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2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí) 第八章 推理與證明同步訓(xùn)練 理
A級(jí)訓(xùn)練
(完成時(shí)間：10分鐘)
1.下列表述正確的是( )
①歸納推理是由部分到整體的推理；
②歸納推理是由一般到一般地推理；
③演繹推理是由一般到特殊的推理；
④類比推理是由特殊到一般地推理；
⑤類比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③ B．②③④
C．②④⑤ D．①③⑤
2.給出下列三個(gè)類比結(jié)論：
①(ab)n＝anbn與(a＋b)n類比，則有(a＋b)n＝an＋bn；
②loga(xy)＝logax＋logay與sin(α＋β)類比，則有sin(α＋β)＝sinαsinβ；
③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2與(a＋b)2類比，則有(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；
其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
3.由“直線與圓相切時(shí)，圓心與切點(diǎn)的連線與直線垂直”，想到“平面與球相切時(shí)，球心與切點(diǎn)的連線與平面垂直”，用的是( )
A．歸納推理 B．演繹推理
C．類比推理 D．特殊推理
4.(xx全國(guó)Ⅰ)甲、乙、丙三位同學(xué)被問(wèn)到是否去過(guò)A，B，C三個(gè)城市時(shí)，
甲說(shuō)：我去過(guò)的城市比乙多，但沒(méi)去過(guò)B城市；
乙說(shuō)：我沒(méi)去過(guò)C城市；
丙說(shuō)：我們?nèi)巳ミ^(guò)同一城市．
由此可判斷乙去過(guò)的城市為_______．
5.若數(shù)列{an}(n∈N*)是等差數(shù)列，設(shè)bn＝(n∈N*)，則有數(shù)列也為等差數(shù)列，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，若數(shù)列{cn}(n∈N*)為等比數(shù)列，且cn>0，設(shè)dn＝____________________，則有也為等比數(shù)列．
6.觀察下列不等式：
①<1；②－<；③－－<，…，則第5個(gè)不等式為________________________________．
7.(xx上海)36的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因?yàn)?6＝2232，所以36的所有正約數(shù)之和為(1＋3＋32)＋(2＋23＋232)＋(22＋223＋2232)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91.
參照上述方法，可求得xx的所有正約數(shù)之和為______．
B級(jí)訓(xùn)練
(完成時(shí)間：15分鐘)
1.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是( )否( )]
對(duì)命題“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點(diǎn)”，可類比猜想出：正四面體的內(nèi)切球切于各面正三角形的什么位置( )
A．各正三角形的中心
B．各正三角形的某高線上的點(diǎn)
C．各正三角形內(nèi)一點(diǎn)
D．各正三角形外的某點(diǎn)
2.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是( )否( )]
觀察下列各式：則72＝49,73＝343,74＝2401，…，則7xx的末兩位數(shù)字為( )
A．01 B．43
C．07 D．49
3.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是( )否( )]
將正偶數(shù)集合{2,4,6，…}從小到大按第n組有2n個(gè)偶數(shù)進(jìn)行分組：{2,4}，{6,8,10,12}，{14,16,18,20,22,24}，……則2120位于第______組( )
A．33 B．32
C．31 D．30
4.[限時(shí)3分鐘，達(dá)標(biāo)是( )否( )]
(xx北京)學(xué)生的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)均被評(píng)定為三個(gè)等級(jí)，依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”．若學(xué)生甲的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)成績(jī)都不低于學(xué)生乙，且其中至少有一門成績(jī)高于乙，則稱“學(xué)生甲比學(xué)生乙成績(jī)好”．如果一組學(xué)生中沒(méi)有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績(jī)好，并且不存在語(yǔ)文成績(jī)相同、數(shù)學(xué)成績(jī)也相同的兩位學(xué)生，那么這組學(xué)生最多有( )
A．2人 B．3人
C．4人 D．5人
5.[限時(shí)3分鐘，達(dá)標(biāo)是( )否( )]
(xx廣州二模)將正偶數(shù)2,4,6,8，…按表的方式進(jìn)行排列，記aij表示第i行第j列的數(shù)，若aij＝xx，則i＋j的值為( )
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第1行
2
4
6
8
第2行
16
14
12
10
第3行
18
20
22
24
第4行
32
30
28
26
第5行
34
36
38
40
…
…
…
…
…
…
A.257 B．256
C．254 D．253
6.[限時(shí)3分鐘，達(dá)標(biāo)是( )否( )]
(xx廣東清遠(yuǎn)一模)根據(jù)下列4個(gè)圖形及黑方塊的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，現(xiàn)用f(n)表示第n個(gè)圖黑方塊總數(shù)，則f(5)＝ 41 ，試猜測(cè)f(n)＝ 2n2－2n＋1 .
