【高二數(shù)學(xué)】高二數(shù)學(xué)《正弦定理》說課稿(第1課時)（共6頁）

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1、正弦定理的說課稿（第1課時） 一、 教材分析 1、本節(jié)課的地位、作用和意義 本節(jié)課內(nèi)容選自普遍高中課程標準實驗教科書(北京師范大學(xué)出版社出版) 必修5 ，第2章第1節(jié)內(nèi)容。在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的邊和角的基本關(guān)系、全等三角形等與三角形有關(guān)的基礎(chǔ)知識；同時在必修4 ，學(xué)生也學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、向量三角恒等變換等內(nèi)容。這些為學(xué)生學(xué)習(xí)正弦定理提供了堅實的基礎(chǔ)。正弦定理是初中解直角三角形的延伸，是揭示三角形邊、角之間數(shù)量關(guān)系的重要公式，在物理學(xué)等其它學(xué)科、工業(yè)生產(chǎn)以及日常生活等常常涉及解三角形的問題。 2、課

2、時安排：2課時，其中第1課時為正弦定理的推導(dǎo)、正弦定理以及利用正弦定理來解已知兩角一邊的三角形等；第2課時為利用正弦定理來解已知兩邊以及其中一邊的對角的三角形和其它簡單應(yīng)用。 3、本節(jié)課的教學(xué)重點和難點 我通過解讀新課標和分析教材，認為： 重點：通過新課程標準的解讀，教材內(nèi)容的解析，我認為正弦定理的推導(dǎo)有利于培養(yǎng)的學(xué)生發(fā)散思維，學(xué)生能體驗數(shù)學(xué)的探索過程，能加深對數(shù)形結(jié)合解決數(shù)學(xué)問題的理解，所以正弦定理的證明是本節(jié)課的重點之一；同時，數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)最終是為了應(yīng)用，所以正弦定理以及正弦定理的應(yīng)用也是本節(jié)課的重點之一。 突出重點的方法：①用引導(dǎo)學(xué)生進行分類討論、類比法、分組討論法來突出正弦定

3、理的推導(dǎo)；②用講練結(jié)合，精選例題、練習(xí)和問題，歸納法來突出正弦定理的應(yīng)用。 難點：新定理的發(fā)現(xiàn)需要一定得創(chuàng)新意識和發(fā)散思維，這正是多數(shù)學(xué)生所缺乏的，但是社會需要的是創(chuàng)新人才，因此，正弦定理的猜想發(fā)現(xiàn)是本節(jié)課的難點。 突破難點的方法：轉(zhuǎn)化法（由特殊向一般轉(zhuǎn)化）、鼓勵和引導(dǎo)法。 二、教學(xué)目標分析 1、知識與技能目標 （1）能在2分鐘內(nèi)寫出正弦定理的符號表達式，準確率為97%； （2）能利用正弦定理來解決已知兩角一邊的三角形以及相關(guān)簡單的實際問題。 2、過程方法與能力目標 （1）通過正弦定理的推導(dǎo)，逐步培養(yǎng)合情推理、探索數(shù)學(xué)規(guī)律的思維能力； （2）在利用正弦定理來解已知兩角及一邊的

4、三角形的過程中，逐步培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識來解決社會實際問題的能力。 3、情感、態(tài)度、價值觀目標 （1）通過參與、思考、交流，體驗正弦定理的發(fā)現(xiàn)過程，逐步培養(yǎng)探索精神和創(chuàng)新意識。 （2）在運用正弦定理的過程，逐步培養(yǎng)實事求是、扎實嚴謹?shù)目茖W(xué)態(tài)度。 三、學(xué)情分析 學(xué)法：以討論法（師生對話、生生討論）為主，以發(fā)現(xiàn)法、類比法、接受法、練習(xí)法為輔。 理由：①學(xué)生的認知發(fā)展理論； ②高中生已有的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力； ③本節(jié)課的內(nèi)容特點； ④本班學(xué)生的實際情況 四、教法分析 教法：以引導(dǎo)—啟發(fā)法為主，以講授法、討論法以及多媒體演示法。 理由：①學(xué)生的學(xué)習(xí)方法；②我個人

