內蒙古呼和浩特市2017屆九年級上期中數學試卷含答案解析.doc

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2016-2017學年內蒙古呼和浩特市九年級（上）期中數學試卷 　 一、填空題（每題3分，共30分） 1．下列方程中，關于x的一元二次方程有（　?。?①x2=0； ②ax2+bx+c=0； ③x2﹣3=x； ④a2+a﹣x=0； ⑤（m﹣1）x2+4x+=0； ⑥+=；⑦=2； ⑧（x+1）2=x2﹣9． A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 2．關于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一個根為0，則a的值為（　?。? A．1或﹣1 B．﹣1 C．1 D．0 3．下列方程中，有兩個不相等的實數根的是（　?。? A．x2+x+1=0 B．x2﹣x﹣1=0 C．x2﹣6x+9=0 D．x2﹣2x+3=0 4．已知二次函數y=x2﹣4x+5的頂點坐標為（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1） 5．已知拋物線y=﹣x2+2x+3的頂點為P，與x軸的兩個交點為A，B，那么△ABP的面積等于（　　） A．16 B．8 C．6 D．4 6．如果拋物線y=﹣x2+bx+c經過A（0，﹣2），B（﹣1，1）兩點，那么此拋物線經過（　　） A．第一、二、三、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 7．2008年爆發(fā)的世界金融危機，是自上世紀三十年代以來世界最嚴重的一場金融危機．受金融危機的影響，某商品原價為200元，連續(xù)兩次降價a%后售價為148元，下面所列方程正確的是（　?。? A．200（1+a%）2=148 B．200（1﹣a%）2=148 C．200（1﹣2a%）=148 D．200（1﹣a2%）=148 8．已知拋物線y=x2+2x上三點A（﹣5，y1），B（1，y2），C（12，y3），則y1，y2，y3滿足的關系式為（　?。? A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2 9．拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=2x2+x﹣3關于x軸對稱，則此拋物線的解析式為（　?。? A．y=﹣2x2﹣x+3 B．y=﹣2x2+x+3 C．y=2x2﹣x+3 D．y=﹣2x2+x﹣3 10．二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結論：①abc＜0，②b＜a+c，③4a+2b+c＞0，④2c＜3b，⑤a+b＜m（am+b）（m≠1）中正確的是（　?。? A．②④⑤ B．①②④ C．①③④ D．①③④⑤ 　 二、填空題（每題3分，共18分） 11．關于x的方程mx2﹣2x+1=0有實數解，則m需滿足　　． 12．若x1，x2是方程x2﹣4x+2=0的兩根，則+的值為　?。? 13．根據下列表中的對應值： x 2.1 2.2 2.3 2.4 ax2+bx+c ﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56 判斷方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）的一個解的取值范圍為　?。? 14．將二次函數y=x2﹣2的圖象向左平移2個單位，再向上平移1個單位，所得拋物線的解析式為　?。? 15．如圖所示，已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過兩點（﹣1，0）和（0，﹣1），則化簡代數式+=　　． 16．已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點（﹣2，0），（x1，0），且1＜x1＜2，與y軸的正半軸的交點在（0，2）的下方．下列結論：①4a﹣2b+c=0；②a＜b＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＜0．其中正確結論有　　．