-∞,-)∪(,+∞) 解析:整理曲線C1方程得,(x-1)2+y2=1,知曲線C1為以點C1(1,0)為圓心,以1為半徑的圓;曲線C2則表示兩條直線,即x軸與直線l:y=m(x+1),顯然x軸與圓C1有兩個交點,知直線l與x軸相交,故有圓心C1到直線l的距離d=- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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