2019-2020年高考數(shù)學(xué)二模試卷 理(含解析).doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二模試卷 理(含解析) 一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.已知集合M=x={x|﹣3<x<1},N={x|x≤3},則集合{x|x≤﹣3或x≥1}=( ) A.M∩N B.M∪N C.?M(M∩N) D.?M(M∪N) 2.圓x2+y2=1與直線y=kx+2沒(méi)有公共點(diǎn)的充要條件是( ) A. B. C. D. 3.復(fù)數(shù)(﹣2﹣i)+的虛部是( ) A.i B. C.﹣i D.﹣ 4.設(shè)P為曲線C:y=x2﹣x+3上的點(diǎn),且曲線C在點(diǎn)P處切線斜率的取值范圍為,則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為( ) A. B. C. D. 5.4張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張,則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為( ) A. B. C. D. 6.已知O,A,B是平面上的三個(gè)點(diǎn),直線AB上有一點(diǎn)C,滿足,則等于( ) A. B. C. D. 7.已知點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為( ) A. B.3 C. D. 8.設(shè)f(x)是連續(xù)的偶函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí)f(x)是單調(diào)函數(shù),則滿足的所有x之和為( ) A.﹣3 B.3 C.﹣8 D.8 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,滿分20分.其中13~15題是選做題,考生只能選做兩題,三題全答的,只計(jì)算前兩題得分.注意:答案不完整不給分) 9.設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ可能取的值為1,2,3,4;P(ξ=k)=αk(k=1,2,3,4),則α=__________. 10.函數(shù)f(x)=的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為_(kāi)_________. 11.已知函數(shù)f(x)=﹣x3+ax2+b(a,b∈R)圖象上任意一點(diǎn)處的切線的斜率都小于1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________. 12.已知f(x)=sin(ω>0),f()=f(),且f(x)在區(qū)間上有最小值,無(wú)最大值,則ω=__________. (坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題) 13.點(diǎn)P(x,y)是橢圓2x2+3y2=12上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則x+2y的最大值為_(kāi)_________. (不等式選講選做題) 14.在三角形ABC中,∠A,∠B,∠C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,其外接圓的半徑R=1,則(4a2+9b2+c2)(++)的最小值為_(kāi)_________. (幾何證明選講選做題) 15. 如圖,AB,CD是⊙O的兩條弦,它們相交于P,連結(jié)AD,BD.已知AD=BD=4,PC=6,那么CD的長(zhǎng)為_(kāi)_________. 三、解答題:本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟. 16.已知向量, (1)若.且. 求θ; (2)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程. 17.某批發(fā)市場(chǎng)對(duì)某種商品的周銷售量(單位:噸)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),最近100周的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示: 周銷售量 2 3 4 頻數(shù) 20 50 30 (1)根據(jù)上面統(tǒng)計(jì)結(jié)果,求周銷售量分別為2噸,3噸和4噸的頻率; (2)已知每噸該商品的銷售利潤(rùn)為2千元,ξ表示該種商品兩周銷售利潤(rùn)的和(單位:千元),若以上述頻率作為概率,且各周的銷售量相互獨(dú)立,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望. 18.如圖,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60,AB=AD=2CD,側(cè)面PA⊥底面ABCD,且△PAD為等腰直角三角形,∠APD=90,M為AP的中點(diǎn). (Ⅰ)求證:AD⊥PB; (Ⅱ)求證:DM∥平面PCB; (Ⅲ)求二面角A﹣BC﹣P的正切值. 19.已知橢圓+y2=1的左焦點(diǎn)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn). (1)求過(guò)點(diǎn)O、F,并且與直線l:x=﹣2相切的圓的方程; (2)設(shè)過(guò)點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G,求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍. 20.在數(shù)列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差數(shù)列,bn,an+1,bn+1成等比數(shù)列(n∈N*). (Ⅰ)求a2,a3,a4和b2,b3,b4,由此猜測(cè){an},{bn}的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)證明你的結(jié)論; (Ⅲ)證明:++…+<. 