（填序號） 　 三、解答題（共72分） 17．解下列方程 （1）x2﹣4x﹣3=0； （2）3x（x﹣1）=2（x﹣1）； （3）y4﹣3y2﹣4=0． 18．已知關于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1=0； （1）求證：不論m 任何實數，方程總有兩個不相等的實數根； （2）若方程的兩根為x1、x2且滿足，求m的值． 19．如圖，要利用一面墻（墻長為25米）建羊圈，用100米的圍欄圍成總面積為400平方米的三個大小相同的矩形羊圈，求羊圈的邊長AB，BC各為多少米？ 20．已知拋物線的解析式為y=x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m． （1）請說明此拋物線與x軸的交點情況； （2）若此拋物線與直線y=x﹣3m+4的一個交點在y軸上，求m的值． 21．閱讀理解題：我們知道一元二次方程是轉化為一元一次方程來解的，例如：解方程x2﹣2x=0，通過因式分解將方程化為x（x﹣1）=0，從而得到x=0或x﹣2兩個一元一次方程，通過解這兩個一元一次方程，求得原方程的解． （1）利用上述方法解一元二次不等式：2x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＜0； （2）利用函數的觀點解一元二次不等式x2+6x+5＞0． 22．某公司投資建了一商場，共有商鋪30間，據預測，當每間租金定為10萬元，可全部租出，每間的年租金每增加5000元，少租出商鋪1間，該公司要為租出的商鋪每間每年交各種費用1萬元，未租出的商鋪每間每年交各種費用5000元． （1）當每間商鋪的年租金為l3萬元時，能租出多少間？ （2）若從減少空鋪的角度來看，當每間商鋪的年租金為多少萬元時，該公司的年收益為275萬元？ 23．如圖，小河上有一拱橋，拱橋及河道的截面輪廓線由拋物線的一部分ACB和矩形的三邊AE，ED，DB組成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，拋物線的頂點C到ED的距離是11米，以ED所在的直線為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建立平面直角坐標系． （1）求拋物線的解析式； （2）已知從某時刻開始的40小時內，水面與河底ED的距離h（單位：米）隨時間t（單位：時）的變化滿足函數關系h=﹣（t﹣19）2+8（0≤t≤40），且當水面到頂點C的距離不大于5米時，需禁止船只通行，請通過計算說明：在這一時段內，需多少小時禁止船只通行？ 24．已知，如圖拋物線y=ax2+3ax+c（a＞0）與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點，點A在點B左側．點B的坐標為（1，0），OC=3OB． （1）求拋物線的解析式； （2）若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值； （3）若點E在x軸上，點P在拋物線上．是否存在以A，C，E，P為頂點且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由． 　  2016-2017學年內蒙古呼和浩特市九年級（上）期中數學試卷 參考答案與試題解析 　 一、填空題（每題3分，共30分） 1．下列方程中，關于x的一元二次方程有（　?。?①x2=0； ②ax2+bx+c=0； ③x2﹣3=x； ④a2+a﹣x=0； ⑤（m﹣1）x2+4x+=0； ⑥+=；⑦=2； ⑧（x+1）2=x2﹣9． A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 【考點】一元二次方程的定義． 【分析】根據一元二次方程的定義：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程進行分析即可． 【解答】解：①x2=0；③x2﹣3=x是關于x的一元二次方程，共2個， 故選：A． 　 2．關于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一個根為0，則a的值為（　?。? A．1或﹣1 B．﹣1 C．1 D．0 【考點】一元二次方程的解；一元二次方程的定義． 