偏微分方程的數(shù)值方法.ppt
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偏微分方程的數(shù)值方法,劉 銘,偏微分方程定解問題,是表述自然與工程技術(shù)領(lǐng)域中各種現(xiàn)象最重要的數(shù)學(xué)工具之一,應(yīng)用十分廣泛。 遺憾的是,絕大多數(shù)偏微分方程的解不能以實(shí)用的解析形式來表示,因而其數(shù)值解就顯得尤為重要。,雖然常微分方程數(shù)值方法的歷史可以追溯到18世紀(jì),一些偏微分方程的數(shù)值方法也在20世紀(jì)初得到研究,但是,它們發(fā)展成為一門理論上嚴(yán)謹(jǐn),實(shí)用上有效的學(xué)科,還是20世紀(jì)50年代以來的事,這主要得益于電子計(jì)算機(jī)的誕生。,偏微分方程的分類,(1)橢圓型方程 (2)拋物型方程(如熱傳導(dǎo)方程) (3)雙曲型方程(如波動(dòng)方程),三種類型的邊界條件: (1)狄里赫利型邊界條件(第一類邊界條件):邊界上的函數(shù)值已知; (2)紐曼型邊界條件(第二類邊界條件):邊界上函數(shù)的法向?qū)?shù)值已知或是一種連續(xù)函數(shù)。 (3)混合邊界條件:邊界條件為第一類邊界條件和第二類邊界條件的線性組合。,,,邊界條件,數(shù)值求解偏微分方程定解問題的主要方法,1.差分方法 2.有限元方法,共同點(diǎn):都是將連續(xù)的偏微分方程進(jìn)行離散,采取適當(dāng)形式將其化為線性代數(shù)方程組,通過求解代數(shù)方程組給出其數(shù)值解。,差分方法,無論是常微分方程還是偏微分方程,初值問題或邊值問題,橢圓型、雙曲型或拋物型二階線性方程,以及高階方程或非線性方程,通常均可利用此法將它們轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組,再借助計(jì)算機(jī)求其數(shù)值解。,,目前,對(duì)于線性偏微分方程定解問題,差分方法已經(jīng)形成了較成熟的算法格式,對(duì)于非線性問題,有效的算法正在迅速發(fā)展之中。,差分方法的準(zhǔn)備工作,(1)把求解的區(qū)域劃分成網(wǎng)格; (2)把求解區(qū)域內(nèi)連續(xù)的函數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的離散的數(shù)值代替。 網(wǎng)格的劃分有不同的方法,有正方形和三角形網(wǎng)格等劃分方法。,差分方法的基礎(chǔ),即泰勒級(jí)數(shù)展開:,差分方法的基本概念 ---用差商代替導(dǎo)數(shù),一階導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式: 二階導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式:,,,隨著精度的不斷提高,可以推導(dǎo)出無窮無盡的差分表達(dá)式。對(duì)于高階精度公式,其優(yōu)點(diǎn)、缺點(diǎn): (1)缺點(diǎn):高階精度的差分需要更多的網(wǎng)格點(diǎn),所以計(jì)算中的每一步都需要更多的計(jì)算時(shí)間。 (2)優(yōu)點(diǎn):要得到相同精度的解,如果使用高階差分格式,網(wǎng)格點(diǎn)的總數(shù)可以更少一些;高階差分格式可以給出質(zhì)量更高的解。,例如,方程 有兩個(gè)自變量x和t,設(shè)t是用于推進(jìn)求解的變量 。i是x方向的標(biāo)號(hào),n是t方向的標(biāo)號(hào)。設(shè)第n層上的數(shù)值已知,求第n+1層上的數(shù)值。,,差分方程的顯式方法與隱式方法,顯式方法,時(shí)間導(dǎo)數(shù) x方向?qū)?shù) 差分方程:,,,,隱式方法,,整理隱式格式,將未知量放在等式左邊,已知量放到右邊,得 隱式格式可化成三對(duì)角形式的方程組。,,顯式方法:每一個(gè)差分方程只包含一個(gè)第n+1層的未知數(shù),從而這個(gè)未知數(shù)可以用直接計(jì)算的方式顯式地求解。顯式方法是最簡(jiǎn)單的方法。,隱式方法:包含第n+1層上的多個(gè)未知量,必須形成一個(gè)代數(shù)方程組。由于需要求解聯(lián)立的代數(shù)方程組,隱式方法通常涉及大型矩陣的運(yùn)算。比顯式方法需要更多、更復(fù)雜的計(jì)算。,顯示方法和隱式方法的優(yōu)缺點(diǎn),1)顯式方法 優(yōu)點(diǎn):方法的建立及編程相對(duì)簡(jiǎn)單。 缺點(diǎn):對(duì)取定的△x,△t必須小于穩(wěn)定性條件對(duì)它提出的限制。在某些情形,△t必須很小,才能保持穩(wěn)定性。要將時(shí)間推進(jìn)計(jì)算到時(shí)間變量的給定值,就需要很長(zhǎng)的計(jì)算機(jī)運(yùn)行時(shí)間 。,2)隱式方法 優(yōu)點(diǎn):用大得多的△t值也能保持穩(wěn)定性。要將時(shí)間推進(jìn)計(jì)算到時(shí)間變量的給定值,需要少得多的時(shí)間步,這將使計(jì)算機(jī)運(yùn)行時(shí)間更短。 缺點(diǎn):方法的建立和編程更復(fù)雜。而且,由于每一時(shí)間步的計(jì)算通常需要大量的矩陣運(yùn)算,每一時(shí)間步的計(jì)算機(jī)運(yùn)行時(shí)間要比顯式方法長(zhǎng)得多。,求解偏微分方程的一些差分方法,,有限元方法,有限元方法屬于變分法的范疇,是古典的變分法和分片多項(xiàng)式插值相結(jié)合的產(chǎn)物。 由于差分法通常采用方形網(wǎng)格,很難適應(yīng)區(qū)域形狀的任意性,而有限元方法可以用多種多樣的網(wǎng)格對(duì)區(qū)域作剖分,可以適應(yīng)各種形狀的區(qū)域。,MATLAB的偏微分方程工具箱(PDE Toolbox)提供了空間二維問題高速、準(zhǔn)確的求解過程。用戶只要使用界面或M文件,畫出所需要的區(qū)域,輸入方程類型和有關(guān)系數(shù),就可顯示解的圖形和輸出解得數(shù)值。,謝 謝!,- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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