安徽省安慶市高三第二次模擬考試 理科數(shù)學(xué)試題及答案

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1、 安徽省安慶市2015屆高三第二次模擬考試 數(shù)學(xué)試卷（理科） 一、選擇題：本大題共10小題,每小題5分,共50分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.已知是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)滿(mǎn)足,則復(fù)數(shù)等于 A. B. C. D. 2.已知橢圓的離心率為,則實(shí)數(shù)等于 A.2 B.2或 C.或6 D.2或8 3.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,且在上取值的概率為0.8,則在(0,3)上取值的概率為 A.0.2

2、 B.0.3 C.0.8 D.0.1 4.在等比數(shù)列中,,且是和的等差中項(xiàng),則的公比為 A.2 B.3 C.2或3 D.6 5.在極坐標(biāo)系中,曲線上的兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極角分別為,則弦長(zhǎng)等于 A.1 B. C. D.2 6.已知點(diǎn)是邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線上的任意一點(diǎn),于,于,則等于 A.1 B.

3、 C. D. 7.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為 A. B. C. D. 8.某村2014年的農(nóng)業(yè)年生產(chǎn)總值為2000萬(wàn)元,在2015年中,大力推進(jìn)綠色生態(tài)農(nóng)業(yè),預(yù)計(jì)以后每年的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)總值都比上一年增長(zhǎng)10%,現(xiàn)設(shè)計(jì)了一個(gè)程序框圖計(jì)算預(yù)計(jì)農(nóng)業(yè)年生產(chǎn)總值首次超過(guò)3000萬(wàn)元的年份,那么圖中的※處和最后輸出的結(jié)果應(yīng)是 A. B. C. D. 9.設(shè)實(shí)數(shù)滿(mǎn)足,且,則 A.有最小值9 B.有最大值9

4、 C.有最大值1 D.有最小值1 10.已知函數(shù)其中,設(shè)為的一個(gè) 零點(diǎn),若,則符合條件的的值有 A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.無(wú)數(shù)個(gè) 二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分,請(qǐng)將答案填在答題卡的相應(yīng)位置. 11.若的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是,則實(shí)數(shù) 12.設(shè)實(shí)數(shù)滿(mǎn)足,則的取值范圍是 13.已知命題函數(shù)的值域?yàn)?命題對(duì)任意的,不等式恒成立,若命題為真命題,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 14.若函數(shù)的圖象如圖所

5、示,則圖中的陰影部分的面積為 15.規(guī)定:坐標(biāo)軸繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為正角,順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為負(fù)角,不改變坐標(biāo)軸的原點(diǎn)和長(zhǎng)度單位,只將兩坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)同一個(gè)角度,這種坐標(biāo)軸的變換叫做坐標(biāo)軸的角旋轉(zhuǎn),簡(jiǎn)稱(chēng)轉(zhuǎn)軸,將平面直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)軸得到新坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)在兩個(gè)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為和,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是 (把你認(rèn)為錯(cuò)誤的所有結(jié)論的序號(hào)都填上) ①與軸垂直的直線轉(zhuǎn)軸后一定與軸垂直;②當(dāng)時(shí),點(diǎn)在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為;③當(dāng)時(shí),反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)軸后的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ④當(dāng)時(shí),直線的圖象經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)軸后的直線方程是 ⑤點(diǎn)在兩個(gè)坐標(biāo)系中坐標(biāo)之間的關(guān)系是 三、解答題:本大題

