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1、
江西省臨川一中、九江一中、新余一中等九校協(xié)作體
2016屆高三第一次聯(lián)考
數(shù)學(xué)(文)試題
第Ⅰ卷(共60分)
一、選擇題:本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.已知集合,則( )
A. B. C. D.
2.已知函數(shù),則( )
A.1 B.2 C.4 D.8
3.若復(fù)數(shù)滿足,則的共軛復(fù)數(shù)為( )
A. B. C. D.
4.現(xiàn)有一組樣本數(shù)據(jù):1,2,2,2,3,3,4,5.則它的中位數(shù)和眾數(shù)分別為( )
A.,2 B.2,2 C.3,
2、2 D.2,3
5.?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和,若,則( )
A.2 B.5 C. D.10
7.在區(qū)間上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)、,則其中使函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)的概率是( )
A. B. C. D.
8.執(zhí)行下圖所示的程序框圖,則輸出的值為( )
A.9 B.10 C.11 D.12
9.如果兩個(gè)方程的曲線經(jīng)過(guò)若干次平移或?qū)ΨQ變換后能夠完全重合,則稱這兩個(gè)方程為“互為鏡像方程對(duì)”.給出下列四對(duì)方程:
①和;②和;③和;④和
其中是“互為鏡像方程對(duì)”的有( )
A.1對(duì) B.2對(duì) C.3對(duì) D.4
3、對(duì)
10.設(shè)關(guān)于的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)滿足,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
11.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家利用“牟合方蓋”(如圖甲)找到了球體體積的計(jì)算方法.它是由兩個(gè)圓柱分別從縱橫兩個(gè)方向嵌入一個(gè)正方體時(shí)兩圓柱公共部分形成的幾何體.圖乙所示的幾何體是可以形成“牟合方蓋”的一種模型,其直觀圖如圖丙,圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線.當(dāng)其正視圖和俯視圖完全相同時(shí),它的正視圖和俯視圖分別可能是( )
A., B., C., D.,
12.已知橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為、,左、右焦點(diǎn)分別是,在線段上有且只有一個(gè)點(diǎn)滿足,則橢圓的離
4、心率為( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非選擇題共90分)
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.
13.已知雙曲線的漸近線方程為,則其焦距為_(kāi)_____.
14.已知兩個(gè)向量都是單位向量,其夾角為,又,且,則______.
15.已知長(zhǎng)方體各個(gè)頂點(diǎn)都在球面上,,,過(guò)棱作該球的截面,則當(dāng)截面面積最小時(shí),球心到截面的距離為_(kāi)_____.
16.已知函數(shù),若對(duì)于任意,都存在,使得成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
三、解答題:解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17.(本小題滿分12分)
已知向量,設(shè)函數(shù).又在中,角、、的對(duì)邊分
5、別是,.
(1)求角的大??;
(2)若,且.求邊的大?。?
18.(本小題滿分12分)
為了促進(jìn)人口的均衡發(fā)展,我國(guó)從2016年1月1日起,全國(guó)統(tǒng)一實(shí)施全面放開(kāi)兩孩政策.為了解適齡國(guó)民對(duì)放開(kāi)生育二胎政策的態(tài)度,某部門(mén)選取70后和80后年齡段的人作為調(diào)查對(duì)象,進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查,其中,持“支持生二胎”、“不支持生二胎”和“保留意見(jiàn)”態(tài)度的人數(shù)如下表所示:
(1)在所有參與調(diào)查的人中,用分層抽樣的方法抽取個(gè)人,其中持“支持”態(tài)度的人共36人,求的值;
(2)在持“不支持”態(tài)度的人中,仍用分層抽樣的方法抽取5人,并將其看成一個(gè)總體,從這5人中任意選取2人,求至少有1個(gè)80后的概率.
支持
6、
保留
不支持
80后
780
420
200
70后
120
180
300
19.(本小題滿分12分)
如圖,梯形中,,,,將沿邊翻折,使平面平面,是的中點(diǎn),點(diǎn)在線段上且滿足.
(1)求證:平面;
(2)若,求點(diǎn)到平面的距離.
20.(本小題滿分12分)
已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn),且,的方程為,過(guò)點(diǎn)作直線,與拋物線和依次交于.(如圖所示)
(1)求拋物線的方程;
(2)求的最小值.
21.已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在上無(wú)極值,求實(shí)數(shù)的值;
(2)若,且存在實(shí)數(shù),使得是在上的最大值,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若不等式對(duì)于任意恒成
7、立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
請(qǐng)考生在22、23、24三題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題記分.
