專題17三角形與全等三角形

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1、 中國(guó)領(lǐng)先的個(gè)性化教育品牌 精銳教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義 年 級(jí)：初三 輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué) 課時(shí)數(shù)： 學(xué)生姓名：陳銥 學(xué)科教師：俞健聰 課 題 三角形與全等三角形 教學(xué)目的 熟悉常見題型，掌握常見的技巧，加深對(duì)概念的理解 教學(xué)內(nèi)容 一、【中考要求】 了解三角形的有關(guān)概念（內(nèi)角、外角、中線

2、、高、角平分線），會(huì)畫任意三角形的角平分線、中線和高，了解三角形的穩(wěn)定性，探索并掌握三角形中位線的性質(zhì)，了解全等三角形的概念，探索并掌握兩個(gè)三角形全等的條件。 二、【三年中考】 1．(2009溫州)下列長(zhǎng)度的三條線段能組成三角形的是(　　) A．1 cm，2 cm，3. 5 cm B．4 cm，5 cm，9 cm C．5 cm，8 cm，15 cm D．6 cm，8 cm，9 cm 2．(2008嘉興)如圖，△ABC中，已知AB＝8，BC＝6，CA＝4，DE是中位線，則DE＝(　　) A．4 B．3 C．

3、2 D．1 3．(2010寧波)《幾何原本》的誕生，標(biāo)志著幾何學(xué)已成為一個(gè)有著嚴(yán)密理論系統(tǒng)和科學(xué)方法的學(xué)科，它奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．它是下列哪位數(shù)學(xué)家的著作(　　) A．歐幾里得 B．楊輝 C．費(fèi)馬 D．劉徽 4．(2008金華)如圖，在△ABC和△DCB中，AC與BD相交于點(diǎn)O，AB＝DC，AC＝BD. (1)求證：△ABC≌△DCB； (2)△OBC的形狀是________．(直接寫出結(jié)論，不需證明) 5．(2010金華)如圖，在△ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)(不與B，C重合)，F(xiàn)，E分別是AD及其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，CF∥B

4、E.請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使△BDE≌△CDF(不再添加其他線段，不再標(biāo)注或使用其他字母)，并給出證明． (1)你添加的條件是：_________________________________； (2)證明： 三、【考點(diǎn)知識(shí)梳理】 （一）三角形的概念與分類 1．由三條線段首尾順次連接所圍成的平面圖形，叫做三角形． 2．三角形按邊可分為：不等邊三角形和等腰三角形；按角可分為銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形． （二）三角形的性質(zhì) 1．三角形的內(nèi)角和是180，三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，三角形的外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角． 2．三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之

5、差小于第三邊． 3．三角形中的重要線段 (1)角平分線：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，它到三角形各邊的距離相等． (2)中線：三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫做三角形的重心． (3)高：三角形的三條高交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫做三角形的垂心． (4)三邊垂直平分線：三角形的三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫做三角形的外心，外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等． (5)中位線：三角形中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半． 溫馨提示： 三角形的邊、角之間的關(guān)系是三角形中重要的性質(zhì)，在比較角的大小、線段的長(zhǎng)短及求角或線段中經(jīng)常用到。學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)結(jié)合圖形，做到熟練、準(zhǔn)確地應(yīng)用。 三角形的

6、角平分線、高、中線均為線段。 （三）全等三角形的概念與性質(zhì) 1．能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形． 2．全等三角形的性質(zhì) (1)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等； (2)全等三角形的對(duì)應(yīng)線段(包括角平分線、中線、高)相等、周長(zhǎng)相等、面積相等． （四）全等三角形的判定 1．一般三角形全等的判定 (1)如果兩個(gè)三角形的三條邊分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)記為“SSS”； (2)如果兩個(gè)三角形有兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)記為“SAS”； (3)如果兩個(gè)三角形的兩角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)記為“ASA”； (4)如果三

7、角形的兩角及其中一角的對(duì)邊分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)記為“AAS”． 2．直角三角形全等的判定 (1)兩直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩直角三角形全等； (2)一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等； (3)如果兩個(gè)直角三角形的斜邊及一條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形全等，簡(jiǎn)記為“HL”． 3．證明三角形全等的思路 (1)已知兩邊 (2)已知一邊一角 (3)已知兩角 溫馨提示： （1） 判定三角形全等必須有一組對(duì)應(yīng)邊相等； （2） 判定三角形全等時(shí)不能錯(cuò)用“SSA”，“AAA” （五）定義、命題、定理、公理有關(guān)概念 (1)定義是能明確指出概念含義或特征的句