【分析】根據一元二次方程和一元二次方程的解得出a﹣1≠0，a2﹣1=0，求出a的值即可． 【解答】解：把x=0代入方程得：a2﹣1=0， 解得：a=1， ∵（a﹣1）x2+ax+a2﹣1=0是關于x的一元二次方程， ∴a﹣1≠0， 即a≠1， ∴a的值是﹣1， 故選：B． 　 3．下列方程中，有兩個不相等的實數根的是（　?。? A．x2+x+1=0 B．x2﹣x﹣1=0 C．x2﹣6x+9=0 D．x2﹣2x+3=0 【考點】根的判別式． 【分析】分別計算出四個方程的根的判別式，然后根據判別式的意義判斷根的情況． 【解答】解：A、△=12﹣411=﹣3＜0，則方程沒有實數根，故本選項錯誤； B、△=（﹣1）2﹣41（﹣1）=5＞0，則方程有兩個不相等的實數根，故本選項正確； C、△=（﹣6）2﹣419=0，則方程有兩個相等的實數根，故本選項錯誤； D、△=（﹣2）2﹣413=﹣8＜0，則方程沒有實數根，故本選項錯誤． 故選：B． 　 4．已知二次函數y=x2﹣4x+5的頂點坐標為（　?。? A．（﹣2，﹣1） B．（2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1） 【考點】二次函數的性質． 【分析】把二次函數解析式配方轉化為頂點式解析式，即可得到頂點坐標． 【解答】解：y=x2﹣4x+5， =x2﹣4x+4+1， =（x﹣2）2+1， 所以，頂點坐標為（2，1）． 故選B． 　 5．已知拋物線y=﹣x2+2x+3的頂點為P，與x軸的兩個交點為A，B，那么△ABP的面積等于（　?。? A．16 B．8 C．6 D．4 【考點】拋物線與x軸的交點． 【分析】用配方法將拋物線的一般式轉化為頂點式，直接頂點坐標進而求出圖象與x軸交點坐標，即可求出三角形面積． 【解答】解：∵y=﹣x2+2x+3， ∴y=﹣（x﹣1）2+4， 頂點坐標為（1，4） 0=﹣（x﹣1）2+4， ∴x1=﹣1，x2=3， 與x軸的兩個交點為A，B（3，0），（﹣1，0）， ∴AB=4， P到AB的距離為：4， ∴S△ABP=44=8， 故選：B． 　 6．如果拋物線y=﹣x2+bx+c經過A（0，﹣2），B（﹣1，1）兩點，那么此拋物線經過（　　） A．第一、二、三、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【考點】待定系數法求二次函數解析式；二次函數的性質． 【分析】利用待定系數法求得該拋物線的解析式，然后根據解析式求得該拋物線與y軸的交點坐標、頂點坐標，從而推知該拋物線所經過的象限． 【解答】解：∵拋物線y=﹣x2+bx+c經過A（0，﹣2），B（﹣1，1）兩點， ∴， 解得，； ∴該拋物線的解析式是：y=﹣x2﹣4x﹣2=﹣（x+2）2﹣2， ∴該拋物線的開口向下，頂點坐標是（﹣2，2），與y軸的交點是（0，﹣2）， ∴該拋物線經過第二、三、四象限． 故選D． 　 7．2008年爆發(fā)的世界金融危機，是自上世紀三十年代以來世界最嚴重的一場金融危機．受金融危機的影響，某商品原價為200元，連續(xù)兩次降價a%后售價為148元，下面所列方程正確的是（　　） A．200（1+a%）2=148 B．200（1﹣a%）2=148 C．200（1﹣2a%）=148 D．200（1﹣a2%）=148 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【分析】本題可先用a表示第一次降價后商品的售價，再根據題意表示第二次降價后的售價，然后根據已知條件得到關于a的方程． 【解答】解：當商品第一次降價a%時，其售價為200﹣200a%=200（1﹣a%）． 當商品第二次降價a%后，其售價為200（1﹣a%）﹣200（1﹣a%）a%=200（1﹣a%）2． ∴200（1﹣a%）2=148． 故選B． 　 8．已知拋物線y=x2+2x上三點A（﹣5，y1），B（1，y2），C（12，y3），則y1，y2，y3滿足的關系式為（　?。? A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2 【考點】二次函數的性質． 【分析】首先求出拋物線y=x2+2x的對稱軸，然后根據A、B、C的橫坐標與對稱軸的位置，接著利用拋物線的增減性質即可求解． 