5、的知識水平以及經(jīng)驗；③學(xué)校的條件 五、教學(xué)程序分析 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容以及問題設(shè)計 設(shè)計意圖 情 景 導(dǎo) 入 我會利用多媒體放映一 幢建筑物（圖1），并 提出如下問題： （1）如何用量角器量出測 量建筑物的高度h？ （2）如果建筑物前有小湖 等障礙物，又該如何測量其高度h？ 在學(xué)生進行思考、討論后， 根據(jù)同學(xué)的思路，我會引導(dǎo) 學(xué)生分別建立如圖1和圖2 的數(shù)學(xué)模型，利用初中的解 直角三角形知識求解。 最后引入這節(jié)課的問題： 這個實際問題說明了三 角形的邊與角有緊密的 聯(lián)系，這節(jié)課將研究表示 一般三角形的邊與角的等 量關(guān)系的定理——

6、正弦定理 通過生活中的知識引入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)需要和學(xué)習(xí)期待，以問題引起學(xué)生學(xué)習(xí)熱情和探索新知的欲望。 新課學(xué)習(xí) 新課學(xué)習(xí) 探索發(fā)現(xiàn) 猜想 B a C b c A 我請同學(xué)們思考：在直角 三角形中，各角的正弦怎么 表示？能找到等量關(guān)系嗎？ 因為：sinA=,sinB=, 所以c= = ，同時不難發(fā)現(xiàn)：= =c。于是：= = ① 說明：這個過程通過師生互動過程實現(xiàn)，我的角色是引

7、導(dǎo)、鼓勵學(xué)生積極思考，并表達其想法。 接著，我提出問題：這個結(jié)論對一般三角形成立嗎？如果成立，該如何證明？ 1、奧蘇伯爾認為，意義學(xué)習(xí)就是將符號所代表的新知識與學(xué)習(xí)者認知結(jié)構(gòu)中已有的適當觀念建立起非人為的和實質(zhì)的聯(lián)系。在此環(huán)節(jié)上，我突破難點（正弦定理的發(fā)現(xiàn)）的方法是利用學(xué)引導(dǎo)學(xué)生從熟悉的求直角三角形各角的正弦入手，鼓勵、引導(dǎo)學(xué)生積極主動地思考，創(chuàng)造意義學(xué)習(xí)的條件。 2、對正弦定理的發(fā)現(xiàn)采用的是由特殊到一般地思想方法。 探索正弦定理的證明 首先，我引導(dǎo)學(xué)生認清“一般三角形”的含義，包括直角三角形、銳角三角形和鈍角三

8、角形。其次，把全班分組八個組（平時上課時候，已經(jīng)分好組，各組差異不大），教室左邊四個組探究銳角三角形，另四個組探究鈍角三角形，引導(dǎo)學(xué)生討論探究：①式對于銳角、鈍角三角形是否成立？如成立，怎么證明？ 學(xué)生活動：分組討論探究，我走動觀察，收集信息，對有困難的學(xué)生進行啟發(fā)，對證明有進展的進行全班表揚，鼓勵其繼續(xù)努力。 教師講授：首先，我放映利用《幾何畫板》制作的多媒體動畫，畫面將顯示：不管三角形的邊、角如何變化， 比值：，，的值都會相等。 正弦定理的證明方法有：作高法、面積法、外接圓法以及向量法等，我將根據(jù)學(xué)生探究的實際情況利用多媒體顯示這四種方法的一種或兩種，其中向量法證明鈍角三角形

9、的正弦定理書寫過程如下： 如下圖，以A為原點，以射線AB的方向為x軸正方向建立直角坐標系，C點在y軸上的射影為c1。 因為，向量與在y軸 上的射影均為，即 =cos（A－）=bsinA, =sinB=asinB， 所以 bsinA= asinB 即 同理， 所以 若A為銳角或直角，也可以得到同樣的結(jié)論。 于是，我們得到了這樣的定理： 在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。即 1、該環(huán)節(jié)在我的引導(dǎo)下，學(xué)生分組討論，合作交流，進行“再創(chuàng)造”，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)新課標所倡導(dǎo)的積極主動，勇于探索的學(xué)習(xí)

