2019-2020年高三數學上學期第一次月考試題 理 含解析（含解析）新人教A版.doc

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2019-2020年高三數學上學期第一次月考試題 理 含解析（含解析）新人教A版 【試卷綜析】這套試題基本符合高考復習的特點,穩(wěn)中有變,變中求新,適當調整了試卷難度,體現了穩(wěn)中求進的精神.,重視學科基礎知識和基本技能的考察,同時側重考察了學生的學習方法和思維能力的考察,有相當一部分的題目靈活新穎,知識點綜合與遷移.以它的知識性、思 辨性、靈活性,基礎性充分體現了考素質,考基礎,考方法,考潛能的檢測功能. 一. 選擇題: 本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 【題文】1. 已知復數滿足, 則=( ) A. 　 　B. 　 　C. 　　 D. 【知識點】復數代數形式的乘除運算．L4 【答案解析】A 解析：由，得． 故選：A． 【思路點撥】把已知的等式變形，然后利用復數代數形式的乘除運算化簡求值． 【題文】2. 設, , , 則（ ） A. B. C. D. 【知識點】對數值大小的比較．B7 【答案解析】A 解析：∵a=30.5＞1，0＜b=log32＜1，c=log0.53＜0， ∴三個數字的大小根據三個數字的范圍得到c＜b＜a，故選A． 【思路點撥】根據指數函數和對數函數的性質，得到三個數字與0，1之間的大小關系，利用兩個中間數字得到結果． 【題文】3. 函數() 的值域是（ ） A. B. C. D. 【知識點】指數函數的定義、解析式、定義域和值域．菁優(yōu)B6 【答案解析】C 解析：∵函數v==， 當0≤x＜3時，﹣3＜﹣（x﹣1）2+1≤1，∴e﹣3＜≤e1，即e﹣3＜v≤e； ∴函數v的值域是（e﹣3，e]．故選：C． 【思路點撥】先求出時﹣x2+2x的取值范圍，再根據指數函數的單調性求出值域. 【題文】4. 把的圖像的縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的三倍，再向右移動一個單位，得到的函數解析式是（ ） A. B. C. D. 【知識點】函數的圖象與圖象變化．B9 【答案解析】C 解析：把y=ln（x+1）的圖象的縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的三倍，得到函數y=ln（），再向右移動一個單位，得到y=ln（）=ln，故選：C 【思路點撥】根據函數圖象之間的變化關系即可得到結論． 【題文】5. 函數的零點個數為（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 【知識點】函數零點的判定定理．菁B9 【答案解析】A 解析：函數f（x）的定義域為（0，+∞），且函數f（x）單調遞增， ∵f（1）=2ln1+2﹣5=﹣3＜0，f（3）=2ln3+1＞0， ∴在（1，3）內函數存在唯一的一個零點， 故函數f（x）=2lnx+2x﹣5的零點個數為1個，故選：A 【思路點撥】根據函數f（x）的單調性以及函數零點的判斷條件即可得到結論． 【題文】6．若定義在實數集上的偶函數滿足, , 對任意恒成立, 則（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【知識點】函數奇偶性的性質．B4 【答案解析】D 解析：∵f（x）＞0，f（x+2）=，∴f（x+4）==f（x）， ∴函數f（x）的周期是4．∴f（xx）=f（5044﹣1）=f（﹣1）， ∵函數f（x）為偶函數，∴f（﹣1）=f（1）， 當x=﹣1時，f（﹣1+2）=f（1）==， ∴f2（1）=1，即f（1）=1，∴f（xx）=f（1）=1．故選：D． 【思路點撥】由f（x）＞0，f（x+2）=，對可得函數的周期是4，然后利用函數的奇偶性和周期性即可求值． 【題文】7. 若某程序框圖如右圖所示, 當輸入50時, 則該程序運算后輸出的結果是( ) A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【知識點】程序框圖．L1 【答案解析】B 解析：由程序框圖知， n=50，S=0，i=1 S=1，i=2，S＜n，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)； S=4，i=3，S＜n，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)； S=11，i=4，S＜n，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)； S=26，i=5，S＜n，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)； S=57，i=6，此時S＞n，退出循環(huán)，輸出i的值為6； 故答案為：B． 