【解答】解：∵拋物線y=x2+2x， ∴x=﹣1， 而A（﹣5，y1），B（1，y2），C（12，y3）， ∴B離對稱軸最近，A次之，C最遠， ∴y2＜y1＜y3． 故選C． 　 9．拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=2x2+x﹣3關于x軸對稱，則此拋物線的解析式為（　?。? A．y=﹣2x2﹣x+3 B．y=﹣2x2+x+3 C．y=2x2﹣x+3 D．y=﹣2x2+x﹣3 【考點】二次函數圖象與幾何變換． 【分析】拋物線y=2x2+x﹣3=2（x+）2﹣的頂點坐標為（﹣，），則它關于x軸對稱的頂點坐標是（，），由此求得拋物線y=ax2+bx+c的解析式． 【解答】解：∵拋物線y=2x2+x﹣3=2（x+）2﹣的頂點坐標為（﹣，）， ∴它關于x軸對稱的頂點坐標是（，）， ∴此拋物線的解析式為y=2（x﹣）2﹣=﹣2x2﹣x+3． 故選：A． 　 10．二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結論：①abc＜0，②b＜a+c，③4a+2b+c＞0，④2c＜3b，⑤a+b＜m（am+b）（m≠1）中正確的是（　　） A．②④⑤ B．①②④ C．①③④ D．①③④⑤ 【考點】二次函數圖象與系數的關系． 【分析】由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷． 【解答】解：①由圖象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故此選項正確； ②當x=﹣1時，y=a﹣b+c＜0，即b＞a+c，錯誤； ③由對稱知，當x=2時，函數值大于0，即y=4a+2b+c＞0，故此選項正確； ④當x=3時函數值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=﹣=1， 即a=﹣b，代入得9（﹣b）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此選項正確； ⑤當x=1時，y的值最大．此時，y=a+b+c， 而當x=m時，y=am2+bm+c， 所以a+b+c＞am2+bm+c， 故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此選項錯誤． 故①③④正確． 故選C． 　 二、填空題（每題3分，共18分） 11．關于x的方程mx2﹣2x+1=0有實數解，則m需滿足　m≤1?。? 【考點】根的判別式． 【分析】根據方程有實數根結合根的判別式即可得出關于m的一元一次不等式，解不等式即可得出結論． 【解答】解：∵方程mx2﹣2x+1=0有實數解， ∴△=（﹣2）2﹣4m=4﹣4m≥0， 解得：m≤1． 故答案為：m≤1． 　 12．若x1，x2是方程x2﹣4x+2=0的兩根，則+的值為　6?。? 【考點】根與系數的關系． 【分析】根據根與系數的關系可得出x1+x2=4、x1?x2=2，將+變形為，代入數據即可得出結論． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x+2=0的兩根， ∴x1+x2=4，x1?x2=2， ∴+====6． 故答案為：6． 　 13．根據下列表中的對應值： x 2.1 2.2 2.3 2.4 ax2+bx+c ﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56 判斷方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）的一個解的取值范圍為　2.3＜x＜2.4　． 【考點】圖象法求一元二次方程的近似根． 【分析】根據函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點就是方程ax2+bx+c=0的根，再根據函數的增減性即可判斷方程ax2+bx+c=0一個解的范圍． 【解答】解：函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的橫坐標就是方程ax2+bx+c=0的根， 函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點的縱坐標為0； 由表中數據可知：y=0在y=﹣0.11與y=0.56之間， 對應的x的值在2.3與2.4之間，即2.3＜x＜2.4． 