7.[限時(shí)4分鐘，達(dá)標(biāo)是( )否( )]
現(xiàn)代社會(huì)對(duì)破譯密碼的難度要求越來(lái)越高．有一種密碼把英文的明文(真實(shí)文)按字母分解，其中英文的a，b，c，…，z這26個(gè)字母(不論大小寫)依次對(duì)應(yīng)1,2,3，…，26這26個(gè)自然數(shù)(見下表)：
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
n
o
p
q
r
s
t
u
v
w
x
y
z
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
現(xiàn)給出一個(gè)變換公式：
x′＝
將明文轉(zhuǎn)換成密文，如8→＋13＝17，即h變成q；5→＝3，即e變成c.
按上述規(guī)定，若明文是wdri，那么翻譯成密文是什么？
C級(jí)訓(xùn)練
(完成時(shí)間：13分鐘)
1.[限時(shí)4分鐘，達(dá)標(biāo)是( )否( )]
(xx廣州海珠區(qū)一模)如圖，對(duì)大于或等于2的正整數(shù)m的n次冪進(jìn)行如下方式的“分裂”(其中m，n∈N*)：例如72的“分裂”中最小的數(shù)是1，最大的數(shù)是13；若m3的“分裂”中最小的數(shù)是241，則最大的數(shù)是 271 .
2.[限時(shí)4分鐘，達(dá)標(biāo)是( )否( )]
(xx廣東揭陽(yáng)三模)非空集合G關(guān)于運(yùn)算⊕滿足：
(1)對(duì)任意a、b∈G，都有a⊕b∈G；
(2)存在e∈G，使得對(duì)一切a∈G，都有a⊕e＝c⊕a＝e，則稱G關(guān)于運(yùn)算⊕為“融洽集”．現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)算：
①G＝{非負(fù)整數(shù)}，⊕為整數(shù)的加法；
②G＝{偶數(shù)}，⊕為整數(shù)的乘法；
③G＝{平面向量}，⊕為平面向量的加法；
其中G關(guān)于運(yùn)算⊕為“融洽集”的是?、佗邸?寫出所有“融洽集”的序號(hào))．
3.[限時(shí)5分鐘，達(dá)標(biāo)是( )否( )]
(xx湖南)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋bx－cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0.
(1)記集合M＝{(a，b，c)|a，b，c不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，且a＝b}，則(a，b，c)∈M所對(duì)應(yīng)的f(x)的零點(diǎn)的取值集合為 {x|0＜x≤1} .
(2)若a，b，c是△ABC的三條邊長(zhǎng)，則下列結(jié)論正確的是?、佗冖邸?(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))
①?x∈(－∞，1)，f(x)＞0；
②?x∈R，使ax，bx，cx不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)；
③若△ABC為鈍角三角形，則?x∈(1,2)，使f(x)＝0.
第2講 直接證明與間接證明
A級(jí)訓(xùn)練
(完成時(shí)間：10分鐘)
1.已知a，b∈R＋，則x＝－與y＝的大小關(guān)系是( )
A．x＞y B．x≥y
C．x≤y D．不確定
2.已知a＝2－，b＝－2，c＝5－2，則( )
A．a(chǎn)
q D．不確定
4.設(shè)x，y，z均為正實(shí)數(shù)，a＝x＋，b＝y(tǒng)＋，c＝z＋，則a，b，c三數(shù)( )
A．至少有一個(gè)不大于2
B．都小于2
C．至少有一個(gè)不小于2
D．都大于2
5.若x>1，則x與lnx的大小關(guān)系為 x>lnx .