【思路點撥】因為n=50，由程序框圖寫出每次循環(huán)S，i的值，判斷當S≥n時，退出循環(huán)，即可求得輸出i的值． 【題文】8. 如圖所示, 醫(yī)用輸液瓶可以視為兩個圓柱的組合體. 開始輸液時, 滴管內勻速滴下液體(滴管內液體忽略不計), 設輸液開始后分鐘, 瓶內液面與進氣管的距離為厘米, 已知當時, . 如果瓶內的藥液恰好156分鐘滴完. 則函數的圖像為（ ） A. B. C. D. 【知識點】函數模型的選擇與應用．B10 【答案解析】A 解析：由題意知，每分鐘滴下πcm3藥液， 當4≤h≤13時，xπ=π?42?（13﹣h），即h=13﹣，此時0≤x≤144； 當1≤h＜4時，xπ=π?42?9+π?22?（4﹣h），即，此時144＜x≤156． ∴函數單調遞減，且144＜x≤156時，遞減速度變快． 故選：A． 【思路點撥】每分鐘滴下πcm3藥液，當液面高度離進氣管4至13cm時，x分鐘滴下液體的體積等于大圓柱的底面積乘以（13﹣h），當液面高度離進氣管1至4cm時，x分鐘滴下液體的體積等于大圓柱的體積與小圓柱底面積乘以（4﹣h）的和，由此即可得到瓶內液面與進氣管的距離為h與輸液時間x的函數關系． 【題文】9. 函數, 若關于的方程有五個不同的實數解, 則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【知識點】根的存在性及根的個數判斷；分段函數的應用．B9 B10 【答案解析】A 解析：由方程2f2（x）﹣（2a+5）f（x）+5a=0解得， f（x）=或f（x）=a， 則x=1時，方程2f2（x）﹣（2a+5）f（x）+5a=0的一個解， 則2|x﹣1|=﹣1與2|x﹣1|=a﹣1還要在（﹣∞，1）∪（1，+∞）上有四個不同的解， 則a﹣1=2|x﹣1|＞1且a﹣1≠﹣1，即a＞2且a．故選A． 【思路點撥】先化簡方程，從而簡化問題，轉化為2|x﹣1|=﹣1與2|x﹣1|=a﹣1在（﹣∞，1）∪（1，+∞）上有四個不同的解． 【題文】10. 若定義域在的函數滿足： ① 對于任意，當時，都有; ②; ③; ④, 則（ ） A. B． C． D． 【知識點】函數的值．B1 【答案解析】B 解析：∵f（1﹣x）+f（x）=﹣1，令x=0； ∴f（1）+f（0）=﹣1，又∵f（0）=0；∴f（1）=﹣1； 令x=可得，2f（）=﹣1，∴f（）=﹣； 在f（x）中令x=1，則f（）=f（1）=﹣， 又∵對于任意x1，x2∈[0，1]，當x1＜x2時，都有f（x1）≥f（x2）； ∴在[，]上，f（x）≡﹣． f（）=?f（）=f（） =（）3?f（）=（）4?f（）， =﹣．故=﹣﹣=﹣；故選B． 【思路點撥】由題意給出的四個性質可推出在[，]上，f（x）≡﹣；從而求出的值． 二. 填空題: 本大題共6小題，考生作答5小題，每小題5分，共25分，把答案填在答題卡相應位置上。 【題文】11. 設全集U是實數集, , , 則＝____. 【知識點】交、并、補集的混合運算．A1 【答案解析】{x|1＜x≤2} 解析：由M中不等式解得：x＜﹣2或x＞2，即M={x|x＜﹣2或x＞2}，∴?RM={x|﹣2≤x≤2}， 由N中不等式變形得：≥0，即≤0，解得：1＜x≤3，即N={x|1＜x≤3}， 則（?RM）∩N={x|1＜x≤2}．故答案為：{x|1＜x≤2} 【思路點撥】求出M中不等式的解集確定出M，求出N中不等式的解集確定出N，找出M補集與N的交集即可． 【題文】12. 已知函數, 則的值為__________. 【知識點】函數的值．B1 【答案解析】 解析：∵函數f（x）=， ∴f（2）=f（3）=f（4）==． 故答案為：． 【思路點撥】利用分段函數的性質求解． 【題文】13. 若函數(為常數)在區(qū)間上是減函數, 則的取值范圍是______. 【知識點】函數單調性的性質．B3 【答案解析】 解析：設，則函數 在定義域上單調遞減，要使f（x）在區(qū)間（2，4）上是減函數，則設在（2，4）上為增函數． 因為==a+， 所以要使函數t=a+，在（2，4）上為增函數，則a﹣2＜0，即a＜2， 要使函數有意義，則t＞0，則t=a+＞0在（2，4）成立， 所以只要當x=2時，==2a﹣2≥0，即可，解得a≥1， 綜上1≤a＜2，故a的取值范圍是[1，2）．故答案為：[1，2）． 【思路點撥】利用復合函數的單調性的性質進行求解． 考生注意：14, 15, 16三題為選做題，請從中任選兩題作答，若三題全做，則按前兩題給分. 【題文】14. 如圖, 為外一點, 過點作的兩條切線, 切點分別為, , 過的中點作割線交于, 兩點, 若, , 則 ______． 【知識點】與圓有關的比例線段．