2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 攻堅(jiān)克難 壓軸大題多得分 第29練 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系練習(xí) 文.doc

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2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 攻堅(jiān)克難 壓軸大題多得分 第29練 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系練習(xí) 文 [明考情] 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是高考必考題，難度為中高檔，常作為壓軸題出現(xiàn)，大致在第20題的位置. [知考向] 1.直線與橢圓. 2.直線與拋物線. 考點(diǎn)一　直線與橢圓 方法技巧　對于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，一般要把圓錐曲線的方程與直線方程聯(lián)立來處理. (1)設(shè)直線方程，在直線的斜率不確定的情況下要分斜率存在和不存在兩種情況進(jìn)行討論，或者將直線方程設(shè)成x＝my＋b的形式. (2)聯(lián)立直線方程與曲線方程并將其轉(zhuǎn)化成一元二次方程，利用方程根的判別式或根與系數(shù)的關(guān)系得到交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系. (3)一般涉及弦的問題，要用到弦長公式|AB|＝|x1－x2|或|AB|＝|y1－y2|. 1.(xx天津)設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，離心率為.已知A是拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線l的距離為. (1)求橢圓的方程和拋物線的方程； (2)設(shè)l上兩點(diǎn)P，Q關(guān)于x軸對稱，直線AP與橢圓相交于點(diǎn)B(點(diǎn)B異于點(diǎn)A)，直線BQ與x軸相交于點(diǎn)D.若△APD的面積為，求直線AP的方程. 解　(1)設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(－c，0)，依題意，得＝，＝a，a－c＝， 解得a＝1，c＝，p＝2， 于是b2＝a2－c2＝. 所以橢圓的方程為x2＋＝1，拋物線的方程為y2＝4x. (2)設(shè)直線AP的方程為x＝my＋1(m≠0)，與直線l的方程x＝－1聯(lián)立，可得點(diǎn)P， 故點(diǎn)Q. 將x＝my＋1與x2＋＝1聯(lián)立，消去x， 整理得(3m2＋4)y2＋6my＝0，解得y＝0或y＝. 由點(diǎn)B異于點(diǎn)A，可得點(diǎn)B. 由Q，可得直線BQ的方程為(x＋1)－＝0， 令y＝0，解得x＝， 故點(diǎn)D. 所以|AD|＝1－＝. 又因?yàn)椤鰽PD的面積為， 故＝， 整理得3m2－2|m|＋2＝0， 解得|m|＝，所以m＝. 所以直線AP的方程為3x＋y－3＝0或3x－y－3＝0. 2.(xx全國Ⅱ)已知橢圓E：＋＝1的焦點(diǎn)在x軸上，A是E的左頂點(diǎn)，斜率為k(k>0)的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MA⊥NA. (1)當(dāng)t＝4，|AM|＝|AN|時，求△AMN的面積； (2)當(dāng)2|AM|＝|AN|時，求k的取值范圍. 解　(1)設(shè)M(x1，y1)，則由題意知y1>0. 當(dāng)t＝4時，橢圓E的方程為＋＝1，A(－2，0). 由|AM|＝|AN|及橢圓的對稱性知，直線AM的傾斜角為. 因此直線AM的方程為y＝x＋2. 將x＝y(tǒng)－2代入＋＝1，得7y2－12y＝0， 解得y＝0或y＝，所以y1＝. 因此△AMN的面積S△AMN＝2＝. (2)由題意t>3，k>0，A(－，0)， 將直線AM的方程y＝k(x＋)代入＋＝1， 得(3＋tk2)x2＋2tk2x＋t2k2－3t＝0. 由x1(－)＝， 得x1＝， 故|AM|＝|x1＋|＝. 由題設(shè)，直線AN的方程為y＝－(x＋)， 故同理可得|AN|＝. 由2|AM|＝|AN|，得＝，即(k3－2)t＝3k(2k－1)， 當(dāng)k＝時上式不成立，因此t＝. t>3等價于＝<0，即<0. 由此得或解得0， 即m>－1時，x1，2＝22. 從而|AB|＝|x1－x2|＝4. 由題設(shè)知|AB|＝2|MN|，即4＝2|m＋1|， 解得m＝7. 所以直線AB的方程為y＝x＋7. 7.已知圓C過定點(diǎn)F，且與直線x＝相切，圓心C的軌跡為E，曲線E與直線l：y＝k(x＋1)(k∈R)相交于A，B兩點(diǎn). (1)求曲線E的方程； (2)當(dāng)△OAB的面積等于時，求k的值. 解　(1)由題意，點(diǎn)C到定點(diǎn)F和直線x＝的距離相等， 故點(diǎn)C的軌跡E的方程為y2＝－x. (2)由方程組 消去x后，整理得ky2＋y－k＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由根與系數(shù)的關(guān)系，有y1＋y2＝－，y1y2＝－1. 設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)N，則N(－1，0). ∴S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝|ON||y1|＋|ON||y2|＝|ON||y1－y2| ＝1＝. ∵S△OAB＝，∴＝， 解得k＝. 8.已知拋物線C：y2＝2px(p>0)過點(diǎn)A(1，－2). (1)求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程； (2)是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由. 解　(1)將(1，－2)代入y2＝2px， 得(－2)2＝2p1， 所以p＝2. 