2019-2020年高考數(shù)學(xué)備考試題庫(kù) 第八章 第5節(jié) 橢圓 文（含解析）.DOC

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)備考試題庫(kù) 第八章 第5節(jié) 橢圓 文（含解析） 1. (xx遼寧，5分)已知橢圓C： ＋＝1，點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合．若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在C上，則 |AN|＋|BN|＝________. 解析：取MN的中點(diǎn)G，G在橢圓C上，因?yàn)辄c(diǎn)M關(guān)于C的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的對(duì)稱點(diǎn)分別為A，B，故有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12. 答案：12. 2．(xx江蘇，5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x＋2y－3＝0被圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦長(zhǎng)為________． 解析：因?yàn)閳A心(2，－1)到直線x＋2y－3＝0的距離d＝＝，所以直線x＋2y－3＝0被圓截得的弦長(zhǎng)為2＝. 答案： 3. (xx遼寧，12分) 圓 x2＋y2＝4的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個(gè)三角形，當(dāng)該三角形面積最小時(shí)，切點(diǎn)為P(如圖)． (1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (2)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C過(guò)點(diǎn)P，且與直線l：y＝x＋ 交于A，B兩點(diǎn)．若△PAB 的面積為2，求C的標(biāo)準(zhǔn)方程． 解：(1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)(x0>0，y0>0)，則切線斜率為－，切線方程為y－y0＝－(x－x0)，即x0x＋y0y＝4，此時(shí)，兩個(gè)坐標(biāo)軸的正半軸與切線圍成的三角形面積為S＝＝. 由x＋y＝4≥2x0y0知當(dāng)且僅當(dāng)x0＝y(tǒng)0＝時(shí)x0y0有最大值，即S有最小值，因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)． (2)設(shè)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)， 點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由點(diǎn)P在C上知＋＝1，并由得b2x2＋4x＋6－2b2＝0， 又x1，x2是方程的根，因此 由y1＝x1＋，y2＝x2＋， 得|AB|＝|x1－x2|＝. 由點(diǎn)P到直線l的距離為及S△PAB＝|AB|＝2得b4－9b2＋18＝0，解得b2＝6或3，因此b2＝6，a2＝3(舍)或b2＝3，a2＝6. 從而所求C的方程為＋＝1. 4. (xx江西，5分)設(shè)橢圓 C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為 F1，F(xiàn)2，過(guò)F2 作x 軸的垂線與C相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1B 與y 軸交于點(diǎn)D，若AD⊥F1B，則橢圓 C的離心率等于________． 解析：由題意知F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c＝，因?yàn)檫^(guò)F2且與x軸垂直的直線為x＝c，由橢圓的對(duì)稱性可設(shè)它與橢圓的交點(diǎn)為A，B.因?yàn)锳B平行于y軸，且|F1O|＝|OF2|，所以|F1D|＝|DB|，即D為線段F1B的中點(diǎn)，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為，又AD⊥F1B，所以kADkF1B＝－1，即＝－1，整理得b2＝2ac，所以(a2－c2)＝2ac，又e＝，0b>0)， 由題意知 解得a＝，b＝1， 因此橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)(ⅰ)當(dāng)A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)， 設(shè)直線AB的方程為x＝m，由題意得－0，所以t＝2或t＝. (ⅱ)當(dāng)A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸不對(duì)稱時(shí)， 設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋h， 將其代入橢圓的方程＋y2＝1， 得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由判別式Δ>0可得1＋2k2>h2， 此時(shí)x1＋x2＝－，x1x2＝， y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2h＝， 所以|AB|＝ ＝2 . 因?yàn)辄c(diǎn)O到直線AB的距離d＝， 所以S△AOB＝|AB|d＝2＝ |h|. 又S△AOB＝， 所以 |h|＝.③ 令n＝1＋2k2，代入③整理得3n2－16h2n＋16h4＝0， 解得n＝4h2或n＝h2， 即1＋2k2＝4h2或1＋2k2＝h2.④ 又＝t＝t(＋)＝t(x1＋x2，y1＋y2)＝， 因?yàn)镻為橢圓C上一點(diǎn)， 所以t22＋2＝1， 即＝1.⑤ 將④代入⑤得t2＝4或t2＝. 又t>0，所以t＝2或t＝.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意． 綜合(ⅰ)(ⅱ)得t＝2或t＝. 7（xx新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ，5分）設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點(diǎn)，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30，則C的離心率為(　　) A.　　　　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：本題主要考查橢圓離心率的計(jì)算，涉及橢圓的定義、方程與幾何性質(zhì)等知識(shí)，意在考查考生的運(yùn)算求解能力． 法一：由題意可設(shè)|PF2|＝m，結(jié)合條件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故離心率e＝＝＝＝＝. 法二：由PF2⊥F1F2可知P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為c，將x＝c代入橢圓方程可解得y＝，所以|PF2|＝.