6.如果a＋b＞a＋b，則a、b應(yīng)滿足的條件是 a≥0，b≥0，且a≠b .
7.已知|x|≤1，|y|≤1，用分析法證明：|x＋y|≤|1＋xy|.
B級(jí)訓(xùn)練
(完成時(shí)間：20分鐘)
1.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是( )否( )]
用反證法證明：若整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理數(shù)根，那么a、b、c中至少有一個(gè)偶數(shù)時(shí)，下列假設(shè)正確的是( )
A．a(chǎn)，b，c中至多一個(gè)是偶數(shù)
B．a(chǎn)，b，c中至少一個(gè)是奇數(shù)
C．a(chǎn)，b，c中全是奇數(shù)
D．a(chǎn)，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)
2.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是( )否( )]
設(shè)0x .
6.[限時(shí)5分鐘，達(dá)標(biāo)是( )否( )]
已知：x，y，z∈(0,1)，求證：(1－x)y，(1－y)z，(1－z)x不可能都大于.
7.[限時(shí)5分鐘，達(dá)標(biāo)是( )否( )]
已知f(x)＝ax＋(a>1)，證明：方程f(x)＝0沒(méi)有負(fù)數(shù)根．
C級(jí)訓(xùn)練
(完成時(shí)間：10分鐘)
1.[限時(shí)10分鐘，達(dá)標(biāo)是( )否( )]
直線y＝kx＋m(m≠0)與橢圓W：＋y2＝1相交于A，C兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,1)，且四邊形OABC為菱形時(shí)，求AC的長(zhǎng)；
(2)當(dāng)點(diǎn)B在W上且不是W的頂點(diǎn)時(shí)，證明：四邊形OABC不可能為菱形．
第3講 數(shù)學(xué)歸納法
A級(jí)訓(xùn)練
(完成時(shí)間：15分鐘)
1.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式2n>n2(其中n∈N＋，n≥n0)時(shí)，初始值n0＝( )
A．1 B．3
C．5 D．6
2.在數(shù)列{an}中，an＝1－＋－＋…＋－，則ak＋1＝( )
A．a(chǎn)k＋ B．a(chǎn)k＋－
C．a(chǎn)k＋ D．a(chǎn)k＋－
3.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，xn－yn能被x－y整除”時(shí)，在驗(yàn)證n＝2正確后，歸納假設(shè)應(yīng)寫成( )
A．假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)，xk－yk能被x－y整除
B．假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)，x2k－y2k能被x－y整除
C．假設(shè)n＝2k(k∈N*)時(shí)，x2k－y2k能被x－y整除
D．假設(shè)n＝2k－2(k∈N*)時(shí)，x2k－y2k能被x－y整除
4.數(shù)列{an}中，已知a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an－an－1＝2n－1，依次計(jì)算a2，a3，a4后，猜想an的表達(dá)式是 an＝n2 .
5.用數(shù)學(xué)歸納法證明：“14＋27＋310＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，n∈N＋”，當(dāng)n＝1時(shí)，左端為 4 .
