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1、2.4 等比數(shù)列等比數(shù)列 課前小練課前小練數(shù)數(shù) 列列等等 差差 數(shù)數(shù) 列列定定 義義同一常數(shù)同一常數(shù)通項公式通項公式性質(zhì)性質(zhì) an+1-an=dd 叫公差叫公差 an= a1+(n-1)d an=am+(n-m)d課本P48的4個例子：觀察：請同學(xué)們仔細(xì)觀察一下，看看以上、四個數(shù)列有什么共同特征？ 觀察 一般地，如果一個數(shù)列從一般地，如果一個數(shù)列從第第2項起項起，每一，每一項與它前一項的項與它前一項的比等于同一個常數(shù)比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列，這個數(shù)列就叫做就叫做等比數(shù)列等比數(shù)列。這個這個常數(shù)常數(shù)叫做等比數(shù)列的叫做等比數(shù)列的公公比比，公比通常用，公比通常用字母字母q表示。表示。) 2(1nqa
2、ann或)(*1Nnqaann其數(shù)學(xué)表達(dá)式：其數(shù)學(xué)表達(dá)式：( (q0) )思考：思考：一、等比數(shù)列的概念一、等比數(shù)列的概念能否改寫為若數(shù)列的項依次滿足 na)(*Nn為常數(shù)）q(則數(shù)列 是等比數(shù)列嗎？qaann11.已知等比數(shù)列已知等比數(shù)列 an ：(1) an 能不能是零？能不能是零？(2)公比公比q能不能是能不能是1？2.用下列方法表示的數(shù)列中能確定用下列方法表示的數(shù)列中能確定 是等比數(shù)列的是是等比數(shù)列的是 . 1，-1，1，(-1)n+1 ； 1，2，4，6； a，a，a，a； 已知已知a1=2，an=3an+1 ； 2a，2a，2a，2a.3.什么樣的數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列？什么
3、樣的數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列？不能不能能能非零的非零的 常數(shù)列常數(shù)列 思考：思考：23,2 ,4,8,.mmmm二.等比數(shù)列的通項公式 問題：如何用和表示第項.1aqnna歸納猜想法113134212312,nnqaaqaqaaqaqaaqaa疊乘法,12qaa,23qaa,34qaa,21qaannqaann1這個式子相乘得，所以.1n11nnqaa11nnqaa例3: 一個等比數(shù)列的第3項與第4項分別是12與18，求它的第1項與第2項.把代入 ，得把的兩邊分別除以的兩邊，得解：設(shè)這個等比數(shù)列的第1項是 ，公比是 ，那么1aq1221qa1831qa23q3161a因此82331612
4、qaa答：這個數(shù)列的第1項與第2項分別是 與 .3168作差（等差）作差（等差） 作商（等比）作商（等比）4(1)27,3,;naqa 求341(2)12,18,.aaa求練習(xí)練習(xí)1.在等比數(shù)列在等比數(shù)列 中中, na練習(xí)2：P53A組第一題1111nnmmaa qaa q解：由等比數(shù)列的通項公式可知n mqnma兩式相除，得an mnmaa qn-1n1a =a qn mnmaa q試比較與等比數(shù)列通項公式的變形等比數(shù)列通項公式的變形已知等比數(shù)列的公比為已知等比數(shù)列的公比為q,第第m項為項為 ,求求 .mana已知等比數(shù)列已知等比數(shù)列an中，中，a5=20,a15=5,求求a20.解：由解：
5、由a15=a5q10，得，得4120551510aaq215q25252152051520aqaa或練習(xí)練習(xí)解：由等比數(shù)列的解：由等比數(shù)列的通項公式的特點可通項公式的特點可得：得：q=10,aq=10,a1 1=-30=-30解：解：n=1 an=1 a1 1=2=21 1=2=2 n=2 a n=2 a2 2=2=22 2=4=4可得：可得：q=2q=2nAn+Ba （等差）（等差）nABna （等比）（等比）例：例：由下列等比數(shù)列的通項公式，求首項與公比由下列等比數(shù)列的通項公式，求首項與公比（1）an=2n (2) an= 310n 思考思考: :你能判斷它們的增減性嗎你能判斷它們的增減性