10、方式的課程理念。 2、正弦定理的證明即是重點，這里，我采用多媒體技術(shù)來突出重點，直觀且效率高，與數(shù)學(xué)新課標注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合的理念相符。 3、對我的教學(xué)行為分析。 新課程不僅要求教師的理念要更新，而且要求教師的角色也作相應(yīng)的變化，在這里，我的角色是學(xué)生學(xué)習(xí)的促進者、幫助者和引導(dǎo)者。 應(yīng)用舉例 例1 某地出土一塊類似三角形 刀狀的古代玉佩（如圖4）， 其中一角已經(jīng)破損?，F(xiàn)測得 如下數(shù)據(jù)：BC=2.67cm，CE=3.57cm， BD=4.38cm，B=, C=。為了復(fù)原，請計算原玉佩兩邊的

11、長（結(jié)果精確到0.001cm）。 解 如圖5，將BD,CE分別相交 于一點A，在中， A=180(B+C)= ∴, ∵≈7.02（cm） 同理， AB≈8.60（cm） 小結(jié)1（用方程的思想來解釋）： 已知兩角及任一邊，利用正弦定理可求另兩邊及一個角（有唯一解）。 例2在△ABC中，一定成立的等式是（ ） A．a(chǎn)sinA=bsinB B．a(chǎn)cosA=bcosB C．a(chǎn)sinB=bsinA D．a(chǎn)cosB=bcosA 小結(jié)2 如果等式兩邊是邊（或者角的正弦）的齊次式，那么就可以利用正弦定理，將邊（或正弦）的齊次式換成對應(yīng)正

12、弦（或邊）的齊次式。 設(shè)計此環(huán)節(jié)目的有三，其一是進一步深化學(xué)生對定理本質(zhì)的理解，突出重點（正弦定理的應(yīng)用）；其二，從例1的小結(jié)中，學(xué)生可以體會方程的思想來思考、解決問題；其三，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成及時進行歸納的意識，提高其總結(jié)能力。 練習(xí)反饋 在△ABC中，已知下列條件，解三角形 1、A=45,C=120,c=10cm 2、A=60,B=45,c=20cm 注：請兩個同學(xué)到黑板上進行解答并進行簡單講解 通過動手練習(xí)來鞏固、加深學(xué)生正弦定理的理解，培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達能力。 課堂小結(jié) 1、利用多媒體顯示正弦定理：（適用一般三角形

13、） 2、正弦定理可解以下兩種類型的三角形： （1）已知兩角以及任何一邊； （2）下節(jié)課學(xué)習(xí) 3、正弦定理的其他應(yīng)用 如果等式兩邊是邊（或者角的正弦）的齊次式，那么就可以利用正弦定理，將邊（或正弦）的齊次式換成對應(yīng)正弦（或邊）的齊次式 通過師生的互動對話，再現(xiàn)本節(jié)課的主要內(nèi)容和思想方法，再次加深學(xué)生對對正弦定理的認識 作業(yè)布置 1．閱讀作業(yè):預(yù)習(xí) 2．課后作業(yè): ，2，7 3．彈性作業(yè): 在中，已知，，，解三角形。 作業(yè)分為三種形式，體現(xiàn)作業(yè)的鞏固性和發(fā)展性原則，同時考慮學(xué)生的差異性。閱讀作業(yè)是后續(xù)課堂的鋪墊，而彈性作業(yè)不做統(tǒng)一要求，供

14、學(xué)有余力的學(xué)生課后研究。 板書設(shè)計 1正弦定理 正弦定理的證明（向量法） 1.正弦定理 2.正弦定理可解以下兩種類型的三角形： （1）已知兩角以及任何一邊； 3.正弦定理的其他應(yīng)用 正弦定理的證明（向量法） 例1 （題目） 解答：（板書） 空白區(qū)，可以隨意書寫，擦除 學(xué)生解答1 例2 （題目） 學(xué)生的解答2 設(shè)計意圖：我的板書設(shè)計的指導(dǎo)原則：簡明直觀，重點突出。本節(jié)課的板書教學(xué)重點放在黑板的正中間，為了能加深學(xué)生對正弦定理以及其應(yīng)用的認識，把例題放在中間，以期全班同學(xué)都能看得到。 高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽幾何定理 梅涅勞斯定