6.若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，則f(k＋1)與f(k)的遞推關(guān)系式是____________________________．
7.對(duì)于n∈N*，用數(shù)學(xué)歸納法證明：
1n＋2(n－1)＋3(n－2)＋…＋(n－1)2＋n1＝n(n＋1)(n＋2)．
B級(jí)訓(xùn)練
(完成時(shí)間：16分鐘)
1.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是( )否( )]
一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題，如果驗(yàn)證當(dāng)n＝1時(shí)命題成立，并在假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1且k∈N*)時(shí)命題成立的基礎(chǔ)上，證明了當(dāng)n＝k＋2時(shí)命題成立，那么綜合上述，對(duì)于( )
A．一切正整數(shù)命題成立
B．一切正奇數(shù)命題成立
C．一切正偶數(shù)命題成立
D．以上都不對(duì)
2.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是( )否( )]
某個(gè)命題與正整數(shù)有關(guān)，若當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)該命題成立，那么可推得當(dāng)n＝k＋1時(shí)該命題也成立，現(xiàn)已知當(dāng)n＝4時(shí)該命題不成立，那么可推得( )
A．當(dāng)n＝5時(shí)，該命題不成立
B．當(dāng)n＝5時(shí)，該命題成立
C．當(dāng)n＝3時(shí)，該命題成立
D．當(dāng)n＝3時(shí)，該命題不成立
3.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是( )否( )]
用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n∈N時(shí)，1＋2＋22＋…＋25n－1是31的倍數(shù)時(shí)，當(dāng)n＝1時(shí)，原式為____________________，從k到k＋1時(shí)需增添的項(xiàng)是__________________________________．
4.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是( )否( )]
用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3＋5n能被6整除”的過(guò)程中，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，對(duì)式子(k＋1)3＋5(k＋1)應(yīng)變形為 (k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6 .
5.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是( )否( )]
共有n級(jí)樓梯，每步只能跨上1級(jí)或2級(jí)，走完這n級(jí)樓梯共有f(n)種不同的走法，則f(n)，f(n－1)，f(n－2)之間有關(guān)系式是 f(n)＝f(n－1)＋f(n－2) .
6.[限時(shí)6分鐘，達(dá)標(biāo)是( )否( )]
設(shè)函數(shù)f(x)滿足2f(x)－f()＝4x－＋1，數(shù)列{an}和{bn}滿足下列條件：a1＝1，an＋1－2an＝f(n)，bn＝an＋1－an(n∈N*)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn；
(3)試比較2an與bn的大小，并證明你的結(jié)論．
C級(jí)訓(xùn)練
(完成時(shí)間：20分鐘)
1.[限時(shí)10分鐘，達(dá)標(biāo)是( )否( )]
(xx廣東肇慶二模)已知正項(xiàng)數(shù)列{xn}滿足xn＋＜2(n∈N*)．
(1)證明：xn＋≥2；
(2)證明：xn＜xn＋1；
(3)證明：＜xn＜.
[限時(shí)10分鐘，達(dá)標(biāo)是( )否( )]
已知函數(shù)f(x)＝ex－1，g(x)＝＋x，其中e是自然對(duì)數(shù)的底，e＝2.71828….
(1)證明：函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn)；
(2)求方程f(x)＝g(x)根的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；
(3)若數(shù)列{an}(n∈N*)滿足a1＝a(a＞0)(a為常數(shù))，a＝g(an)，證明：存在常數(shù)M，使得對(duì)于任意n∈N*，都有an≤M.
第八章 推理與證明
第1講 合情推理與演繹推理
【A級(jí)訓(xùn)練】
1．D 解析：歸納推理是由部分到整體的推理，演繹推理是由一般到特殊的推理，類比推理是由特殊到特殊的推理．故①③⑤是正確的．
2．B 解析：只有③正確．
3．C 解析：由直線類比平面，由圓類比球，由圓心類比球心，是從特殊到特殊的推理，選C.
4．A 解析：由題意可推斷：甲沒(méi)去過(guò)B城市，但比乙去的城市多，而丙說(shuō)“三人去過(guò)同一城市”，說(shuō)明甲去過(guò)A，C城市，而乙“沒(méi)去過(guò)C城市”，說(shuō)明乙去過(guò)城市A，由此可知，乙去過(guò)的城市為A.
5.
6.－－－－<
解析：由①<1，②－<，③－－<，歸納可知第5個(gè)不等式應(yīng)為－－－－<.
7．4836 解析：類比36的所有正約數(shù)之和的方法，有：xx的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因?yàn)閤x＝2453，所以xx的所有正約數(shù)之和為(1＋2＋22＋23＋24)(1＋5＋52＋53)＝4836.可求得xx的所有正約數(shù)之和為4836.