21.已知函數(shù)f(x)=mx3+nx2(m、n∈R,m≠0)的圖象在(2,f(2))處的切線與x軸平行. (1)求n,m的關(guān)系式并求f(x)的單調(diào)減區(qū)間; (2)證明:對(duì)任意實(shí)數(shù)0<x1<x2<1,關(guān)于x的方程:在(x1,x2)恒有實(shí)數(shù)解 (3)結(jié)合(2)的結(jié)論,其實(shí)我們有拉格朗日中值定理:若函數(shù)f(x)是在閉區(qū)間上連續(xù)不斷的函數(shù),且在區(qū)間(a,b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在,則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x0,使得.如我們所學(xué)過(guò)的指、對(duì)數(shù)函數(shù),正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理?xiàng)l件.試用拉格朗日中值定理證明: 當(dāng)0<a<b時(shí),(可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性). 廣東省廣州市高山文化培訓(xùn)學(xué)校xx高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科) 一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.已知集合M=x={x|﹣3<x<1},N={x|x≤3},則集合{x|x≤﹣3或x≥1}=( ) A.M∩N B.M∪N C.?M(M∩N) D.?M(M∪N) 考點(diǎn):交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算. 專題:集合. 分析:根據(jù)題意和交、并、補(bǔ)集的運(yùn)算,分別求出M∩N、M∪N、?M(M∩N)、?M(M∪N),即可得答案. 解答: 解:因?yàn)榧螹={x|﹣3<x<1},N={x|x≤3}, 所以M∩N={x|﹣3<x<1}, M∪N={x|x≤3}, 則?M(M∩N)={x|x≤﹣3或x≥1}, ?M(M∪N)={x|x>3}, 故選:C. 點(diǎn)評(píng):本題考查交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題. 2.圓x2+y2=1與直線y=kx+2沒(méi)有公共點(diǎn)的充要條件是( ) A. B. C. D. 考點(diǎn):直線與圓相交的性質(zhì). 分析:當(dāng)圓心到直線的距離大于半徑時(shí),直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn),這是充要條件. 解答: 解:依題圓x2+y2=1與直線y=kx+2沒(méi)有公共點(diǎn) 故選C. 點(diǎn)評(píng):本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系;也可以用聯(lián)立方程組,△<0來(lái)解;是基礎(chǔ)題. 3.復(fù)數(shù)(﹣2﹣i)+的虛部是( ) A.i B. C.﹣i D.﹣ 考點(diǎn):復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算. 專題:數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù). 分析:直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案. 解答: 解:(﹣2﹣i)+=+ ==. ∴復(fù)數(shù)(﹣2﹣i)+的虛部是. 故選:B. 點(diǎn)評(píng):本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題. 4.設(shè)P為曲線C:y=x2﹣x+3上的點(diǎn),且曲線C在點(diǎn)P處切線斜率的取值范圍為,則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為( ) A. B. C. D. 考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程. 專題:計(jì)算題;導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用. 分析:由題意求導(dǎo)y′=2x﹣1,從而可得0≤2x﹣1≤1;從而解得. 解答: 解:由題意,y′=2x﹣1; 則由曲線C在點(diǎn)P處切線斜率的取值范圍為知, 0≤2x﹣1≤1; 故≤x≤1; 故點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為. 故選D. 點(diǎn)評(píng):本題考查了導(dǎo)數(shù)的求法及其幾何意義的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題. 5.4張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張,則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為( ) A. B. C. D. 考點(diǎn):古典概型及其概率計(jì)算公式. 專題:概率與統(tǒng)計(jì). 分析:4張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張,基本事件總數(shù)n==6,取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)包含的基本事件個(gè)數(shù)m==4,由此能求出取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率. 