故答案為2.3＜x＜2.4． 　 14．將二次函數y=x2﹣2的圖象向左平移2個單位，再向上平移1個單位，所得拋物線的解析式為　y=x2+4x+3　． 【考點】二次函數圖象與幾何變換． 【分析】直接根據“上加下減、左加右減”的原則進行解答即可． 【解答】解：由“左加右減”的原則可知，二次函數y=x2﹣2的圖象向左平移2個單位得到y(tǒng)=（x+2）2﹣2， 由“上加下減”的原則可知，將二次函數y=（x+2）2﹣2的圖象向上平移1個單位可得到函數y=（x+2）2﹣2+1， 即y=x2+4x+3． 故答案為：y=x2+4x+3． 　 15．如圖所示，已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過兩點（﹣1，0）和（0，﹣1），則化簡代數式+=　?。? 【考點】二次函數圖象上點的坐標特征． 【分析】把已知點的坐標代入可求得a=b+1，再由對稱軸在y軸的右側可求得b＜0，則可求得0＜a＜1，則可比較a和的大小關系，化簡可求得答案． 【解答】解： ∵y=ax2+bx+c的圖象經過兩點（﹣1，0）和（0，﹣1）， ∴，整理可得a=b+1， ∵對稱軸在y軸的右側，拋物線開口向上， ∴﹣＞0，且a＞0， ∴b＜0， ∴0＜a＜1， ∴a＜， ∴+=+=﹣a+a+=， 故答案為：． 　 16．已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點（﹣2，0），（x1，0），且1＜x1＜2，與y軸的正半軸的交點在（0，2）的下方．下列結論：①4a﹣2b+c=0；②a＜b＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＜0．其中正確結論有?、佗冖邸。ㄌ钚蛱枺? 【考點】二次函數圖象與系數的關系． 【分析】采用形數結合的方法解題，根據拋物線的開口方向，對稱軸的位置判斷a、b、c的符號，把兩根關系與拋物線與x的交點情況結合起來分析問題． 【解答】解：①由二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點（﹣2，0）， 4a﹣2b+c=0，故①正確； ②因為圖象與x軸兩交點為（﹣2，0），（x1，0），且1＜x1＜2， 對稱軸x==﹣， 則對稱軸﹣＜﹣＜0，且a＜0， ∴a＜b＜0， 由拋物線與y軸的正半軸的交點在（0，2）的下方，得c＞0，即a＜b＜c，故②正確； ③設x2=﹣2，則x1x2=，而1＜x1＜2， ∴﹣4＜x1x2＜﹣2，∴﹣4＜＜﹣2， ∴2a+c＞0，4a+c＜0，故③正確； ④c＜2，4a﹣2b+c=0， 4a﹣2b+2＞0，2a﹣b+1＞0，故④錯誤； 故答案為：①②③． 　 三、解答題（共72分） 17．解下列方程 （1）x2﹣4x﹣3=0； （2）3x（x﹣1）=2（x﹣1）； （3）y4﹣3y2﹣4=0． 【考點】換元法解一元二次方程；解一元二次方程-因式分解法． 【分析】（1）用配方法解一元二次方程即可； （2）先移項，再提公因式即可； （3）把y2看作整體，再用因式分解法求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣4x=3， x2﹣4x+4=7， （x﹣2）2=7， x﹣2=， x=+2， x1=+2，x2=﹣+2； （2）3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0， （x﹣1）（3x﹣2）=0； x﹣1=0或3x﹣2=0， x1=1，x2=； （3）（y2﹣4）（y2+1）=0， y2﹣4=0，y2+1=0， y2=4或y2=﹣1（舍去）， ∴y1=2，y2=﹣2． 　 18．已知關于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1=0； （1）求證：不論m 任何實數，方程總有兩個不相等的實數根； （2）若方程的兩根為x1、x2且滿足，求m的值． 【考點】根的判別式；根與系數的關系． 【分析】（1）要證明方程總有兩個不相等的實數根，那么只要證明△＞0即可． （2）因為==﹣，所以由根與系數的關系可得=﹣，解方程可得m的值． 