8、子，它必須嚴(yán)密． (2)命題：判斷一件事情的語句． ①命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成． ②命題的真假：正確的命題稱為真命題；錯(cuò)誤的命題稱為假命題． ③互逆命題：在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題．每一個(gè)命題都有逆命題． (3)定理：經(jīng)過證明的真命題叫做定理．因?yàn)槎ɡ淼哪婷}不一定都是真命題，所以不是所有的定理都有逆定理． (4)公理：有一類命題的正確性是人們?cè)陂L(zhǎng)期的實(shí)踐中總結(jié)出來的，并把它們作為判斷其他命題真?zhèn)蔚脑家罁?jù)，這樣的真命題叫公理． 溫馨提示： 對(duì)命題的正確性理解一定要準(zhǔn)確，判定命題不

9、成立時(shí)，有時(shí)可以舉反例說明道理；命題有正、誤，錯(cuò)誤的命題也是命題。 （六）證明 1．證明：根據(jù)題設(shè)、定義、公理及定理，經(jīng)過邏輯推理來判斷一個(gè)命題是否正確，這一推理過程稱為證明． 2．證明的一般步驟：①審題，找出命題的題設(shè)和結(jié)論；②由題意畫出圖形，具有一般性；③用數(shù)學(xué)語言寫出已知、求證；④分析證明的思路；⑤寫出證明過程，每一步應(yīng)有根據(jù)，要推理嚴(yán)密． 溫馨提示： 命題證明應(yīng)根據(jù)證明的步驟一步步進(jìn)行；圖形證明需要分析好已知條件，無需再畫圖重新寫已知、求證，用學(xué)過的知識(shí)經(jīng)過嚴(yán)密的推理，推導(dǎo)出結(jié)論。 四、【中考典例精析】 類型一 三角形的有關(guān)知識(shí) (1)下列長(zhǎng)度的三條線段能組成三角

10、形的是(　　) A．1、2、3.5 B．4、5、9 C．20、15、8 D．5、15、8 (2)在△ABC中，D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，若BC＝5，則DE的長(zhǎng)是(　　) A．2.5 B．5 C．10 D．15 (3)如圖，在△ABC中，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠B＝40，∠ACD＝120，則∠A等于(　　) A．60 B．70 C．80 D．90 方法總結(jié)： （1） 考查三角形的邊或角時(shí)，一定要注意三角形形成的條件：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差

11、小于第三邊； （2） 在求三角形內(nèi)角和外角時(shí)，要明確所求的角屬于哪個(gè)三角形的內(nèi)角和外角，要抓住題目中的等量關(guān)系； 類型二 全等三角形 (1)如圖，已知AC＝FE，BC＝DE，點(diǎn)A、D、B、F在一條直線上，要使△ABC≌△FDE，還需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是_________________________. (2)如圖，點(diǎn)B、F、C、E在同一條直線上，點(diǎn)A、D在直線BE的兩側(cè)，AB∥DE，AC∥DF，BF＝CE.求證：AC＝DF. (3)已知命題：如圖，點(diǎn)A、D、B、E在同一條直線上，且AD＝BE，∠A＝∠FDE，則△ABC≌△DEF. 判

12、斷這個(gè)命題是真命題還是假命題，如果是真命題，請(qǐng)給出證明；如果是假命題，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)適當(dāng)條件使它成為真命題，并加以證明． 方法總結(jié)： （1） 判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，常用下面的思路： ① 有兩角對(duì)應(yīng)相等時(shí)找夾邊或任一邊對(duì)應(yīng)相等； ② 有兩邊對(duì)應(yīng)相等時(shí)找家教或另一邊對(duì)應(yīng)相等。 （2） 結(jié)論不唯一的開放型試題，是近幾年中考試題中的熱點(diǎn)題型，主要考察對(duì)一些知識(shí)點(diǎn)掌握的熟練性、系統(tǒng)性。這類題型要注意多琢磨、多領(lǐng)悟。 五、【易錯(cuò)題探究】 如圖，C是線段AB的中點(diǎn)，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD＝CE. (1)求證：△ACD≌△BCE； (2)若∠D＝50， 求∠B的度數(shù)．