解答: 解:4張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4,從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張, 基本事件總數(shù)n==6, 取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)包含的基本事件個(gè)數(shù)m==4, ∴取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為=. 故選:C. 點(diǎn)評(píng):本題考查概率的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意等可能事件的概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用. 6.已知O,A,B是平面上的三個(gè)點(diǎn),直線AB上有一點(diǎn)C,滿足,則等于( ) A. B. C. D. 考點(diǎn):向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義. 分析:本小題主要考查平面向量的基本定理,把一個(gè)向量用平面上的兩個(gè)不共線的向量來(lái)表示,這兩個(gè)不共線的向量作為一組基底參與向量的運(yùn)算,注意題目給的等式的應(yīng)用 解答: 解:∵依題 ∴ 故選A 點(diǎn)評(píng):本題是向量之間的運(yùn)算,運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)單,但應(yīng)用廣泛,向量具有代數(shù)特征和幾何特征,借助于向量可以實(shí)現(xiàn)某些代數(shù)問(wèn)題與幾何問(wèn)題的相互轉(zhuǎn)化. 7.已知點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為( ) A. B.3 C. D. 考點(diǎn):拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì). 專題:計(jì)算題. 分析:先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),再由拋物線的定義可得d=|PF|+|PA|≥|AF|,再求出|AF|的值即可. 解答: 解:依題設(shè)P在拋物線準(zhǔn)線的投影為P,拋物線的焦點(diǎn)為F,則, 依拋物線的定義知P到該拋物線準(zhǔn)線的距離為|PP|=|PF|, 則點(diǎn)P到點(diǎn)A(0,2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和 . 故選A. 點(diǎn)評(píng):本小題主要考查拋物線的定義解題. 8.設(shè)f(x)是連續(xù)的偶函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí)f(x)是單調(diào)函數(shù),則滿足的所有x之和為( ) A.﹣3 B.3 C.﹣8 D.8 考點(diǎn):偶函數(shù). 專題:壓軸題. 分析:f(x)為偶函數(shù)?f(﹣x)=f(x),x>0時(shí)f(x)是單調(diào)函數(shù)?f(x)不是周期函數(shù).所以若f(a)=f(b)則a=b或a=﹣b 解答: 解:∵f(x)為偶函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí)f(x)是單調(diào)函數(shù) ∴若時(shí),必有或, 整理得x2+3x﹣3=0或x2+5x+3=0, 所以x1+x2=﹣3或x3+x4=﹣5. ∴滿足的所有x之和為﹣3+(﹣5)=﹣8, 故選C. 點(diǎn)評(píng):本題屬于函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用,解決此類題型要注意: (1)變換自變量與函數(shù)值的關(guān)系:①奇偶性:f(﹣x)=f(x) ②增函數(shù)x1<x2?f(x1)<f(x2);減函數(shù)x1<x2?f(x1)>f(x2). (2)培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想方法. 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,滿分20分.其中13~15題是選做題,考生只能選做兩題,三題全答的,只計(jì)算前兩題得分.注意:答案不完整不給分) 9.設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ可能取的值為1,2,3,4;P(ξ=k)=αk(k=1,2,3,4),則α=. 考點(diǎn):離散型隨機(jī)變量的期望與方差. 專題:概率與統(tǒng)計(jì). 分析:由已知得α(1+2+3+4)=1,由此能求出α的值. 解答: 解:∵離散型隨機(jī)變量ξ可能取的值為1,2,3,4, P(ξ=k)=αk(k=1,2,3,4), ∴α(1+2+3+4)=1, 解得α=. 故答案為: 點(diǎn)評(píng):本題考查概率的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題. 10.函數(shù)f(x)=的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為. 考點(diǎn):二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì);分段函數(shù)的應(yīng)用. 專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用. 分析:分別在上、上求得函數(shù)f(x)與x軸所圍成的封閉圖形的面積,再把這兩個(gè)值相加,即得所求. 解答: 解:在上,函數(shù)f(x)=x+1與x軸所圍成的封閉圖形的面積為11=, 在上,函數(shù)f(x)=cosx與x軸所圍成的封閉圖形的面積為cosxdx=sinx=1, ∴函數(shù)f(x)=的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為+1=, 故答案為:. 點(diǎn)評(píng):本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用,定積分的意義,求定積分,屬于基礎(chǔ)題. 11.