又由∠PF1F2＝30可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝，變形可得(a2－c2)＝2ac，等式兩邊同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去)． 答案：D　 8．（xx遼寧，5分）已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，C與過(guò)原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：本題主要考查圓錐曲線的定義、離心率，解三角形等知識(shí)，意在考查考生對(duì)圓錐曲線的求解能力以及數(shù)據(jù)處理能力．由余弦定理得，|AF|＝6，所以2a＝6＋8＝14，又2c＝10，所以e＝＝. 答案：B 9．（xx四川，5分）從橢圓＋＝1(a＞b＞0)上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)F1，A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，且AB∥OP(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，則該橢圓的離心率是(　　) A. B. C. D. 解析：本題主要考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，意在考查曲線和方程這一解析幾何的基本思想．由已知，點(diǎn)P(－c，y)在橢圓上，代入橢圓方程，得P.∵AB∥OP，∴kAB＝kOP，即－＝－，則b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2，則＝，即該橢圓的離心率是. 答案：C 10．（xx福建，4分）橢圓Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y＝(x＋c)與橢圓Γ的一個(gè)交點(diǎn)M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于________． 解析：本題主要考查橢圓的定義、圖像和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化和化歸能力、運(yùn)算求解能力．直線y＝(x＋c)過(guò)點(diǎn)F1(－c,0)，且傾斜角為60，所以∠MF1F2＝60，從而∠MF2F1＝30，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝c，所以該橢圓的離心率e＝＝＝－1. 答案：－1 11.(xx安徽，13分)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A是橢圓C的頂點(diǎn)，B是直線AF2與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)，∠F1AF2＝60. (1)求橢圓C的離心率； (2)已知△AF1B的面積為40，求a，b的值． 解：(1)由題意可知，△AF1F2為等邊三角形，a＝2c，所以e＝. (2)法一：a2＝4c2，b2＝3c2， 直線AB的方程可為y＝－(x－c)． 將其代入橢圓方程3x2＋4y2＝12c2，得B(c，－c)． 所以|AB|＝|c－0|＝c. 由S△AF1B＝|AF1||AB|sin ∠F1AB＝ac＝a2＝40，解得a＝10，b＝5. 法二：設(shè)|AB|＝t. 因?yàn)閨AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a. 由橢圓定義|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t. 再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60可得， t＝a. 由S△AF1B＝aa＝a2＝40知， a＝10，b＝5. 12．（xx新課標(biāo)全國(guó)，5分）設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，P為直線x＝上一點(diǎn)，△F2PF1是底角為30的等腰三角形，則E的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：由題意可得|PF2|＝|F1F2|，所以2(a－c)＝2c，所以3a＝4c，所以e＝. 答案：C 13．（xx江西，5分）橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別是A，B，左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D.－2 解析：依題意得 |F1F2|2＝|AF1||F1B|，即4c2＝(a－c)(a＋c)＝a2－c2，整理得5c2＝a2，所以e＝＝. 答案：B 14．（2011浙江，5分）已知橢圓C1：＋＝1(a＞b＞0)與雙曲線C2：x2－＝1有公共的焦點(diǎn)，C2的一條漸近線與以C1的長(zhǎng)軸為直徑的圓相交于A，B兩點(diǎn)．若C1恰好將線段AB三等分，則(　　) A．a(chǎn)2＝　　　　　　　　　　　 B．a(chǎn)2＝13 C．b2＝ D．b2＝2 解析：對(duì)于直線與橢圓、圓的關(guān)系，如圖所示，設(shè)直線AB與橢圓C1的一個(gè)交點(diǎn)為C(靠近A的交點(diǎn))，則|OC|＝， 因tan∠COx＝2， ∴sin∠COx＝， cos∠COx＝， 則C的坐標(biāo)為(，)，代入橢圓方程得＋＝1，∴a2＝11b2.∵5＝a2－b2，∴b2＝. 答案：C 15．(2011陜西，12分)設(shè)橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)過(guò)點(diǎn)(0,4)，離心率為. (Ⅰ)求C的方程； (Ⅱ)求過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)． 解：(Ⅰ)將(0,4)代入C的方程得＝1，∴b＝4， 又e＝＝得＝， 即1－＝，∴a＝5， ∴C的方程為＋＝1. (Ⅱ)過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線方程為y＝(x－3)， 設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 將直線方程y＝(x－3)代入C的方程，得 ＋＝1， 即x2－3x－8＝0，解得 x1＝，x2＝， ∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)＝＝， ＝＝(x1＋x2－6)＝－， 即中點(diǎn)坐標(biāo)為(，－)． 注：用韋達(dá)定理正確求得結(jié)果，同樣給分． 16．（2011新課標(biāo)全國(guó)，5分）橢圓＋＝1的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：由＋＝1可得a2＝16，b2＝8，∴c2＝a2－b2＝8. ∴e2＝＝.∴e＝. 答案：D 17．（xx福建，5分）若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為(　　) A．2 B．3 C．6 D．8 解析：由橢圓＋＝1，可得點(diǎn)F(－1,0)，點(diǎn)O(0,0)，設(shè)P(x，y)，－2≤x≤2，則＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3(1－)＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時(shí)，取得最大值6. 答案：C