2019-2020年高考數(shù)學 數(shù)列 專題復習教案 蘇教版.doc

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2019-2020年高考數(shù)學 數(shù)列 專題復習教案 蘇教版 【例1】在數(shù)列中，（），則﹦ ． 【分析】由得，∴是等差數(shù)列，∴． 【答案】． 【例2】數(shù)列滿足，，則 ． 【分析】∵，∴，，，， ，……．∴該數(shù)列周期為4．∴． 【答案】． 【例3】在等差數(shù)列中，若，則﹦ ． 【分析】∵數(shù)列是等差數(shù)列，∴由得，． ∴． 【答案】8． 【例4】已知的前n項之和…﹦ ． 【分析】可求得． 則…﹦． 【答案】67． 【例5】設(shè)是數(shù)列的前項和，若不等式對任何等差數(shù)列及任何正整數(shù)恒成立，則的最大值是 ． 【分析】當時，；當時，由得． 設(shè)，則．又﹦，∴． 綜上的最大值是. 【答案】． 【例6】設(shè)為數(shù)列的前項和，，其中是常數(shù)． （1）求及； （2）若對于任意的，成等比數(shù)列，求的值． 解：（1）當，， 當時， 又當時合上式，∴（）． （2）∵成等比數(shù)列，∴， 即， 整理得：對任意的都成立， ∴或． 【例7】數(shù)列中，（），數(shù)列滿足（）． （1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列； （2）求數(shù)列中的最大項與最小項，并說明理由． 解：（1）， 而（），∴（）． ∴數(shù)列是等差數(shù)列． （2）依題意有，而，∴． 函數(shù)在（3.5，）上為減函數(shù)，在（，3.5）上也為減函數(shù)． 故當n＝4時，取最大值3，n＝3時，取最小值-1． 【例8】在等差數(shù)列中，，前項和滿足條件． （1）求數(shù)列的通項公式； （2）記，求數(shù)列的前項和． 解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得． 又，∴．∴．∴． （2）由，得． ∴．① 當時，； 當且時，．② ①－②得， ∴． 綜上． 【例9】某個體戶，一月初向銀行貸款1萬元作為開店啟動資金，每月月底獲得的利潤是該月月初投入資金的20%，每月月底需要交納所得稅為該月利潤的10%，每月的生活費開支為540元，余額作為資金全部投入下個月的經(jīng)營，如此不斷繼續(xù)，問到這年年底該個體戶還貸款前尚余多少資金？若銀行貸款的年利息為5%，問該個體戶還清銀行貸款后還有多少資金？（參考數(shù)據(jù)：．結(jié)果精確到0.1元） 解：設(shè)第個月月底的余額為元，則， ，于是 ＝＝． 還清銀行貸款后剩余資金為． 答：到這年年底該個體戶還貸款前尚余資金元；還清銀行貸款后還有資金元． 【例10】已知分別以和為公差的等差數(shù)列和滿足，． （1）若=18，且存在正整數(shù)，使得，求證：； （2）若，且數(shù)列，，…，，，，…，的前項和滿足，求數(shù)列和的通項公式； （3）在（2）的條件下，令，，，且，問不等式≤ 是否對一切正整數(shù)恒成立？請說明理由． 解：（1）依題意，， 即， 即，等號成立的條件為，即． ，等號不成立，原命題成立． （2）由得，即， 即，得，，． 則，． （3）在（2）的條件下，，． 要使≤，即要滿足≤0． 當時，，數(shù)列單調(diào)減；單調(diào)增． 當正整數(shù)時，，，； 當正整數(shù)時，，，； 當正整數(shù)時，，，． 則不等式≤對一切的正整數(shù)恒成立． 同理，當時，也有不等式≤對一切的正整數(shù)恒成立． 綜上所述，不等式≤對一切的正整數(shù)恒成立． 【練習1】在數(shù)列中，（），則其前8項的和= ． 【答案】． 【練習2】已知數(shù)列滿足，當時，，則數(shù)列的前100項和＝　　　　　　?。? 【答案】1849． 【練習3】在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則 ． 【答案】6． 【練習4】已知數(shù)列的前項和（），第項滿足，則﹦ ． 【答案】7． 【練習5】已知數(shù)列中，（是與無關(guān)的實數(shù)常數(shù)），且滿足，則實數(shù)的取值范圍是___________． 【答案】． 【練習6】數(shù)列的前項和記為． （1）求的通項公式； （2）等差數(shù)列的各項為正，其前項和為，且，又成等比數(shù)列，求． 解：（1）由可得， 兩式相減得． 又，∴．∴是首項為，公比為的等比數(shù)列．∴． （2）設(shè)的公差為，由得，可得，∴． 故可設(shè)．又， 由題意可得，解得． ∵等差數(shù)列的各項為正，∴ ． ∴． 【練習7】已知是公差為的等差數(shù)列，它的前項和為,,． （1）求公差的值； （2）若，求數(shù)列中的最大項和最小項的值； （3）若對任意的，都有成立，求的取值范圍． 解：（1）∵，∴，解得． （2）∵，∴數(shù)列的通項公式為． ∴． ∵函數(shù)在和上分別是單調(diào)減函數(shù)， ∴，又當時，． ∴數(shù)列中的最大項是，最小項是． （3）由得． 又函數(shù)在和上分別是單調(diào)減函數(shù)， 且時，；時，． ∵對任意的，都有，∴，∴． ∴的取值范圍是． 【練習8】等差數(shù)列的各項均為正數(shù)，，前項和為，為等比數(shù)列， ，且．（1）求與；（2）證明：． 解：（1）設(shè)的公差為，的公比為，則，，． 依題意有．解得或(舍去) ． ∴． （2）∵， ∴ ． 【練習9】某企業(yè)進行技術(shù)改造需向銀行貸款，有兩種方案，甲方案：一次性貸款10萬元，第一年便可獲利1萬元，以后每年比前一年增加30%的利潤；乙方案：每年貸款1萬元，第一年可獲利1萬元，以后每年比前一年增加5千元；兩種方案的使用期都是10年，到期一次性歸還本息．若銀行兩種形式的貸款都按年息5%的復利計算，試比較兩種方案中，哪種獲利更多？（?。? 解：①甲方案獲利： （萬元），銀行貸款本息：（萬元），故甲方案純利：（萬元）． ②乙方案獲利： （萬元），銀行本息和： （萬元），故乙方案純利：（萬元）． 綜上可知，甲方案更好． 【練習10】設(shè)向量，函數(shù)在上的最小值與最大值的和為，又數(shù)列滿足： （1）求證：； （2）求數(shù)列的通項公式； （3）設(shè)，試問數(shù)列中，是否存在正整數(shù)，使得對于任意的正整數(shù)，都有成立？證明你的結(jié)論． 解：（1）∵在[0,1]上為增函數(shù)， ∴﹒ （2）∵， ∴﹒ 兩式相減得， ∴． 兩式相減得． 又，，∴ ． （3）由及當時﹒ 又也滿足，∴存在使得對所有的成立．