已知函數(shù)f(x)=﹣x3+ax2+b(a,b∈R)圖象上任意一點(diǎn)處的切線的斜率都小于1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)的幾何意義;導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算;直線的斜率. 專題:計(jì)算題;轉(zhuǎn)化思想;綜合法. 分析:函數(shù)f(x)=﹣x3+ax2+b(a,b∈R)圖象上任意一點(diǎn)處的切線的斜率都小于1,可得出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最大值小于1. 解答: 解:由題意f′(x)=﹣3x2+2ax, 當(dāng)x=時(shí),f′(x)取到最大值,是. ∴,解得. 故答案為:. 點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,解題的關(guān)鍵是理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義,能根據(jù)其幾何意義將題設(shè)中的條件任意一點(diǎn)處的切線的斜率都小于1轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的最大值小于1.正確的轉(zhuǎn)化基于對(duì)概念的正確理解與領(lǐng)會(huì),學(xué)習(xí)時(shí)要注意領(lǐng)會(huì)揣摸概念的含義. 12.已知f(x)=sin(ω>0),f()=f(),且f(x)在區(qū)間上有最小值,無(wú)最大值,則ω=. 考點(diǎn):由y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式. 專題:計(jì)算題;作圖題;壓軸題. 分析:根據(jù)f()=f(),且f(x)在區(qū)間上有最小值,無(wú)最大值,確定最小值時(shí)的x值,然后確定ω的表達(dá)式,進(jìn)而推出ω的值. 解答: 解:如圖所示, ∵f(x)=sin, 且f()=f(), 又f(x)在區(qū)間內(nèi)只有最小值、無(wú)最大值, ∴f(x)在處取得最小值. ∴ω+=2kπ﹣(k∈Z). ∴ω=8k﹣(k∈Z). ∵ω>0, ∴當(dāng)k=1時(shí),ω=8﹣=; 當(dāng)k=2時(shí),ω=16﹣=,此時(shí)在區(qū)間內(nèi)已存在最大值. 故ω=. 故答案為: 點(diǎn)評(píng):本題考查由y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定其解析式,考查邏輯思維能力,分析判斷能力,是基礎(chǔ)題. (坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題) 13.點(diǎn)P(x,y)是橢圓2x2+3y2=12上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則x+2y的最大值為. 考點(diǎn):橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì). 專題:計(jì)算題. 分析:先把橢圓2x2+3y2=12化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得,由此得到這個(gè)橢圓的參數(shù)方程為:(θ為參數(shù)),再由三角函數(shù)知識(shí)求x+2y的最大值. 解答: 解:把橢圓2x2+3y2=12化為標(biāo)準(zhǔn)方程, 得, ∴這個(gè)橢圓的參數(shù)方程為:,(θ為參數(shù)) ∴x+2y=, ∴. 故答案為:. 點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的參數(shù)方程和最大值的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意三角函數(shù)知識(shí)的靈活運(yùn)用. (不等式選講選做題) 14.在三角形ABC中,∠A,∠B,∠C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,其外接圓的半徑R=1,則(4a2+9b2+c2)(++)的最小值為144. 考點(diǎn):余弦定理;正弦定理. 專題:解三角形. 分析:由正弦定理求出、、,代入式子化簡(jiǎn)后,利用基本不等式求出式子的最小值. 解答: 解:因?yàn)橥饨訄A的半徑R=1,所以===2, 則、、, 所以(4a2+9b2+c2)(++) =(4a2+9b2+c2)(++) =16++++36++++4 =56+(+)+(+)+(+) ≥56+2+2+2 =56+48+16+24=144,(當(dāng)且僅當(dāng)c=a=b時(shí)取等號(hào)), 故所求的最小值是144, 故答案為:144. 點(diǎn)評(píng):本題考查正弦定理,以及基本不等式的應(yīng)用,注意等號(hào)成立的條件的驗(yàn)證,屬于中檔題. (幾何證明選講選做題) 15. 如圖,AB,CD是⊙O的兩條弦,它們相交于P,連結(jié)AD,BD.已知AD=BD=4,PC=6,那么CD的長(zhǎng)為8. 考點(diǎn):與圓有關(guān)的比例線段. 專題:推理和證明;立體幾何. 分析:根據(jù)AD=BD=4,=,∠DAB=∠DBA,確定出∠DAB=∠ACD,∠CDA=∠ADP,判斷△APD∽△CAD,運(yùn)用對(duì)應(yīng)邊成比例即可判斷求解. 解答: 解: 連接AC,DP=x,CD=6+x ∵AD=BD=4, ∴=,∠DAB=∠DBA, ∴∠ACD=∠DAB, 即∠DAB=∠ACD, ∵∠CDA=∠ADP, ∴△APD∽△CAD, 對(duì)應(yīng)邊成比例, ∴=, =, 化簡(jiǎn)計(jì)算得出:x2+6x﹣16=0,求解得出:x=2,x=﹣8(舍去) ∴x+6=2+6=8, 故答案為:8 點(diǎn)評(píng):本題考查了圓周角,弦長(zhǎng)問(wèn)題,判斷有關(guān)的角相等問(wèn)題,得出相似三角形,屬于中檔題. 三、解答題:本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟. 