22.(本小題滿分10分)選修4-1:幾何證明選講
如圖,已知是的直徑,直線與相切于點(diǎn),.
(1)求證:;
(2)若,,求的長(zhǎng).
23.(本小題滿分10分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),又以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線極坐標(biāo)方程為:,直線與曲線交于兩點(diǎn).
(1)求直線的普通方程及曲線的平面直角坐標(biāo)方程;
(2)求線段的長(zhǎng).
24.(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講
已知實(shí)數(shù)、滿足:.
(1)求的最
8、小值;
(2)在(1)的條件下,若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
江西省臨川一中、九江一中、新余一中等九校協(xié)作體2016屆高三第一次聯(lián)考
數(shù)學(xué)(文科)試題參考答案
一、選擇題:(本大題共12小題,每小題5分,共60分)
1.C 2.B 3.B 4.A 5.D 6.D 7.B 8.C 9.C 10.A 11.A 12.D
二、填空題:(本大題共4小題,每小題5分,共20分)
13.4 14. 15.5 16.
三、解答題:解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.
17.解:(1)∵向量,,
∴函數(shù)……3分
∵ ∴
9、 ………………4分
又 ∴ ………………6分
(2)∵.
∴,
解得 ……………………12分
18.解:(1)所有參與調(diào)查的人數(shù)為.
由分層抽樣知. ……………………5分
(2)由分層抽樣知抽取的5人中有2個(gè)80后(記為甲、乙),3個(gè)70后(記
10、為、、)
則從中任取兩個(gè),共有以下10種等可能的基本事件:(甲,乙)、(甲,)、(甲,)、(甲,)、(乙,)、(乙,)、(乙,)、、、, ……………………7分
其中至少有1個(gè)80后的基本事件有(甲,乙)、(甲,)、(甲,)、(甲,C)、(乙,)、(乙,)、(乙,)共7種. ……………………9分
故至少有1個(gè)80后的概率為 ……………………12分
19.解:(1)證明:取中點(diǎn),連
11、接
∵,∴,且
∵,且,∴,且
∴四邊形是平行四邊形,∴ ……………………3分
又∵平面,平面
∴平面. ……………………5分
(2)設(shè)點(diǎn)到平面的距離為
∵平面平面,且,∴平面
又是的中點(diǎn)
∴點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離的一半,
即為. ……………………7分
在中,由平面平面,且得平面
∴,
∴,故
又,
∴
而
12、 ……………………9分
由得
即,解得
∴點(diǎn)到平面的距離為 ……………………12分
20.解:(1)由在拋物線上得
又由得
解得或,又,故
所以拋物線的方程為. ……………………4分
(2)由題知直線的斜率一定存在,設(shè)直線的方程為
則圓心到直線的距離為,
∴ ……………………6分
設(shè),
由得,
則,由拋物線定義知, ……………8分
∴
13、 ……………10分
設(shè),則,
∵函數(shù)和在上都是單調(diào)遞增函數(shù)
∴ 當(dāng)時(shí)即時(shí),有最小值. ……………12分
(另解法二:當(dāng)時(shí),最短為,同時(shí)也最短為,故有最小值).
21.解:(1)∵
∴,
∵在上無(wú)極值
∴得 ………………3分
(2)∵存在實(shí)數(shù),使得是在上的最大值
∴時(shí),在處取得最大值
由(1)得
令得,或
①當(dāng)時(shí),,
則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
∴得即
令,則
由得,∴在上單調(diào)遞增
14、,∴,
∴在時(shí)無(wú)解,故舍去;
②當(dāng)時(shí),
在上單調(diào)遞增,,不合題意,舍去;
③當(dāng)時(shí),
在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
∴即∴
④當(dāng)時(shí),
在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,符合題意;
綜上所述:. ………………8分
(3)由不等式
即是對(duì)于任意恒成立
令
則
∵,
∴, ∴,
∴在上單調(diào)遞減,∴
∴的取值范圍是. ………………12分
22.(1)證明:連結(jié).
由為的直徑,
15、得
∵ ∴
∵直線與相切于點(diǎn),
∴.
∴∽ ∴. ……………………5分
(2)解:由(1)得∽.
∴∴. ……………………7分
又∵,∴ ……………………10分
23.解:(1)由(為參數(shù))消去,得:直線的普通方程為
……………………2分
又將,代入得
16、
曲線的平面直角坐標(biāo)方程為 ……………………5分
(2)將代入得:
設(shè)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,則,
所以 ……………………10分
24.解:(1)∵且
∴(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)) ……………………3分
∴(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))
∴ ……………………5分
(2)∵對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立等價(jià)于
而 ……………………7分
∴ ∴或 ……………………10分
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