故所求的拋物線C的方程為y2＝4x，其準(zhǔn)線方程為x＝－1. (2)假設(shè)存在符合題意的直線l，其方程為y＝－2x＋t. 由得y2＋2y－2t＝0. 因?yàn)橹本€l與拋物線C有公共點(diǎn)， 所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－. 又由直線OA與l的距離d＝， 可得＝，解得t＝1. 因?yàn)椋??，1∈， 所以符合題意的直線l存在，其方程為2x＋y－1＝0. 例　(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，且點(diǎn)在橢圓C上. (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)橢圓E：＋＝1，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線y＝kx＋m交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，射線PO交橢圓E于點(diǎn)Q. ①求的值； ②求△ABQ面積的最大值. 審題路線圖 (1)―→ (2)①―→ ②→ → 規(guī)范解答評分標(biāo)準(zhǔn) 解　(1)由題意知＋＝1.又＝， 解得a2＝4，b2＝1.所以橢圓C的方程為＋y2＝1. ……………………………………………………………………………………………2分 (2)由(1)知橢圓E的方程為＋＝1. ①設(shè)P(x0，y0)，＝λ(λ＞0)，由題意知Q(－λx0，－λy0). 因?yàn)椋珁＝1，又＋＝1， 即＝1， 所以λ＝2，即＝2.…………………………………………………………………5分 ②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2). 將y＝kx＋m代入橢圓E的方程， 可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0， 由Δ＞0，可得m2＜4＋16k2， (*) 則有x1＋x2＝－，x1x2＝. 所以|x1－x2|＝.…………………………………………………………8分 因?yàn)橹本€y＝kx＋m與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，m)， 所以△OAB的面積S＝|m||x1－x2|＝＝ ＝2.……………………………………………………………9分 設(shè)＝t，將y＝kx＋m代入橢圓C的方程， 可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， 由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2. (**) 由(*)和(**)可知0＜t≤1， 因此S＝2＝2，…………………………………………………10分 故0＜S≤2，當(dāng)且僅當(dāng)t＝1，即m2＝1＋4k2時取得最大值2.……………11分 由①知，△ABQ的面積為3S，所以△ABQ面積的最大值為6.………………12分 構(gòu)建答題模板 [第一步]　求曲線方程：根據(jù)基本量法確定圓錐曲線的方程. [第二步]　聯(lián)立消元：將直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，得到方程Ax2＋Bx＋C＝0，然后研究判別式，利用根與系數(shù)的關(guān)系. [第三步]　找關(guān)系：從題設(shè)中尋求變量的等量或不等關(guān)系. [第四步]　建函數(shù)：對范圍最值類問題，要建立關(guān)于目標(biāo)變量的函數(shù)關(guān)系. [第五步]　得范圍：通過求解函數(shù)值域或解不等式得目標(biāo)變量的范圍或最值，要注意變量條件的制約，檢查最值取得的條件. 1.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過F1且斜率為1的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列. (1)求橢圓E的離心率； (2)設(shè)點(diǎn)P(0，－1)滿足|PA|＝|PB|，求橢圓E的方程. 解　(1)由橢圓定義知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a， 又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝a， l的方程為y＝x＋c，其中c＝. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組消去y，化簡得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，則x1＋x2＝，x1x2＝. 因?yàn)橹本€AB的斜率為1，所以|AB|＝|x2－x1|＝，即a＝，故a2＝2b2， 所以E的離心率e＝＝＝. (2)設(shè)AB的中點(diǎn)為N(x0，y0)，由(1)知， x0＝＝＝－，y0＝x0＋c＝. 由|PA|＝|PB|，得kPN＝－1，即＝－1， 得c＝3，從而a＝3，b＝3. 故橢圓E的方程為＋＝1. 2.已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的半焦距為c，原點(diǎn)O到經(jīng)過兩點(diǎn)(c，0)，(0，b)的直線的距離為c. (1)求橢圓E的離心率； (2)如圖，AB是圓M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，求橢圓E的方程. 解　(1)過點(diǎn)(c，0)，(0，b)的直線方程為bx＋cy－bc＝0， 則原點(diǎn)O到該直線的距離d＝＝， 由d＝c，得a＝2b＝2，解得離心率＝. (2)方法一　由(1)知，橢圓E的方程為x2＋4y2＝4b2. ① 依題意，圓心M(－2，1)是線段AB的中點(diǎn)，且|AB|＝. 易知，AB與x軸不垂直，設(shè)其方程為y＝k(x＋2)＋1， 代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1x2＝. 