16.已知向量, (1)若.且. 求θ; (2)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程. 考點(diǎn):正弦函數(shù)的對(duì)稱性;數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系;正弦函數(shù)的單調(diào)性. 專題:計(jì)算題. 分析:(1)利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)可得sinθ+cosθ=0,再根據(jù)θ的范圍,求得θ的值. (2)化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為 y=,由 得求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間,由 求得對(duì)稱軸方程. 解答: 解(1),∴sinθ+cosθ=0. ∵. (2)= ==. 由得求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是:. 由.得對(duì)稱軸方程是:. 點(diǎn)評(píng):本題考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用,兩個(gè)向量垂直的性質(zhì),同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,正弦函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性. 化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,是解題的關(guān)鍵. 17.某批發(fā)市場(chǎng)對(duì)某種商品的周銷售量(單位:噸)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),最近100周的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示: 周銷售量 2 3 4 頻數(shù) 20 50 30 (1)根據(jù)上面統(tǒng)計(jì)結(jié)果,求周銷售量分別為2噸,3噸和4噸的頻率; (2)已知每噸該商品的銷售利潤(rùn)為2千元,ξ表示該種商品兩周銷售利潤(rùn)的和(單位:千元),若以上述頻率作為概率,且各周的銷售量相互獨(dú)立,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望. 考點(diǎn):離散型隨機(jī)變量的期望與方差;頻率分布表. 專題:計(jì)算題. 分析:(1)因?yàn)闃颖救萘渴?00,根據(jù)表格可知周銷售量為2噸,3噸和4噸的頻數(shù),根據(jù)所給的頻數(shù)除以100,得到要求的頻率. (2)ξ表示該種商品兩周銷售利潤(rùn)的和,且各周的銷售量相互獨(dú)立,根據(jù)表格得到變量ξ的可能取值,對(duì)應(yīng)變量的事件,根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率做出分布列和期望. 解答: 解:(1)根據(jù)表格可知周銷售量為2噸,3噸和4噸的頻率分別為=0.2,=0.5和=0.3. (2) ξ的可能值為8,10,12,14,16,且 P(ξ=8)=0.22=0.04, P(ξ=10)=20.20.5=0.2, P(ξ=12)=0.52+20.20.3=0.37, P(ξ=14)=20.50.3=0.3, P(ξ=16)=0.32=0.09. ∴ξ的分布列為 ξ 8 10 12 14 16 P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 ∴Eξ=80.04+100.2+120.37+140.3+160.09=12.4(千元) 點(diǎn)評(píng):本小題主要考查頻率、概率、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力,考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率,是一個(gè)綜合題目. 18.如圖,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60,AB=AD=2CD,側(cè)面PA⊥底面ABCD,且△PAD為等腰直角三角形,∠APD=90,M為AP的中點(diǎn). (Ⅰ)求證:AD⊥PB; (Ⅱ)求證:DM∥平面PCB; (Ⅲ)求二面角A﹣BC﹣P的正切值. 考點(diǎn):二面角的平面角及求法;直線與平面平行的判定. 專題:空間位置關(guān)系與距離;空間角. 分析:(Ⅰ)取AD的中點(diǎn)G,連結(jié)PG、GB、BD,由已知得PG⊥AD,△ABD是正三角形,BG⊥AD,從而AD⊥平面PGB,由此能證明AD⊥PB. (Ⅱ)取PB的中點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)MF、CF,由已知得四邊形CDFM是平行四邊形,由此能證明DM∥平面PCB. (Ⅲ)取BC的中點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)PE、GE,則∠PEC是二面角A﹣BC﹣P的平面角,由此能求出二面角A﹣BC﹣P的正切值. 解答: (Ⅰ)證明:取AD的中點(diǎn)G,連結(jié)PG、GB、BD. … ∵PA=PD,∴PG⊥AD.… ∵AB=AD,且∠DAB=60, ∴△ABD是正三角形,BG⊥AD.… ∴AD⊥平面PGB,∴AD⊥PB.… (Ⅱ)證明:取PB的中點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)MF、CF, ∵M(jìn)、F分別為PA、PB的中點(diǎn), ∴MF∥AB,且MF=.… ∵四邊形ABCD是直角梯形,AB∥CD,且AB=2CD, ∴MF∥CD,且MF=CD.… ∴四邊形CDFM是平行四邊形,∴DM∥CF. … ∵CF?平面PCB,∴DM∥平面PCB. … (Ⅲ)解:取BC的中點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)PE、GE, ∵四邊形ABCD是直角梯形,且AB∥CD, ∴GE∥AB,GE⊥BC,∴BC⊥平面PEC,∴BC⊥PE, ∴∠PEC是二面角A﹣BC﹣P的平面角.