計算機圖形學13投影變換.ppt

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2019/12/2,魯東大學,信息學院,投 影 變 換,2019/12/2,魯東大學,2,7.4 投影變換 7.4.1 基本概念,投影變換就是把三維立體（或物體）投射到投影面上得到二維平面圖形。 分類： 平面幾何投影主要指平行投影、透視投影以及通過這些投影變換而得到的三維立體的常用平面圖形：三視圖、軸測圖。 觀察投影是指在觀察空間下進行的圖形投影變換。,2019/12/2,魯東大學,3,7.4 投影變換 7.4.1 基本概念,投影中心與投影平面之間的距離為無限,投影中心與投影平面之間的距離為有限,,,根據(jù)投影方向與投影平面的夾角,,根據(jù)投影平面與坐標軸的夾角,,2019/12/2,魯東大學,4,7.4 投影變換 7.4.1 基本概念,一、平面幾何投影 投影中心、投影面、投影線：,2019/12/2,魯東大學,5,7.4 投影變換 7.4.1 基本概念,平面幾何投影可分為兩大類： 透視投影的投影中心到投影面之間的距離是有限的 平行投影的投影中心到投影面之間的距離是無限的,2019/12/2,魯東大學,6,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影,平行投影可分成兩類：正投影和斜投影。,2019/12/2,魯東大學,7,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影,一、正投影 正投影又可分為：三視圖和正軸測。 當投影面與某一坐標軸垂直時，得到的投影為三視圖；否則，得到的投影為正軸測圖。,2019/12/2,魯東大學,8,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影,三視圖：正視圖、側視圖和俯視圖,2019/12/2,魯東大學,9,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影,把三維空間的圖形在三個方向上所看到的棱線分別投影到三個坐標面上。再經過適當變換放置到同一平面上。,2019/12/2,魯東大學,10,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影,1、正平行投影（三視圖） 工程制圖中常用到的三視圖，是由空間一物體向三個互相垂直的投影面作正投影得到的。這三個投影面分別稱為：正投影面V（ZOX)，側投影面W（YOZ），水平投影面H（XOY）。,V,O,U,Z,X,Y,Y,,2019/12/2,魯東大學,11,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影,正投影視圖 ①正投影是將立體向xoz面投影得到，投影結果為： x’ = x; y’=0; z’=z 為將點(x y z) 變換為(x’ y’ z’)，只需將點(x y z)作 如下變換即可：,三視圖,2019/12/2,魯東大學,12,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影,② 將該投影向左角移動dx=tx,dy=tz; ③ 將x軸反向與U軸保持一致； ④ 將坐標原點平移到點(a,b)。,三視圖,2019/12/2,魯東大學,13,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影,俯投影視圖 1）將立體向xoy面作正投影，此時Z坐標取0;,三視圖,2019/12/2,魯東大學,14,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影,2）使水平投影面繞X軸旋轉-90，使與正投影面處于同一平面； 3）最后讓圖形沿Z軸平移dx=tx , dy=ty; 將x軸、y軸反向以與U、V兩坐標軸方向一致； 5）將坐標原點平移至點O,2019/12/2,魯東大學,15,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影,側投影視圖 先將立體向YOZ面作正投影（X坐標取為0）；,2019/12/2,魯東大學,16,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影,2）使水平投影面繞Z軸旋轉90，使與正投影面處于同一平面； 3）最后讓圖形沿Z軸平移dx=ty , dy=tz; 4）將坐標原點平移至點O,2019/12/2,魯東大學,17,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影,1、正軸測圖: 當投影方向不取坐標軸方向，投影平面不垂直于坐標軸時，產生的正投影稱為正軸測投影。 正軸測投影分類： 正等測：投影平面與三個坐標軸的交點到坐標原點的距離都相等。沿三個軸線具有相同的變形系數(shù)。,2019/12/2,魯東大學,18,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影,正二測：投影平面與兩個坐標軸的交點到坐標原點的距離都相等。沿兩個軸線具有相同的變形系數(shù)。