由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝， 從而x1x2＝8－2b2. 于是|AB|＝|x1－x2|＝＝. 由|AB|＝，得 ＝，解得b2＝3， 故橢圓E的方程為＋＝1. 方法二　由(1)知，橢圓E的方程為x2＋4y2＝4b2， ① 依題意，點(diǎn)A，B關(guān)于圓心M(－2，1)對稱，且|AB|＝，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x＋4y＝4b2，x＋4y＝4b2， 兩式相減并結(jié)合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2， 得－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0， 易知AB與x軸不垂直，則x1≠x2， 所以AB的斜率kAB＝＝， 因此直線AB的方程為y＝(x＋2)＋1， 代入①得x2＋4x＋8－2b2＝0， 所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2， 于是|AB|＝|x1－x2|＝＝. 由|AB|＝，得 ＝，解得b2＝3， 故橢圓E的方程為＋＝1. 3.設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為，過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為. (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點(diǎn).若＋＝8，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OCD的面積. 解　(1)因?yàn)檫^焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓截得的線段長為，所以＝. 因?yàn)闄E圓的離心率為，所以＝， 又a2＝b2＋c2，可解得b＝，c＝1，a＝. 所以橢圓的方程為＋＝1. (2)由(1)可知F(－1，0)，則直線CD的方程為y＝k(x＋1). 聯(lián)立 消去y得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0. 設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝. 又A(－，0)，B(，0)， 所以＋ ＝(x1＋，y1)(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)(－x1，－y1) ＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝6＋＝8， 解得k＝. 從而x1＋x2＝－＝－， x1x2＝＝0. 所以|x1－x2|＝＝＝， |CD|＝|x1－x2|＝＝. 而原點(diǎn)O到直線CD的距離d＝＝＝， 所以△OCD的面積S＝|CD|d＝＝. 4.(xx北京)已知拋物線C：y2＝2px過點(diǎn)P(1，1)，過點(diǎn)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn). (1)求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程； (2)求證：A為線段BM的中點(diǎn). (1)解　由拋物線C：y2＝2px過點(diǎn)P(1，1)，得p＝， 所以拋物線C的方程為y2＝x， 拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x＝－. (2)證明　由題意，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋(k≠0)， l與拋物線C的交點(diǎn)為M(x1，y1)，N(x2，y2). 由得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0， 則x1＋x2＝，x1x2＝. 因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，1)，所以直線OP的方程為y＝x，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1，x1). 直線ON的方程為y＝x，點(diǎn)B的坐標(biāo)為. 因?yàn)閥1＋－2x1＝ ＝ ＝ ＝＝0， 所以y1＋＝2x1， 故A為線段BM的中點(diǎn). 5.已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)經(jīng)過點(diǎn)，離心率為. (1)求橢圓C的方程； (2)不垂直于坐標(biāo)軸的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，且線段AB的垂直平分線交y軸于點(diǎn)P，求直線l的方程. 解　(1)由題意得解得a＝2，b＝1，c＝， 所以橢圓C的方程是＋y2＝1. (2)設(shè)直線l的方程為y＝kx＋t(k≠0)， A(x1，y1)，B(x2，y2). 聯(lián)立 消去y得(1＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－4＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝. 所以y1y2＝(kx1＋t)(kx2＋t)＝， y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝. 因?yàn)橐訟B為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以＝0， 即x1x2＋y1y2＝＋＝0?5t2＝4＋4k2. 由Δ＝(8kt)2－4(1＋4k2)(4t2－4)＝16(4k2＋1－t2)＞0， 可得4k2＋1＞t2?t＜－或t＞. 設(shè)A，B的中點(diǎn)為D(m，n)，則m＝＝，n＝＝. 因?yàn)橹本€PD與直線l垂直， 所以kPD＝－＝＝＝－， 整理得＝. 由　解得t＝1或－. 當(dāng)t＝－時，Δ＞0不成立. 當(dāng)t＝1時，k＝， 所以直線l的方程為y＝x＋1或y＝－x＋1.