【B級(jí)訓(xùn)練】
1．A 解析：四面體的面可以與三角形的邊類比，因此三邊的中點(diǎn)也就類比成各三角形的中心．
2．D 解析：因?yàn)閒(x)＝7x，f(2)＝49，f(3)＝343，f(4)＝2401，f(5)＝16807，f(6)＝117649，末兩位數(shù)以4為周期，又xx＝5034＋2，所以7xx與72的末兩位數(shù)相同．
3．A 解析：第一組有2＝12個(gè)數(shù)，最后一個(gè)數(shù)為4；
第二組有4＝22個(gè)數(shù)，最后一個(gè)數(shù)為12即2(2＋4)；
第三組有6＝23個(gè)數(shù)，最后一個(gè)數(shù)為24，即2(2＋4＋6)；
……
所以第n組有2n個(gè)數(shù)，其中最后一個(gè)數(shù)為2(2＋4＋…＋2n)＝4(1＋2＋3＋…＋n)＝2n(n＋1)．
所以當(dāng)n＝32時(shí)，第32組的最后一個(gè)數(shù)為23233＝2112.
所以第33組里邊有66個(gè)數(shù)．
所以2120位于第33組．
4．B 解析：假設(shè)滿足條件的學(xué)生有4位及4位以上，設(shè)其中4位同學(xué)分別為甲、乙、丙、丁，則4位同學(xué)中必有兩個(gè)人語(yǔ)文成績(jī)一樣，且這兩個(gè)人數(shù)學(xué)成績(jī)不一樣，那么這兩個(gè)人中一個(gè)人的成績(jī)比另一個(gè)人好，故滿足條件的學(xué)生不能超過(guò)3人．當(dāng)有3位學(xué)生時(shí)，用A，B，C表示“優(yōu)秀”“合格”“不合格”，則滿足題意的有AC，CA，BB，所以最多有3人．
5．C 解析：因?yàn)閤x＝16125＋27,xx＝8252－2，所以可以看作是1252行，再?gòu)?51行數(shù)7個(gè)數(shù)，也可以看作252行再去掉1個(gè)數(shù)，也就是xx在第252行第2列．即i＝252，j＝2，所以i＋j＝252＋2＝254.
6．41 2n2－2n＋1 解析：根據(jù)前面四個(gè)發(fā)現(xiàn)規(guī)律：f(2)－f(1)＝41，f(3)－f(2)＝42，f(4)－f(3)＝43，…，f(n)－f(n－1)＝4(n－1)；這n－1個(gè)式子相加可得：f(n)＝2n2－2n＋1.當(dāng)n＝5時(shí)，f(5)＝41.
7．解析：明文wdri中的w對(duì)應(yīng)的數(shù)字為23，按照變換公式：
x′＝，密文對(duì)應(yīng)的數(shù)字是12，對(duì)應(yīng)的字母是l；
明文wdri中d的對(duì)應(yīng)的數(shù)字為4，按照變換公式：
x′＝，密文對(duì)應(yīng)的數(shù)字是15，對(duì)應(yīng)的字母是o；
明文中的r對(duì)應(yīng)的數(shù)字為18，按照變換公式：
x′＝，密文對(duì)應(yīng)的數(shù)字是22，對(duì)應(yīng)的字母是v；
明文wdri中i的對(duì)應(yīng)的數(shù)字為9，按照變換公式：
x′＝，密文對(duì)應(yīng)的數(shù)字是5，對(duì)應(yīng)的字母是e.
所以將明文wdri翻譯成密文是love.
【C級(jí)訓(xùn)練】
1．271 解析：由題意，從23到(m－1)3，正好用去從3開始的連續(xù)奇數(shù)共2＋3＋4＋…＋(m－1)＝個(gè)，即241＝3＋2，解得m＝16或m＝－15(舍去)，在m3的“分裂”中的最大數(shù)是m2＋m－1，所以所求最大的數(shù)是271.