【解答】解：（1）證明：△=（4m+1）2﹣4（2m﹣1） =16m2+8m+1﹣8m+4=16m2+5＞0， ∴不論m為任何實數，方程總有兩個不相等的實數根． （2）∵，即=﹣， ∴由根與系數的關系可得=﹣， 解得 m=﹣， 經檢驗得出m=﹣是原方程的根， 即m的值為﹣． 　 19．如圖，要利用一面墻（墻長為25米）建羊圈，用100米的圍欄圍成總面積為400平方米的三個大小相同的矩形羊圈，求羊圈的邊長AB，BC各為多少米？ 【考點】一元二次方程的應用． 【分析】設AB的長度為x米，則BC的長度為米；然后根據矩形的面積公式列出方程． 【解答】解：設AB的長度為x米，則BC的長度為米． 根據題意得 x=400， 解得 x1=20，x2=5． 則100﹣4x=20或100﹣4x=80． ∵80＞25， ∴x2=5舍去． 即AB=20，BC=20． 答：羊圈的邊長AB，BC分別是20米、20米． 　 20．已知拋物線的解析式為y=x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m． （1）請說明此拋物線與x軸的交點情況； （2）若此拋物線與直線y=x﹣3m+4的一個交點在y軸上，求m的值． 【考點】拋物線與x軸的交點；一次函數圖象上點的坐標特征． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式判斷即可； （2）根據題意列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）△=[﹣（2m﹣1）]2﹣4（m2﹣m）=4m2﹣4m+1﹣4m2+4m=1＞0， 所以拋物線與x軸有兩個不相同的交點； （2）當x=0時，可得m2﹣m=﹣3m+4， 整理得，m2+2m﹣4=0， 解得，m1=﹣1，m2=﹣1﹣． 　 21．閱讀理解題：我們知道一元二次方程是轉化為一元一次方程來解的，例如：解方程x2﹣2x=0，通過因式分解將方程化為x（x﹣1）=0，從而得到x=0或x﹣2兩個一元一次方程，通過解這兩個一元一次方程，求得原方程的解． （1）利用上述方法解一元二次不等式：2x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＜0； （2）利用函數的觀點解一元二次不等式x2+6x+5＞0． 【考點】二次函數與不等式（組）；解一元一次方程；解一元二次方程-因式分解法． 【分析】（1）利用因式分解的方程可把該不等式化成兩個一元一次不等式組，分別求其解集即可求得答案； （2）設y=x2+6x+5，可求得y=0時對應的x的值，再結合拋物線的開口方向，可求得不等式的解集． 【解答】解： （1）2x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＜0可化為（x﹣1）（2x﹣3）＜0， ∴①或②， 解①得1＜x＜，解②得＜1且x＞（此不等式組無解）， ∴原不等式的解集為1＜x＜； （2）設y=x2+6x+5， 當y=0即x2+6x+5=0時，可求得x=﹣5或x=﹣1， 即y=x2+6x+5與x軸的交點坐標為（﹣5，0）和（﹣1，0），且開口向上， ∴原不等式的解集為x＜﹣5或x＞﹣1． 　 22．某公司投資建了一商場，共有商鋪30間，據預測，當每間租金定為10萬元，可全部租出，每間的年租金每增加5000元，少租出商鋪1間，該公司要為租出的商鋪每間每年交各種費用1萬元，未租出的商鋪每間每年交各種費用5000元． （1）當每間商鋪的年租金為l3萬元時，能租出多少間？ （2）若從減少空鋪的角度來看，當每間商鋪的年租金為多少萬元時，該公司的年收益為275萬元？ 【考點】一元二次方程的應用． 【分析】（1）直接根據題意先求出增加的租金是4個5000，從而計算出租出多少間； （2）設每間商鋪的年租金增加x萬元，直接根據收益=租金﹣各種費用=275萬元作為等量關系列方程求解即可． 【解答】解：（1）∵5000=6， ∴能租出30﹣6=24（間）． （2）設每間商鋪年租金增加x萬元 所以（30﹣）（10+x）﹣（30﹣）1﹣0.5=275， 解得x1=5，x2=0.5， ∴每間商鋪的年租金為10.5萬元或15萬元 ∴若從減少空鋪的角度來看，當每間商鋪的年租金為10.5萬元時，該公司的年收益為275萬元． 　 23．