N1 【答案解析】4 解析：∵QA是⊙O的切線，∴QA2=QC?QD， ∵QC=1，CD=3，∴QA2=4，∴QA=2，∴PA=4， ∵PA，PB是⊙O的切線，∴PB=PA=4．故答案為：4． 【思路點撥】利用切割線定理可得QA2=QC?QD，可求QA，可得PA，利用圓的切線長定理，可得PB． 【題文】15. 在直角坐標平面內, 以坐標原點為極點、軸的非負半軸為極軸建立極坐標系, 已知點的極坐標為, 曲線的參數方程為(為參數), 則點到曲線上的點的距離的最小值為 ． 【知識點】簡單曲線的極坐標方程；圓的參數方程．菁N3 【答案解析】 解析：由曲線C的參數方程（α為參數）， 化成普通方程為：（x﹣1）2+y2=2，圓心為A（1，0），半徑為r=， 由于點M在曲線C外，故點M到曲線C上的點的距離的最小值為|MA|． 故答案為：5﹣． 【思路點撥】利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可把點M的坐標化為直角坐標，進而即可求出直線OM的方程；再把曲線C的參數方程化為化為普通方程，再利用|MA|﹣r即可求出最小值． 【題文】16. 若關于的不等式在實數集上的解集為, 則的取值范圍為_______. 【知識點】絕對值不等式的解法．菁優(yōu)N4 【答案解析】 解析：根據絕對值的意義可得|x﹣1|+|x+2a|的最小值為|1+2a|，結合所給的條件可得|1+2a|＞1 由此求得實數a的取值范圍為（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）；故答案為：（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）． 【思路點撥】根據絕對值的意義可得|x﹣1|+|x+2a|的最小值為|1+2a|，結合所給的條件可得|1﹣2a|＞1，由此求得實數a的取值范圍． 三. 解答題：本大題共6小題，共75分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算過程. 【題文】17. (本小題滿分13分) 已知 實數滿足, 其中; 實數滿足. (1) 若 且為真, 求實數的取值范圍; (2) 若是的必要不充分條件, 求實數的取值范圍. 【知識點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；復合命題的真假．A2 【答案解析】(1) (2) 解析：（1）對：由得， 因為, 所以 ..……...……..2分 當時，解得1<,即為真時，實數的取值范圍是1<. 又為真時實數的取值范圍是…………………..4分 若為真，則真且真， 所以實數的取值范圍是. …………………..7分 (2) p是q的必要不充分條件，即qp,且pq， 設A=, B =, 則AB, …………………..10分 又，A=； 所以有解得 所以實數的取值范圍是. …………………..13分 【思路點撥】(1) 利用一元二次不等式的解法可化簡命題p，若p∧q為真，則p真且q真，即可得出；(2)￢p是￢q的充分不必要條件，即￢p?￢q，且￢q?￢p，即可得出． 【題文】18. (本小題滿分13分) 函數(且)是定義在實數集上的奇函數． (1) 若, 試求不等式的解集； (2) 若且在上的最小值為, 求的值． 【知識點】奇偶性與單調性的綜合．B3 B4 【答案解析】(1) (2) 解析：（1）是定義在R上的奇函數， ………………….2分 ，又且 …………4分 易知在R上單調遞增，原不等式化為： ，即 不等式的解集為. …………………..7分 （2），即（舍去） ……9分 令 當時，當時， 當時，當時，，…………………..12分 解得，舍去. 綜上可知． ………………….13分 【思路點撥】（1）根據f（x）是定義域為R的奇函數，可得k=1，從而（a＞0，且a≠1），利用f（1）＞0，可得a＞1，從而可證f（x）在R上單調遞增，故原不等式化為，從而可求不等式的解集； （2）根據確定a=2的值，從而可得函數,令，由（1）可知為增函數，可得t≥f（1）=，分類討論，利用最小值為﹣2，可求m的值． 【題文】19. (本小題滿分13分) 如下圖1, 在中, , , . , 分別是, 上的點, 且//, 將沿折起到的位置, 使(如下圖2). (1) 求證: 平面; (2) 若, 求與平面所成角的正弦值. 圖1 圖2 【知識點】直線與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．G4 G5 【答案解析】(1)見解析 (2) 解析：(1) 證明： 在△中， ………………2分 又 . 由 ……………...4分 . ……………...7分 (2) 如圖, 以為原點，, , 分別為軸, 軸, 軸, 建立空間直角坐標系. 因為, 所以, 又//, 所以, 所以. 則. . 