15、理 一直線截△ABC的三邊BC,CA,AB或其延長線于D,E,F則。 逆定理：一直線截△ABC的三邊BC,CA,AB或其延長線于D,E,F若，則D,E,F三點共線。 塞瓦定理 在△ABC內(nèi)任取一點O,直線AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則 =1。 逆定理：在△ABC的邊BC，CA，AB上分別取點D，E，F(xiàn)，如果=1，那么直線AD，BE，CF相交于同一點。 托勒密定理 ABCD為任意一個圓內(nèi)接四邊形，則。 逆定理：若四邊形ABCD滿足，則A、B、C、D四點共圓 西姆松定理 過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。

16、西姆松定理的逆定理為：若一點在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點在此三角形的外接圓上。 相關(guān)的結(jié)果有： 　　 （1）稱三角形的垂心為H。西姆松線和PH的交點為線段PH的中點，且這點在九點圓上。 　?。?）兩點的西姆松線的交角等于該兩點的圓周角。 　　 (3）若兩個三角形的外接圓相同，這外接圓上的一點P對應(yīng)兩者的西姆松線的交角，跟P的位置無關(guān)。 　　 （4）從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。 斯特瓦爾特定理 設(shè)已知△ABC及其底邊上B、C兩點間的一點D，則有AB2DC+AC2BD-AD2BC＝BCDCBD。 三角形旁心 1、旁

17、切圓的圓心叫做三角形的旁心。 　　 2、與三角形的一邊及其他兩邊的延長線都相切的圓叫做三角形的旁切圓。 費馬點 在一個三角形中，到3個頂點距離之和最小的點叫做這個三角形的費馬點。 　　 (1) 若三角形ABC的3個內(nèi)角均小于120，那么3條距離連線正好平分費馬點所在的周角。所以三角形的費馬點也稱為三角形的等角中心。 　　 (2) 若三角形有一內(nèi)角不小于120度，則此鈍角的頂點就是距離和最小的點。 判定（1）對于任意三角形△ABC，若三角形內(nèi)或三角形上某一點E,若EA+EB+EC有最小值,則E為費馬點。費馬點的計算　　 （2）如果三角形有一個內(nèi)角大于或等于120，這個內(nèi)角的頂點

18、就是費馬點；如果3個內(nèi)角均小于120，則在三角形內(nèi)部對3邊張角均為120的點，是三角形的費馬點。 九點圓：三角形三邊的中點,三高的垂足和三個歐拉點（連結(jié)三角形各頂點與垂心所得三線段的中點）九點共圓。通常稱這個圓為九點圓（nine-point circle）， 歐拉線：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心，依次位于同一直線上，這條直線就叫三角形的歐拉線。 幾何不等式 1托勒密不等式:任意凸四邊形ABCD，必有ACBD≤ABCD+ADBC，當且僅當ABCD四點共圓時取等號。 2埃爾多斯—莫德爾不等式:設(shè)P是ΔABC內(nèi)任意一點，P到ΔABC三邊BC,CA,AB的距離分別為PD=p,PE=q

19、,PF=r，記PA=x,PB=y,PC=z。則 x+y+z≥2(p+q+r) 3外森比克不等式:設(shè)△ABC的三邊長為a、b、c,面積為S,則a2+b2+c2≥4 4歐拉不等式:設(shè)△ABC外接圓與內(nèi)切圓的半徑分別為R、r，則R≥2r,當且僅當△ABC為正三角形時取等號。 圓冪 假設(shè)平面上有一點P，有一圓O，其半徑為R，則OP^2-R^2即為P點到圓O的冪； 　　可見圓外的點對圓的冪為正，圓內(nèi)為負，圓上為0； 根軸 1在平面上任給兩不同心的圓，則對兩圓圓冪相等的點的集合是一條直線，這條線稱為這兩個圓的根軸。 　　 2另一角度也可以稱兩不同心圓的等冪點的軌跡為根軸。 相關(guān)定理 1，平面上任意兩圓的根軸垂直于它們的連心線； 　　 2，若兩圓相交，則兩圓的根軸為公共弦所在的直線； 　　 3，若兩圓相切，則兩圓的根軸為它們的內(nèi)公切線； 　　 4，蒙日定理（根心定理）：平面上任意三個圓心不共線的圓，它們兩兩的根軸或者互相平行，或者交于一點，這一點叫做它們的根心；