如圖，小河上有一拱橋，拱橋及河道的截面輪廓線由拋物線的一部分ACB和矩形的三邊AE，ED，DB組成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，拋物線的頂點C到ED的距離是11米，以ED所在的直線為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建立平面直角坐標系． （1）求拋物線的解析式； （2）已知從某時刻開始的40小時內，水面與河底ED的距離h（單位：米）隨時間t（單位：時）的變化滿足函數關系h=﹣（t﹣19）2+8（0≤t≤40），且當水面到頂點C的距離不大于5米時，需禁止船只通行，請通過計算說明：在這一時段內，需多少小時禁止船只通行？ 【考點】二次函數的應用． 【分析】（1）根據拋物線特點設出二次函數解析式，把B坐標代入即可求解； （2）水面到頂點C的距離不大于5米時，即水面與河底ED的距離h至多為6，把6代入所給二次函數關系式，求得t的值，相減即可得到禁止船只通行的時間． 【解答】解：（1）∵點C到ED的距離是11米， ∴OC=11， 設拋物線的解析式為y=ax2+11，由題意得B（8，8）， ∴64a+11=8， 解得a=﹣， ∴y=﹣x2+11； （2）水面到頂點C的距離不大于5米時，即水面與河底ED的距離h至多為11﹣5=6（米）， ∴6=﹣（t﹣19）2+8， ∴（t﹣19）2=256， ∴t﹣19=16， 解得t1=35，t2=3， ∴35﹣3=32（小時）． 答：需32小時禁止船只通行． 　 24．已知，如圖拋物線y=ax2+3ax+c（a＞0）與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點，點A在點B左側．點B的坐標為（1，0），OC=3OB． （1）求拋物線的解析式； （2）若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值； （3）若點E在x軸上，點P在拋物線上．是否存在以A，C，E，P為頂點且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由． 【考點】二次函數綜合題． 【分析】（1）根據OC=3OB，B（1，0），求出C點坐標（0，﹣3），把點B，C的坐標代入y=ax2+2ax+c，求出a點坐標即可求出函數解析式； （2）過點D作DE∥y軸分別交線段AC于點E．設D（m，m2+2m﹣3），然后求出DE的表達式，把S四邊形ABCD分解為S△ABC+S△ACD，轉化為二次函數求最值； （3）①過點C作CP1∥x軸交拋物線于點P1，過點P1作P1E1∥AC交x軸于點E1，此時四邊形ACP1E1為平行四邊形．②平移直線AC交x軸于點E，交x軸上方的拋物線于點P2，P3，由題意可知點P2、P3的縱坐標為3，從而可求得其橫坐標． 【解答】解：（1）∵B的坐標為（1，0）， ∴OB=1． ∵OC=3OB=3，點C在x軸下方， ∴C（0，﹣3）． ∵將B（1，0），C（0，﹣3）代入拋物線的解析式得：，解得：a=，C=﹣3， ∴拋物線的解析式為y=x2+x﹣3． （2）如圖1所示：過點D作DE∥y，交AC于點E． ∵x=﹣==﹣，B（1，0）， ∴A（﹣4，0）． ∴AB=5． ∴S△ABC=AB?OC=53=7.5． 設AC的解析式為y=kx+b． ∵將A（﹣4，0）、C（0，﹣3）代入得：，解得：k=﹣，b=﹣3， ∴直線AC的解析式為y=﹣x﹣3． 設D（a， a2+a﹣3），則E（a，﹣a﹣3）． ∵DE=﹣a﹣3﹣（a2+a﹣3）=﹣（a+2）2+3， ∴當a=﹣2時，DE有最大值，最大值為3． ∴△ADC的最大面積=DE?AO=34=6． ∴四邊形ABCD的面積的最大值為12． （3）存在． ①如圖2，過點C作CP1∥x軸交拋物線于點P1，過點P1作P1E1∥AC交x軸于點E1，此時四邊形ACP1E1為平行四邊形． ∵C（0，﹣3），令x2+x﹣3=﹣3， ∴x1=0，x2=﹣3． ∴P1（﹣3，﹣3）． ②平移直線AC交x軸于點E2，E3，交x軸上方的拋物線于點P2，P3，當AC=P2E2時，四邊形ACE2P2為平行四邊形，當AC=P3E3時，四邊形ACE3P3為平行四邊形． ∵C（0，﹣3）， ∴P2，P3的縱坐標均為3． 令y=3得： x2+x﹣3=3，解得；x1=，x2=． ∴P2（，3），P3（，3）． 綜上所述，存在3個點符合題意，坐標分別是：P1（﹣3，﹣3），P2（，3），P3（，3）． 　  2017年1月7日 第20頁（共20頁）