2．①③ 解析：①對(duì)于任意非負(fù)整數(shù)a，b知道：a＋b仍為非負(fù)整數(shù)，所以a⊕b∈G；取e＝0，及任意非負(fù)整數(shù)a，則a＋0＝0＋a＝a，因此G對(duì)于⊕為整數(shù)的加法運(yùn)算來(lái)說(shuō)是“融洽集”；②對(duì)于任意偶數(shù)a，b知道：ab仍為偶數(shù)，故有a⊕b∈G；但是不存在e∈G，使對(duì)一切a∈G都有a⊕e＝e⊕a＝a，故②的G不是“融洽集”．③當(dāng)a，b都為平面向量時(shí)，兩平面向量相加仍然為平面向量，且存在零向量通過(guò)向量加法滿足條件(2)，故G是“融洽集”．
3．(1){x|0＜x≤1} (2)①②③
解析：(1)因?yàn)閏＞a，由c≥a＋b＝2a，
所以≥2，則ln≥ln2＞0，
令f(x)＝ax＋bx－cx＝2ax－cx＝cx[2(()x－1]＝0，得()x＝2，
所以x＝≤＝1，所以0＜x≤1.
故填{x|0＜x≤1}．
(2)因?yàn)閒(x)＝ax＋bx－cx＝cx[()x＋()x－1]，
又＜1，＜1，
所以對(duì)?x∈(－∞，1)，()x＋()x－1>()1＋()1－1＝>0.
所以命題①正確；
令x＝－1，a＝2，b＝4，c＝5，
則ax＝，bx＝，cx＝，不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，所以命題②正確；
若三角形為鈍角三角形，則a2＋b2－c2＜0.
f(1)＝a＋b－c＞0，f(2)＝a2＋b2－c2＜0.
所以?x∈(1,2)，使f(x)＝0，所以命題③正確．
第2講 直接證明與間接證明
【A級(jí)訓(xùn)練】
1．C
2．A 解析：a＝2－<0，b＝－2>0，c＝5－2＝(－2)>－2. 所以，alnx 解析：畫出圖形，易知x>lnx.
6．a(chǎn)≥0，b≥0，且a≠b 解析：因?yàn)閍＋b>a＋b，
移項(xiàng)得a＋b－a－b>0
?(a＋b－2)(＋)>0，
即要滿足(－)2(＋)>0，
可以看出式子左邊是大于等于0的，故要排除等于0的情況．
因?yàn)閍，b求平方根，則必有a≥0，b≥0，
若a＝b，則有(－)2(＋)＝0矛盾，故a≠b.
7．證明：要證|x＋y|≤|1＋xy|.即證(x＋y)2≤(1＋xy)2，即證x2＋y2≤1＋x2y2，
即證(x2－1)(1－y2)≤0，因?yàn)閨x|≤1，|y|≤1，
所以x2－1≤0,1－y2≥0，所以(x2－1)(1－y2)≤0，
所以不等式成立．
【B級(jí)訓(xùn)練】
1．C 解析：根據(jù)反證法的步驟，假設(shè)是對(duì)原命題結(jié)論的否定“至少有一個(gè)”的否定“都不是”．即假設(shè)正確的是：假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù)．
2．C 解析：因?yàn)?2＝>，
所以只需比較1＋x與的大?。?
因?yàn)?＋x－＝＝－<0，
所以1＋x<.
3．B 解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)在(0,2)上是增函數(shù)，函數(shù)y＝f(x＋2)是偶函數(shù)，所以x＝2是對(duì)稱軸，在(2,4)上為減函數(shù)，f(2.5)＞f(1)＝f(3)＞f(3.5)．
4．0 解析：因?yàn)閒(x)＝x2－ln x，x>0，
所以f′(x)＝x－，由f′(x)＝0，得x＝1，
于是可得f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
故f(x)的最小值f(1)＝>0，所以f(x)的零點(diǎn)有0個(gè)．
5．z≥y>x 解析：由y＋z＝6－4x＋3x2，z－y＝4－4x＋x2，
兩式相減化簡(jiǎn)得y＝x2＋1.
因?yàn)閦－y＝4－4x＋x2＝(x－2)2≥0，所以z≥y.
又y－x＝x2－x＋1＝(x－)2＋>0，
所以y>x.
所以x，y，z的大小關(guān)系是z≥y>x.