設為平面的一個法向量， ………..8分 因為 所以, 即，令，得. 所以為平面的一個法向量． ………..11分 設與平面所成角為, 則． 所以與平面所成角的正弦值為． …………13分 【思路點撥】（1）由中，且//,，證出A1D⊥DE．結合A1D⊥CD，可得A1D⊥面BCDE，從而得到．最后根據線面垂直判定定理，結合BC⊥CD可證出BC⊥面A1DC；（2）以C為原點，CD、CB所在直線分別為x、y軸，建立空間直角坐標系如圖所示．可得D、E、B、A1各點的坐標，從而算出，利用垂直向量數量積為零的方法建立方程組，解出為平面A1BC的一個法向量．根據空間向量的夾角公式和直線與平面所成角的性質，即可算出與平面所成角的正弦值。 【題文】20. (本小題滿分12分) 已知函數(). (1) 若曲線在點處的切線與軸平行, 求的單調區(qū)間和極值; (2) 討論在上的單調性; (3) 若在上是單調函數, 求的取值范圍. 【知識點】利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值；利用導數研究曲線上某點切線方程．B12 【答案解析】(1) 的增區(qū)間為，減區(qū)間為，, 無極小值. (2) 當時, 在，當時, 在，在在（3） 解析：(1) ，有 得，故. ……………….……….………..2分 令得，故在 令得，故在 故的增區(qū)間為，減區(qū)間為， , 無極小值. .…...4分 (2) ①當時，，故在 ②當時，令得， 令得 所以在，在在 綜上: 當時, 在 當時, 在，在在………..8分 (3)由題意可知：在上是單調函數 　　當時，在上恒大于零，即，符合要求； 當時，令，則由題意可知 　　或，解得: . 　　∴的取值范圍是 ……………..12分 【思路點撥】（1）根據在點（1，f（1））處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．再列出一個等式，最后解方程組即可求得a．，再利用導數，根據f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調減區(qū)間，最后求出極值即可． （2）先求導，再根據a的值進行分類討論即可． （3）先求出g（x）的導數，再分a≥0，a＜0，進行討論，當a＜0，構造函數h（x）=ax2+x﹣1，求得a的范圍． 【題文】21. (本小題滿分12分) 以橢圓的中心為圓心，以為半徑的圓稱為該橢圓的“伴隨”. 已知橢圓的離心率為, 且過點． (1) 求橢圓及其“伴隨”的方程; (2) 過點作“伴隨”的切線交橢圓于, 兩點, 記為坐標原點)的面積為, 將表示為的函數, 并求的最大值. 【知識點】直線與圓錐曲線的綜合問題．H8 【答案解析】(1) (2) ，的最大值為1. 解析：(1) 橢圓的離心率為, 則, 設橢圓的方程為 ……………2分 ∵橢圓過點，∴， ∴， …………….………..4分 ∴橢圓的標準方程為， 橢圓的“伴隨”方程為. ………..6分 (2) 由題意知，. 易知切線的斜率存在,設切線的方程為 由得 ………..8分 設, 兩點的坐標分別為, , 則 , . 又由與圓相切, 所以, . 所以 ……10分 , . (當且僅當時取等號) 所以當時，的最大值為1. ………..12分 【思路點撥】（1）由橢圓C的離心率，結合a，b，c的關系，得到a=2b，設橢圓方程，再代入點，即可得到橢圓方程和“伴隨”的方程； （2）設切線l的方程為y=kx+m，聯立橢圓方程，消去y得到x的二次方程，運用韋達定理和弦長公式，即可得到AB的長，由l與圓x2+y2=1相切，得到k，m的關系式，求出三角形ABC的面積，運用基本不等式即可得到最大值． 【題文】22．（本小題滿分12分）已知定義在上的函數, 其中表示不小于的最小整數,如, , . (1) 求的值, 其中為圓周率; (2) 若在區(qū)間上存在, 使得成立, 求實數的取值范圍; (3) 求函數的值域. 【知識點】函數的值域．B3 【答案解析】(1) (2) （3） 解析：(1) 因為, , 所以 …..3分 (2) 因為, 所以, . …. …. …. ….…..4分 則. 求導得, 當時,顯然有, 所以在區(qū)間上遞增, 即可得在區(qū)間上的值域為, …. …. …. ….….6分 在區(qū)間上存在, 使得成立,所以. …. ….…..7分 (3) 由于恒成立, 且, 不妨設. 易知, 下面討論的情況. …. ….…..8分 當時, , . 所以, 當, , 時, , . 設, 所以在上是增函數, 故當時，，, 因此的值域為 …. ….…..10分 記, . 當時, , 即 當時, , 即 而, 所以. 故的值域為 …. ….…..12分 【思路點撥】（1）分開化簡求值，（2）化簡函數表達式，求導確定函數單調性，將恒成立問題化為最值問題；（3）分類討論函數的取值，再求并集．