6、嗎? ?公比q對數(shù)列的影響q1 0q1 q=1q0遞增遞增遞減遞減常數(shù)列常數(shù)列擺動數(shù)列擺動數(shù)列a10遞減遞減遞增遞增常數(shù)列常數(shù)列擺動數(shù)列擺動數(shù)列五五.小結(jié)小結(jié)數(shù)列數(shù)列等差數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列等比數(shù)列定義定義同一常數(shù)同一常數(shù)通項公式通項公式性質(zhì)性質(zhì) an+1-an=dd 叫公差叫公差 an= a1+(n-1)d an=am+(n-m)d你還知道你還知道等差數(shù)列等差數(shù)列有什么性質(zhì)嗎有什么性質(zhì)嗎?你能類比寫出你能類比寫出等比數(shù)列等比數(shù)列的性質(zhì)嗎的性質(zhì)嗎?) 0, 0(1nnnaqqaaq叫公比叫公比 an=a1qn-1 an=amqn-m三.等比中項 觀察如下的兩個數(shù)之間，插入一個什么數(shù)后者三個數(shù)就
7、會成觀察如下的兩個數(shù)之間，插入一個什么數(shù)后者三個數(shù)就會成為一個等比數(shù)列：為一個等比數(shù)列：（1）1， ， 9 （2）-1， ，-4（3）-12， ，-3 （4）1， ，13261 在在a與與b中間插入一個數(shù)中間插入一個數(shù)G，使，使a，G，b成等比數(shù)列，那成等比數(shù)列，那么么G叫做叫做a與與b的的等比中項。等比中項。abGabG2即(1)6(2)13 .,qpnmnaaaaqpnmNqpnma則若，為等差數(shù)列，且設(shè)數(shù)列.2,2pnmaaapnm則若等比數(shù)列中有類似性質(zhì)嗎？等比數(shù)列中有類似性質(zhì)嗎？想一想想一想探究一探究一在等比數(shù)列在等比數(shù)列an中，中，a2.a6=a3.a5是否成是否成立？立？ a32
8、=a1.a5是否成立是否成立? 你能得到更一般的結(jié)論嗎？你能得到更一般的結(jié)論嗎？2211111,nmmnmmnnqaaaqaaqaa從而則221tstsqaaa同理可得.tsnmaaaatsnm所以又因為證明證明要積極要積極思考哦思考哦 qaan公比為首項為設(shè)等比數(shù)列,1且且 m , n , s , t N+ ,若若m+n=s+t思考am,an,as ,at有什么關(guān)系有什么關(guān)系.,22snmaaasnm則若若等比數(shù)列若等比數(shù)列an的首項為的首項為a1 ，公比，公比q，且，且且且 m , n , s , t N+ 若m+n=s+t ,則aman=asat性質(zhì)：2、在等比數(shù)列、在等比數(shù)列an中，中
9、，an0, a2a4+2a3a5+a4a6=36, 那么那么a3+a5=_1. 等比數(shù)列等比數(shù)列an中，中，a4=4,則則a2a6等于等于 （ ） A.4 B.8 C.16 D.32探究二探究二已知等比數(shù)列已知等比數(shù)列an首項首項a1, 公比公比q，取出數(shù)列中的所有，取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項，構(gòu)成新的數(shù)列，是否還是等比數(shù)列？奇數(shù)項，構(gòu)成新的數(shù)列，是否還是等比數(shù)列？取出取出a1 , a4 , a7 , a11 呢？呢？性質(zhì)：在等比數(shù)列中，把序號成等差數(shù)列的項按性質(zhì)：在等比數(shù)列中，把序號成等差數(shù)列的項按 原序列出，構(gòu)成新的數(shù)列，仍是等比數(shù)列原序列出，構(gòu)成新的數(shù)列，仍是等比數(shù)列你能得到一般性結(jié)論嗎？你能得到一般性結(jié)論嗎？1、在等比數(shù)列中、在等比數(shù)列中a7=6，a10=9，那么那么a4=_.等差數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列等比數(shù)列性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)性質(zhì)2性質(zhì)性質(zhì)3an=am+(n-m)dnmmqa na 若若n+m=p+q則則am+an=ap+aq若若n+m=s+t則則anam=asat,am,am+k,am+2k,成等差成等差 數(shù)列數(shù)列am,am+k,am+2k,成等比數(shù)列成等比數(shù)列當(dāng)堂檢測._,33 , 22 ,. 5xxxx則構(gòu)成等比數(shù)列若 ._,2,16,. 66510213nnaaaaaa則為等比數(shù)列
等比數(shù)列的通項公式及性質(zhì)