6、共6小題,共75分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟. 16(本小題滿(mǎn)分12分) 如圖所示,在平面四邊形中,. (Ⅰ)當(dāng)時(shí),求的面積; (Ⅱ)設(shè),記四邊形的周長(zhǎng)為,求的表達(dá)式,并求出的最大值. 17(本小題滿(mǎn)分12分) 為美化環(huán)境,某小區(qū)物業(yè)計(jì)劃在小區(qū)內(nèi)種植甲,乙,丙,丁四棵樹(shù)苗,受環(huán)境影響,甲,乙兩棵樹(shù)苗成活率均為,丙,丁兩棵樹(shù)苗成活率均為,每棵樹(shù)苗成活與否相互沒(méi)有影響. (Ⅰ)若甲,乙兩棵樹(shù)苗中有且僅有一棵成活的概率與丙,丁兩棵樹(shù)苗都成活的概率相等,求的值 (Ⅱ)設(shè)為最終成活的樹(shù)苗的數(shù)量,求的概率分布列及數(shù)學(xué)期望

7、值. 18(本小題滿(mǎn)分12分) 如圖所示,在四棱柱中,底面是梯形,,側(cè)面為菱形, . (Ⅰ)求證:; (Ⅱ)若,點(diǎn)在平面上的射影恰為線段的中點(diǎn),求平面 與平面所成銳二面角的余弦值. 19(本小題滿(mǎn)分13分) 已知拋物線,四邊形內(nèi)接于拋物線,如圖所示. (Ⅰ)若直線的斜率均存在,分別記為,求證:; (Ⅱ)若直線的斜率互為相反數(shù),且弦軸,求證:直線與拋物線在點(diǎn)處的切線平行.

8、 20(本小題滿(mǎn)分13分) 已知函數(shù). (Ⅰ)若在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍; (Ⅱ)若,設(shè)直線為函數(shù)的圖象在處的切線,求證:. 21(本小題滿(mǎn)分13分) 已知數(shù)列滿(mǎn)足. (Ⅰ)求證:對(duì)任意; (Ⅱ)判斷數(shù)列的單調(diào)性,并說(shuō)明你的理由; (Ⅲ)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,求證:當(dāng)時(shí),. 2015年安慶市高三模擬考試（二模） 數(shù)學(xué)試題(理科) 參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共5

9、0分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B B C D A B C B 1.A【解析】，選. 2.D【解析】顯然且.當(dāng)時(shí)，橢圓長(zhǎng)軸在軸上，則，解得；當(dāng)時(shí)，橢圓長(zhǎng)軸在軸上，則，解得，選. 3.B【解析】因?yàn)榉恼龖B(tài)分布，所以，，所以.選. 4.B【解析】設(shè)公比為，由已知， 得解得或，但不符合.選. 5.C【解析】、兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為 、，化為直角坐標(biāo)為 、，故，選. 6.D【解析】設(shè)，，，（，），根據(jù)題意可知，，，，，且. 所以 ，，，故 .選.（注：也可用

10、坐標(biāo)法或特殊位置法求解.） 7. A【解析】該幾何體的直觀圖如圖所示. .選. 8.B【解析】. 因?yàn)?，，所以的最小正整?shù)值為5.選. 9.C【解析】因?yàn)?，所? 又，，所以，故. 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào). 選. 10.B【解析】. 因?yàn)椋? 所以，解得.由知，，，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 故，符合條件的的值有2個(gè).選. 二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分.把答案填在題中橫線上) 11. ，【解析】，由， 得，. 12. ，【解析】由題意，可行域如圖所示， 則 ， ，所以，故. 13.，【解析】函數(shù)的值域?yàn)椋粚?duì)任意的，不等式恒成立，所以若命題為真命

11、題，則；的范圍為. 14.，【解析】由圖可知，，， 由得，又， 得，由圖知， ， 由，得 所以， 陰影部分面積. 15.（1），（2），（3），【解析】（1）因?yàn)檗D(zhuǎn)軸變換僅僅是坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，而直線并不隨著旋轉(zhuǎn)，錯(cuò)誤；（2）點(diǎn)在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)應(yīng)為，錯(cuò)誤；（3）時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)軸后的標(biāo)準(zhǔn)方程是，錯(cuò)誤； （4）直角坐標(biāo)系中的直線，在坐標(biāo)系中傾斜 角為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故轉(zhuǎn)軸后的直線方程是 ，正確；（5）證明如下：設(shè)，， 則， ，正確. 三、解答題(本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟) 16．（本題滿(mǎn)分12分） 【解析】（Ⅰ）在△中，，， ，根