,2019/12/2,魯東大學,19,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影,正三測：投影平面與三個坐標軸的交點到坐標原點的距離都不相等。沿三個軸線具有各不相同的變形系數(shù)。,2019/12/2,魯東大學,20,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影,正等測圖(等軸測),分析：對于正等測圖OA=OB=OC,正二測圖,分析：對于正二測圖OA、OB、OC有兩個相等，但與另一個不等,2019/12/2,魯東大學,22,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影,一、斜投影 斜投影圖，即斜軸測圖，是將三維形體向一個單一的投影面作平行投影，但投影方向不垂直于投影面所得到的平面圖形。（通常選擇投影面平行于某個主軸） 常用的斜軸測圖有斜等測圖和斜二測圖。,2019/12/2,魯東大學,23,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影,斜等測投影 投影平面與一坐標軸垂直 投影線與投影平面成45角 與投影平面垂直的線投影后長度不變 斜二測投影 投影平面與一坐標軸垂直 投影線與該軸夾角成 arcctg(1/2)角 該軸軸向變形系數(shù)為 。即與投影平面垂直的線投影后長度變?yōu)樵瓉淼囊话搿?2019/12/2,魯東大學,24,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影,OP = OP’,α = ARCTG(2) OP = 2OP’,2019/12/2,魯東大學,25,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影 斜平行投影求法,1． 已知投影方向矢量為（xp,yp,zp） 設形體被投影到XOY平面上 形體上的一點(x,y,z)在xoy平面上投影后→(xs,ys) ∵投影方向矢量為(xp,yp,zp) ∴投影線的參數(shù)方程為：,2019/12/2,魯東大學,26,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影 斜平行投影求法,因為 所以 若令,2019/12/2,魯東大學,27,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影 斜平行投影求法,則矩陣式為：,2019/12/2,魯東大學,28,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影 斜平行投影求法,2．設（xe,ye,ze）為任一點，（xs,ys）為（xe,ye,ze）在XcOcYc平面上的投影 設立方體上一點 P(0,0,1)在XcOcYc平面上的投影P (lcosα,lsinα,0),投影方向為PP,PP與投影面的夾角為β, α為投影與x軸的夾角，則投影方向矢量為(lcosα,lsinα,-1),2019/12/2,魯東大學,29,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影 斜平行投影求法,現(xiàn)考慮任一點（xe,ye,ze）在XcOcYc平面上的投影（xs,ys） ∵投影方向與投影線PP’平行 所以,2019/12/2,魯東大學,30,7.4 投影變換 7.4.2 平行投影 斜平行投影求法,矩陣形式為：,斜等側中：l=1,β=45? 斜二側中：l=1/2, β=arctgα=63.4? 正平行投影：l=0, β=90?,2019/12/2,魯東大學,31,7.4 投影變換 7.4.3 透視投影 透視的基本知識,透視投影是一種中心投影法，在日常生活中，我們觀察外界的景物時，常會看到一些明顯的透視現(xiàn)象。 如：我們站在筆直的大街上，向遠處看去，會感到街上具有相同高度的路燈柱子，顯得近處的高，遠處的矮，越遠越矮。這些路燈柱子，即使它們之間的距離相等，但是視覺產生的效果則是近處的間隔顯得大，遠處的間隔顯得小，越遠越密。觀察道路的寬度，也會感到越遠越窄，最后匯聚于一點。這些現(xiàn)象，稱之為透視現(xiàn)象。 產生透視的原因，可用下圖來說明：,2019/12/2,魯東大學,32,7.4 投影變換 7.4.3 透視投影 透視的基本知識,圖中，AA,BB,CC為一組高度和間隔都相等，排成一條直線的電線桿，從視點E去看，發(fā)現(xiàn) ∠AEA?∠BEB?∠CEC? 若在視點E與物體間設置一個透明的畫面P,讓P通過AA‘，則在畫面上看到的各電線桿的投影aabbcc aa即EA,EA與畫面P的交點的連線; bb即為EB，EB與畫面P的交點的連線。 cc 即為EC，EC與畫面P的交點的連線。 ∴近大遠小,2019/12/2,魯東大學,33,7.4 投影變換 7.4.3 透視投影 透視的基本知識,若連a,b,c及a,b,c各點，它們的連線匯聚于一點。 然而，實際上，A,B,C與A?，B?，C?的連線是兩條互相平行的直線，這說明空間不平行于畫面(投影面）的一切平行線的透視投影，即a,b,c與a,b,c的連線，必交于一點，這點我們稱之為滅點。