13、 六、【課堂基礎(chǔ)檢測(cè)】 1．下列長(zhǎng)度的三條線段能組成三角形的是(　　) A．1 cm，2 cm，3. 5 cm B．4 cm，5 cm，9 cm C．5 cm，8 cm，15 cm D．6 cm，8 cm，9 cm 2．如圖，∠BDC＝98，∠C＝38，∠B＝23，∠A的度數(shù)是(　　) A．61 B．60 C．37 D．39 3．如圖，△ABC中，∠A＝70，∠B＝60，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，則∠ACD等于(　　) A．100 B．120 C．130

14、 D．150 4．如圖，D、E分別為△ABC的邊AC、BC的中點(diǎn)，將此三角形沿DE折疊，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)P處．若∠CDE＝48，則∠APD等于(　　) A．42 B．48 C．52 D．58 5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB. 求證：BD＝CE. 七、【課后達(dá)標(biāo)練習(xí)】 一、選擇題 1．如圖，D、E分別是△ABC的邊AC和BC的中點(diǎn)，已知DE＝2，則AB＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2．一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為2∶3

15、∶7，這個(gè)三角形一定是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．銳角三角形 D．鈍角三角形 3．如果三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和5，那么這個(gè)三角形的周長(zhǎng)可能是(　　) A．15 B．16 C．8 D．7 4．如圖，為估計(jì)池塘岸邊A、B的距離，小方在池塘的一側(cè)選取一點(diǎn)O，測(cè)得OA＝15米，OB＝10米，A、B間的距離不可能是(　　) A．20米 B．15米 C．10米 D．5米 5．如圖，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分別為A、B，下列結(jié)

16、論中不一定成立的是(　　) A．PA＝PB B．PO平分∠APB C．OA＝OB D．AB垂直平分OP 6．兩根木棒的長(zhǎng)分別為5 cm和7 cm，要選擇第三根木棒，將它們釘成一個(gè)三角形，如果第三根木棒的長(zhǎng)為偶數(shù)，那么第三根木棒的選取情況有(　　) A．3種 B．4種 C．5種 D．6種 7．如圖，∠1＝100，∠2＝145，則∠3＝(　　) A．55 B．65 C．75 D．85 8．如圖，點(diǎn)P是AB上任意一點(diǎn)，∠ABC＝∠ABD，還應(yīng)補(bǔ)充一個(gè)條件，

17、才能推出△APC≌△APD.從下列條件中補(bǔ)充一個(gè)條件，不一定能推出△APC≌△APD的是(　　) A．BC＝BD B．AC＝AD C．∠ACB＝∠ADB D．∠CAB＝∠DAB 9．以下圖形中，面積最大的是(　　) A．對(duì)角線長(zhǎng)為6和10的菱形 B．邊長(zhǎng)為6的正三角形 C．半徑為的圓 D．邊長(zhǎng)分別為6、8、10的三角形 10．如圖，將三角形紙片ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，且DE∥BC，下列結(jié)論中，一定正確的個(gè)數(shù)是(　　) ①△BDF是等腰三角形； ②DE＝BC； ③四邊形ADFE是菱形； ④∠BDF＋∠

18、FEC＝2∠A. A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空題 11．如圖所示，將△ABC沿著DE翻折，B點(diǎn)落到了B′點(diǎn)處．若∠1＋∠2＝80，則∠B′＝________. 12．如圖，D是AB邊上的中點(diǎn)，將△ABC沿過點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的F處，若∠B＝50，則∠BDF＝________度． 13．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，若△ABC的周長(zhǎng)為10 cm，則△DEF的周長(zhǎng)是________ cm. 14．如圖，三角形紙片ABC中，∠A＝65，∠B＝75，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在△

19、ABC內(nèi)，若∠1＝20，則∠2的度數(shù)為________． 15．如下圖，觀察圖中每一個(gè)大三角形中白色三角形的排列規(guī)律，則第5個(gè)大三角形中白色三角形有________個(gè)． … 三、解答題 16．如圖，點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，BC＝EF，AB∥DE，∠A＝∠D. 求證：△ABC≌△DEF. 17．已知：如圖，點(diǎn)A、B、C、D在同一條直線上，EA⊥AD，F(xiàn)D⊥AD，AE＝DF，AB＝DC. 求證：∠ACE＝∠DBF. 精銳教育網(wǎng)站：www.1smart.org - 6 - 精銳教育 考試研究院