12、據(jù)余弦定理可得. ………2分 在△中，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，， 根據(jù)正弦定理可得，. 的面積. ……… 5分 （Ⅱ）在△中，由，得，， ……… 7分 所以 …9分 因?yàn)椋援?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值. 從而的最大值為. ……… 12分 17．（本題滿(mǎn)分12分） 【解析】（Ⅰ）， ………4分 （Ⅱ）可取0、1、2、3、4 =

13、 ………7分 ∴的分布列為 0 1 2 3 4 ………9分 + ∴. ………12分 18.（本小題滿(mǎn)分12分） 【解析】解一：（Ⅰ）因?yàn)閭?cè)面為菱形，所以，又， 所以 ， 從而. ………5分 （Ⅱ）設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接、，由題意知平面.因?yàn)閭?cè)面為菱形，所以，故可

14、分別以射線、射線、射線為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖1所示. 設(shè)，由可知，，所以，從而，，，. 所以 . 由可得，所以. ………7分 設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，， 得 取，則，，所以. ………9分 又平面的法向量為，所以. 故平面與平面所成銳二面角的余弦值為. ………12分 解二：（Ⅰ）連接、、，設(shè)交于點(diǎn)， 連，如圖2所示. 由，可得△≌△， 所以.由于是線段的中點(diǎn)，所以， 圖2 又根據(jù)菱形的性質(zhì)，所以平面，

15、 從而. ………5分 （Ⅱ）因?yàn)椋?，所以延長(zhǎng)、交于點(diǎn)， 延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，且，.連接， 則.過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)， 連接，如圖3所示.因?yàn)椋? 由題意知平面，所以由三垂線定理得， 圖3 故是平面與平面所成二面角的平面角. ………8分 易知，，所以.在△中， ，所以. 故平面與平面所成銳二面角的余弦值為. ………12分 19．（本題滿(mǎn)分13分） 【解析】 (Ⅰ) 證明：設(shè)，，， 第19題圖 ， 同理：，故 ………4分 同理：，從而得證. ………6分 (

16、Ⅱ) 證明：由，有，，設(shè)以為切點(diǎn)的切線斜率為，則其方程為，代入 ，得 得，而 ； ………9分 由若直線、的斜率互為相反數(shù)，則有 ，， 而點(diǎn)不在上，所以，直線平行于點(diǎn)處的切線. ………13分 20．（本題滿(mǎn)分13分） 【解析】（Ⅰ）由已知，，由已知對(duì)恒成立， 故，對(duì)恒成立，得，∴為所求. ………4分 （Ⅱ）證明：，則 函數(shù)在處的切線方程為 當(dāng)時(shí)，; 當(dāng)時(shí)，要證； 即證 ＜0 ………6分 令 設(shè)， 則，∵，∴

17、 ∴在上單調(diào)遞減，而 ………10分 ∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)， 即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí) ∴在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù) ∴時(shí)，，即有 綜上， ………13分 21.（本題滿(mǎn)分13分） 【解析】(Ⅰ)先用數(shù)學(xué)歸納法證明：（）. ① 當(dāng)時(shí)，，結(jié)論正確； ② 假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即， 則時(shí)，，所以時(shí)，結(jié)論正確. 故，由①、②及數(shù)學(xué)歸納法原理，對(duì)一切的，都有成立. ………4分 (Ⅱ)是單調(diào)遞減的數(shù)列. 因?yàn)?，又? 所以 ，. 這說(shuō)明是單調(diào)遞減的數(shù)列. ………8分 （Ⅲ）由，得，所以. 根據(jù)(Ⅰ)（），所以， 所以 . 所以，當(dāng)時(shí)，，即. 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)， . ………13分 - 21 -