… 設(shè)DC=a,則AB=AD=2a, ∵G、E分別為AD、BC中點(diǎn),∴GE=. ∵G是等腰直角三角形PAD斜邊的中點(diǎn),∴PG=.… ∴tan∠PEG=,∴二面角A﹣BC﹣P的正切值為.… 點(diǎn)評(píng):本題考查異面直線垂直的證明,考查直線與平面平行的證明,考查二面角的正切值的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng). 19.已知橢圓+y2=1的左焦點(diǎn)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn). (1)求過(guò)點(diǎn)O、F,并且與直線l:x=﹣2相切的圓的方程; (2)設(shè)過(guò)點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G,求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍. 考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題;橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì). 專題:圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題. 分析:(1)由a2=2,b2=1,可得c=1,F(xiàn)(﹣1,0),由于圓過(guò)點(diǎn)O、F,可得圓心M在直線x=﹣上,設(shè)M,則圓半徑 r==,由|OM|=r,得=,解得t即可得出. (2)設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)(k≠0),代入橢圓方程可得(1+2k2)x2+4k2x+2k2﹣2=0,由于直線AB過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F,可得方程有兩個(gè)不等實(shí)根.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)N(x0,y0).利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系可得AB的垂直平分線NG的方程為,令y=0,得xG=﹣+,即可得出. 解答: 解:(1)∵a2=2,b2=1,∴c=1,F(xiàn)(﹣1,0), ∵圓過(guò)點(diǎn)O、F,∴圓心M在直線x=﹣上, 設(shè)M,則圓半徑 r==, 由|OM|=r,得=,解得t=. ∴所求圓的方程為=. (2)設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)(k≠0), 代入,整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2﹣2=0, ∵直線AB過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F,∴方程有兩個(gè)不等實(shí)根. 記A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)N(x0,y0). ∴x1+x2=﹣, ∴AB的垂直平分線NG的方程為,=,y0=k(x0+1)=. 令y=0,得xG=x0+ky0=﹣+=﹣=﹣+, ∵k≠0,∴<xG<0. ∴點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為. 點(diǎn)評(píng):本題考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、線段的垂直平分線,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題. 20.在數(shù)列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差數(shù)列,bn,an+1,bn+1成等比數(shù)列(n∈N*). (Ⅰ)求a2,a3,a4和b2,b3,b4,由此猜測(cè){an},{bn}的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)證明你的結(jié)論; (Ⅲ)證明:++…+<. 考點(diǎn):等比數(shù)列的通項(xiàng)公式;等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;數(shù)列與不等式的綜合;數(shù)學(xué)歸納法. 專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列. 分析:(Ⅰ)由an,bn,an+1成等差數(shù)列,bn,an+1,bn+1成等比數(shù)列得關(guān)系式2bn=an+an+1,an+12=bn?bn+1 把a(bǔ)1=2,b1=4循環(huán)代入上面兩個(gè)式子可求a2,a3,a4和b2,b3,b4,并由此猜測(cè)出{an},{bn}的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明; (Ⅲ)當(dāng)n=1時(shí)直接驗(yàn)證,當(dāng)n大于等于2時(shí)放縮后利用裂項(xiàng)相消法證明. 解答: (Ⅰ)解:由已知得2bn=an+an+1,an+12=bn?bn+1. 又a1=2,b1=4, 由此可得a2=6,a3=12,a4=20,b2=9,b3=16,b4=25. 猜測(cè)an=n(n+1),bn=(n+1)2. (Ⅱ)用數(shù)學(xué)歸納法證明: ①當(dāng)n=1時(shí),由(Ⅰ)可得結(jié)論成立. ②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即ak=k(k+1),bk=(k+1)2. 那么當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1=2bk﹣ak=2(k+1)2﹣k(k+1)=(k+1)(k+2), bk+1==(k+2)2. 