,2019/12/2,魯東大學,34,7.4 投影變換 7.4.3 透視投影 滅點,不平行于投影面的平行線的投影會匯聚到一個點，這個點稱為滅點(Vanishing Point)。 坐標軸方向的平行線在投影面上形成的滅點稱作主滅點。 一點透視有一個主滅點，即投影面與一個坐標軸正交，與另外兩個坐標軸平行。 兩點透視有兩個主滅點，即投影面與兩個坐標軸相交，與另一個坐標軸平行。 三點透視有三個主滅點，即投影面與三個坐標軸都相交。,2019/12/2,魯東大學,35,7.4 投影變換 7.4.3 透視投影 透視舉例,一、 簡單的一點透視投影變換,P0 ： 視點 S平面： 投影面，屏幕畫面 點Qw的透視：P0Qw與平面S的交點,當投影面與某軸垂直時為一點透視；當投影面平行于某坐標軸，但與另外兩軸不垂直時為二點透視；否則為三點透視,Qw (Xw, Yw, Zw) Qs (Xs, Ys),簡單的一點透視投影變換(續(xù)),討論：,利用幾何關系可得：,若令用戶坐標系(屏幕坐標)的原點在O，則 Z1＝ 0，上式可簡化為：,討論(續(xù))：,(2) 上述變換可寫為,回憶前面對齊次坐標變換矩陣的討論，知若 g ＝ -1/ Z2，則主滅點在 Z 軸上 Z＝ 1/g 處,魯東大學,討論(續(xù))：,(3) 類似，若主滅點在 Y 軸或 X 軸上，變換矩陣可分別寫為：,2019/12/2,魯東大學,40,二點透視投影的變換矩陣,２) 二點透視 在變換矩陣中，第四列的p,q,r起透視變換作用 當p、q、r中有兩個不為0時的透視變換稱為二點透視變換。假定p!=0, r!=0, q=0; 將空間上一點(x,y,z)進行變換，可得如下結果：,2019/12/2,魯東大學,41,二點透視投影的變換矩陣,由上式可看出： 當x-∞時，在X軸上1/p處有一個滅點； 當z-∞時，在Z軸上1/r處有一個滅點；,經齊次化處理后得：,2019/12/2,魯東大學,42,三點透視投影的變換矩陣,３)三點透視 類似，若p,q,r都不為0，則可得到有三個滅點的三點透視。,經齊次化處理后得：,2019/12/2,魯東大學,43,三點透視投影的變換矩陣,由上式可看出： 當x-∞時，在X軸上1/p處有一個滅點； 當y-∞時，在Y軸上1/q處有一個滅點; 當z-∞時，在Z軸上1/r處有一個滅點；,2019/12/2,魯東大學,44,7.5 三維裁剪,三維窗口經投影變換后，在平行投影時為立方體，在透視投影時為四棱臺。 三維線段裁剪就是要顯示一條三維線段落在三維窗口內的部分線段。 本課以平行投影為例討論三維線段的裁剪算法 對于立方體裁剪窗口六個面的方程分別是： x = -1; x = 1 y = -1; y = 1 z = -1; z = 1,2019/12/2,魯東大學,45,空間任一條直線段P1(x1, y1, z1)、P2(x2, y2, z2)。P1P2端點和六個面的關系可轉換為一個6位二進制代碼表示，其定義如下,2019/12/2,魯東大學,46,,第1位為1： 點在裁剪窗口的上面，即y1; 否則第1位為0 第2位為1： 點在裁剪窗口的下面，即y1; 否則第3位為0 上,第4位為1： 點在裁剪窗口的左面，即x1; 否則第5位為0 第6位為1： 點在裁剪窗口的前面，即z-1; 否則第6位為0 即： 前后左右下,2019/12/2,魯東大學,47,計算原理,如同二維線段對矩形窗口的編碼裁剪算法一樣， (1) 若一條線段的兩端點的編碼都是0，則線段落在窗口的空間內； (2) 若兩端點編碼的邏輯與（逐位進行）為非0，則此線段在窗口的空間以外 否則，需對此線段作分段處理，即要計算此線段和窗口空間相應平面的交點，并取有效交點,2019/12/2,魯東大學,48,計算方法,l 對任意一條三維線段的參數(shù)方程可寫成： x = x1 + ( x2 – x1) t = x1 + p . t （1） y = y1 + ( y2 – y1) t = y1 + q . t （2） z = z1 + ( z2 – z1) t = z1 + r . t （3） 0 = t = 1 l 而裁剪空間六個平面方程的一般表達式為： a x + b y + c z + d = 0 （4） l 把直線方程代入平面方程求得： t = - ( a x1 + b y1 + c z1+d ) / ( a * p + b * q + c * r) （5）,2019/12/2,魯東大學,49,假如要求一條直線與裁剪空間上平面的交點 將 y = 1 代入 方程（2）得 t = ( 1 – y1 ) / q (1)若t 不在 [0 1] 的區(qū)間內，則交點在裁剪空間以外 (2)若t 在 [0 1] 的區(qū)間內，則將t 代入式（1）和（3）分別得： x = x1 + ( 1 – y1) * p / q z = z1 + ( 1 – y1) * r / q,2019/12/2,魯東大學,50,,故三維線段與裁剪窗口的有效交點為 (x1+(1–y1)*p /q, 1,z1 +(1–y1)*r /q） 類似地可求得其他5個面與直線段的有效交點，連接有效交點可得到落在裁剪窗口內的有效線段。 按照上述編碼方法，可以很方便地將二維的Cohen – Sutherland 算法與中點分割算法推廣到三維，只要把二維算法中計算線段與窗口邊界線交點的部分換成計算線段與三維裁剪空間側面的交點即可,