6．證明：假設(shè)三個(gè)式子都大于，
即(1－x)y＞，(1－y)z＞，(1－z)x＞，
三個(gè)式子相乘得：
(1－x)y(1－y)z(1－z)x＞，①
因?yàn)?＜x＜1所以x(1－x)≤()2＝，
同理(1－y)y≤，(1－z)z≤，
所以(1－x)y(1－y)z(1－z)x≤，②
顯然①與②矛盾，所以假設(shè)是錯(cuò)誤的，故原命題成立．
7．證明：假設(shè)x0是f(x)＝0的負(fù)數(shù)根，則x0<0，且x0≠－1，同時(shí)ax0＝－.
又a>1，所以0b3；
n＝4時(shí)，2a4>b4.
猜想n≥3時(shí)，2an>bn，即32n>4(n＋1)．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
(ⅰ)當(dāng)n＝3時(shí)，顯然成立．
(ⅱ)假設(shè)當(dāng)n＝k(k>3，k∈N*)時(shí)成立，則n＝k＋1時(shí)，
32k＋1＝2(32k)>8(k＋1)
＝8k＋8＝4k＋8＋4k>4k＋8
＝4(k＋2)，
所以n＝k＋1時(shí)也成立．
由(ⅰ)(ⅱ)知，n≥3時(shí)，2an>bn.
綜上所述，n＝1時(shí)，2anbn.
【C級(jí)訓(xùn)練】
1．證明：(1)方法一：因?yàn)閤n＞0，
所以xn＋≥2＝2，
故xn＋≥2，
當(dāng)且僅當(dāng)xn＝1時(shí)，等號(hào)成立．
方法二：因?yàn)閤n＞0，
所以xn＋－2＝(－)2≥0，
故xn＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)xn＝1時(shí)，等號(hào)成立．
(2)由(1)知xn＋≥2，
又xn＋＜2，
所以＞＞0，
所以xn＜xn＋1.
(3)先證：xn＞(數(shù)學(xué)歸納法)．
當(dāng)n＝1時(shí)，不等式顯然成立；
假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)不等式成立，即xk＞.
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由xn＋＜2得xk＋1＞＞＝，
即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立；
綜上，對(duì)一切n∈N*都有xn＞成立．
再證：xn＜.
由xn＞0及xn＋＜2(n∈N*)，得xn＜2(n∈N*)，
所以當(dāng)n＝1時(shí)，不等式顯然成立；
當(dāng)n≥2時(shí)，可以證明xn＜(反證法)．
假設(shè)存在k，使得xk≥，
則有xk＋1＞≥＝，
即xk＋1＞，
所以xk＋2＞，xk＋3＞，…，x2k－2＞，x2k－1＞2，與題設(shè)x2k－1＋＜2矛盾．
所以對(duì)一切n∈N*都有xn＜成立．
所以對(duì)一切n∈N*都有＜xn＜成立．
2．解析：(1)證明：由h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－－x，
得：h(1)＝e－3＜0，h(2)＝e2－2－＞0，
所以函數(shù)h(x)在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn)．
(2)由(1)得：h(x)＝ex－1－－x由g(x)＝＋x知，x∈[0，＋∞)，
而h(0)＝0，則x＝0為h(x)的一個(gè)零點(diǎn)，
且h(x)在(1,2)內(nèi)有零點(diǎn)，因此h(x)至少有兩個(gè)零點(diǎn)．
所以h′(x)＝ex－x－－1，
記φ(x)＝ex－x－－1，
則φ′(x)＝ex＋x－.
當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，φ′(x)＞0，因此φ(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
則φ(x)在(0，＋∞)內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)．
h(x)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)．
所以，方程f(x)＝g(x)根的個(gè)數(shù)為2.
(3)記h(x)的正零點(diǎn)為x0，
即ex0－1＝x0＋.
(ⅰ)當(dāng)a＜x0時(shí)，由a1＝a，即a1＜x0.
而a＝a1＋
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí)
第八章
推理與證明同步訓(xùn)練
2019
2020
年高
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一輪
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第八
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí) 第八章 推理與證明同步訓(xùn)練 理.doc
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