所以當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立. 由①②可知an=n(n+1),bn=(n+1)2對(duì)一切正整數(shù)都成立. (Ⅲ)證明:=<. n≥2時(shí),由(Ⅰ)知an+bn=(n+1)(2n+1)>2(n+1)n. 故++…+<+ =+(﹣+﹣+…+﹣) =+(﹣)<+=. 綜上,原不等式成立. 點(diǎn)評(píng):本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,是數(shù)列與不等式的綜合題,考查了數(shù)學(xué)歸納法,訓(xùn)練了放縮法及列項(xiàng)相消法證明不等式,是中檔題. 21.已知函數(shù)f(x)=mx3+nx2(m、n∈R,m≠0)的圖象在(2,f(2))處的切線與x軸平行. (1)求n,m的關(guān)系式并求f(x)的單調(diào)減區(qū)間; (2)證明:對(duì)任意實(shí)數(shù)0<x1<x2<1,關(guān)于x的方程:在(x1,x2)恒有實(shí)數(shù)解 (3)結(jié)合(2)的結(jié)論,其實(shí)我們有拉格朗日中值定理:若函數(shù)f(x)是在閉區(qū)間上連續(xù)不斷的函數(shù),且在區(qū)間(a,b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在,則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x0,使得.如我們所學(xué)過(guò)的指、對(duì)數(shù)函數(shù),正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理?xiàng)l件.試用拉格朗日中值定理證明: 當(dāng)0<a<b時(shí),(可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性). 考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程;導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算. 專題:新定義. 分析:(1)先對(duì)函數(shù)f(x)進(jìn)行求導(dǎo),又根據(jù)f(2)=0可得到關(guān)于m的代數(shù)式.再將m的代數(shù)式n代入函數(shù)f(x)中消去n,可得f(x)=3mx2﹣6mx,當(dāng)f(x)>0時(shí)x的取值區(qū)間為所求. (2)由于=m(x12+x22+x1x2﹣3x1﹣3x2)從而,可化為3x2﹣6x﹣x12﹣x22﹣x1x2+3x1+3x2=0,令h(x)=3x2﹣6x﹣x12﹣x22﹣x1x2+3x1+3x2,計(jì)算則h(x1)h(x2)<0,根據(jù)零點(diǎn)存在定理得h(x)=0在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)必有解,從而得到證明; (3)令g(x)=lnx,x∈(a,b),則g(x)符合拉格朗日中值定理的條件,即存在x0∈(a,b),使,由于函數(shù)g′(x)=的性質(zhì)即可證得結(jié)果. 解答: 解:(1)因?yàn)閒(x)=3mx2+2nx,﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 由已知有f(2)=0,所以3m+n=0即n=﹣3m﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 即f(x)=3mx2﹣6mx,由f(x)>0知mx(x﹣2)>0. 當(dāng)m>0時(shí)得x<0或x>2,f(x)的減區(qū)間為(0,2);﹣﹣﹣﹣﹣ 當(dāng)m<0時(shí)得:0<x<2,f(x)的減區(qū)間為(﹣∞,0)和(2,+∞);﹣﹣﹣﹣﹣ 綜上所述:當(dāng)m>0時(shí),f(x)的減區(qū)間為(0,2); 當(dāng)m<0時(shí),f(x)的減區(qū)間為(﹣∞,0)和(2,+∞);﹣﹣﹣﹣﹣ (2)∵=m(x12+x22+x1x2﹣3x1﹣3x2),﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴, 可化為3x2﹣6x﹣x12﹣x22﹣x1x2+3x1+3x2=0,令h(x)=3x2﹣6x﹣x12﹣x22﹣x1x2+3x1+3x2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 則h(x1)=(x1﹣x2)(2x1+x2﹣3),h(x2)=(x2﹣x1)(x1+2x2﹣3), 即h(x1)h(x2)=﹣(x1﹣x2)2(2x1+x2﹣3)(x1+2x2﹣3)又因?yàn)?<x1<x2<1,所以(2x1+x2﹣3)<0,(x1+2x2﹣3)<0,即h(x1)h(x2)<0,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 故h(x)=0在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)必有解, 即關(guān)于x的方程在(x1,x2)恒有實(shí)數(shù)解﹣﹣﹣﹣﹣ (3)令g(x)=lnx,x∈(a,b),﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 則g(x)符合拉格朗日中值定理的條件,即存在x0∈(a,b), 使﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 因?yàn)間′(x)=,由x∈(a,b),0<a<b可知g′(x)∈(),b﹣a>0﹣﹣﹣﹣﹣ 即, ∴﹣﹣﹣﹣﹣ 點(diǎn)評(píng):本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、不等式的解法\拉格朗日中值定理等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于中檔題.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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