2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 方法應(yīng)用篇 專題3.1 配方法 專題(講)理.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 方法應(yīng)用篇 專題3.1 配方法 專題(講)理 一、配方法的定義:配方法是對數(shù)學(xué)式子進行一種定向變形(配成“完全平方”)的技巧,通過配方找到已知和未知的聯(lián)系,從而化繁為簡.如何配方,需要我們根據(jù)題目的要求,合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧,完成配方.配方法是數(shù)學(xué)中化歸思想應(yīng)用的重要方法之一. 二、配方法的基本步驟:配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項完全平方公式,具體操作時通過加上一次項系數(shù)一半的平方,配湊成完全平方式,注意要減去所添的項,最常見的配方是進行恒等變形,使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方.它主要適用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解等問題.如: 三、常見的基本配方形式 可得到各種基本配方形式,如: ; ; ; 結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識和性質(zhì),相應(yīng)有另外的一些配方形式,如: ; 。 本文就高中階段出現(xiàn)這類問題加以類型的總結(jié)和方法的探討. 1 配方法與函數(shù) 二次函數(shù)或通過換元能化為二次函數(shù)的函數(shù)均可用配方法求其最值.在換元的過程中要注意引入?yún)?shù)的取值范圍。 例1.【xx高考浙江文數(shù)】已知函數(shù)f(x)=x2+bx,則“b<0”是“f(f(x))的最小值與f(x)的最小值相等”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】 由題意知,最小值為. 令,則, 當(dāng)時,的最小值為,所以“”能推出“的最小值與的最小值相等”; 當(dāng)時,的最小值為0,的最小值也為0,所以“的最小值與的最小值相等”不能推出“”.故選A. 例2.【xx屆浙江省臺州中學(xué)高三上學(xué)期第三次統(tǒng)練】已知函數(shù). (1)當(dāng)時,若存在,使得,求實數(shù)的取值范圍; (2)若為正整數(shù),方程的兩個實數(shù)根滿足,求的最小值. 【答案】(1)或;(2)11. 試題解析:(1)當(dāng)時, 由題意可知, 在上有兩個不等實根,或在上有兩個不等實根,則或, 解得或 即實數(shù)的取值范圍是或. (2)設(shè),則由題意得,即 , 所以,由于 ①當(dāng)時, ,且無解, ②當(dāng)時, ,且,于是無解, ③當(dāng)時, ,且,由,得,此時有解, 綜上所述, ,當(dāng)時取等號,即的最小值為11. 2 配方法與三角函數(shù) 在三角函數(shù)中,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式中的平方關(guān)系及其變形 、二倍角公式及其變形為考察配方法提供了平臺, 例3.【xx屆寧夏銀川一中高三上學(xué)期第二次月考】函數(shù)f(x)=cos2x+sinx的最小值為________. 【答案】-2 【解析】 ,所以當(dāng) 時, 取最小值 3配方法與解三角形 在解三角形中,余弦定理為考察配方法提供了平臺,因為對于三角形的三邊,如果能用一個變量給表示出來,就可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題,可以通過配方法來解。 例4.【xx屆河北省石家莊市二?!吭谙ED數(shù)學(xué)家海倫的著作《測地術(shù)》中記載了著名的海倫公式,利用三角形的三條邊長求三角形面積,若三角形的三邊長為, , ,其面積,這里.已知在中, , ,其面積取最大值時__________. 【答案】 4 配方法與平面向量 例5.【xx屆山東省德州市高三上學(xué)期期中】已知向量. (1)當(dāng)時,求的值; (2)當(dāng)時, (為實數(shù)),且,試求的最小值. 【答案】(1) 或;(2) . 【解析】試題分析:(1)由可得,整理得,解方程可得的值;(2)由可得,根據(jù)數(shù)量積的計算并將代入整理得,因此,結(jié)合二次函數(shù)最值的求法可得最小值為。 試題解析: (1)∵, ∴, 整理得, 解得或. ∴或。 (2)∵, ∴, 即 當(dāng)時, , ∴ 式化簡得 ∴, ∴當(dāng)時, 取得最小值,且最小值是. 5配方法與不等式 例6.【xx年高考二輪】已知不等式|y+4|-|y|≤2x+對任意實數(shù)x,y都成立,則常數(shù)a的最小值為( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 ∵|y+4|-|y|≤|y+4-y|=4, ∴(|y+4|-|y|)max=4,要使不等式對任意實數(shù)x,y都成立,應(yīng)有2x+≥4, ∴a≥-(2x)2+42x=-(2x-2)2+4, 令f(x)=-(2x-2)2+4,則a≥f(x)max=4,∴a的最小值為4,故選D. 6 配方法與導(dǎo)數(shù) 例7.【xx屆廣東省深圳市高級中學(xué)高三11月考】設(shè)和是函數(shù)的兩個極值點,其中. (1)求的取值范圍; (2)若,求的最大值. 【答案】(1) . (2) 試題解析: (1)函數(shù)的定義域為 因為 所以. 由題意得方程有兩個不等的正根m,n(其中). 故,且. 所以 即的取值范圍是. (2)當(dāng)時, . 設(shè), 則, 于是有, 所以 , 令, 則. 所以在上單調(diào)遞減, 所以. 故的最大值是。 7 配方法與數(shù)列 例 8.數(shù)列{an}中,如果存在ak,使得ak>ak-1且ak>ak+1成立(其中k≥2,k∈N*),則稱ak為數(shù)列{an}的峰值.若an=-3n2+15n-18,則{an}的峰值為( ) A.0 B.4 C. D. 【答案】A 【解析】 因為an=-3+,且n∈N*,所以當(dāng)n=2或n=3時,an取最大值,最大值為a2=a3=0.故選A. 8 配方法與立體幾何 例9.已知菱形ABCD的邊長為,∠ABC=60,將菱形ABCD沿對角線AC折成如圖所示的四面體,點M為AC的中點,∠BMD=60,P在線段DM上,記DP=x,PA+PB=y(tǒng),則函數(shù)y=f(x)的圖象大致為( ) 【答案】D 【解析】由題意可知AM=AB=,BM=MD=1,∵DP=x,∴MP=1-x, 在Rt△AMP中,PA==, 在△BMP中,由余弦定理得PB==, ∴y=PA+PB=+=+(0≤x≤1) ∵當(dāng)0≤x≤時,函數(shù)y單調(diào)遞減,當(dāng)x≥1時,函數(shù)y單調(diào)遞增,∴對應(yīng)的圖象為D. 9 配方法與解析幾何 例10.已知點的坐標(biāo)為,是拋物線上不同于原點的相異的兩個動點,且. (1)求證:點共線; (2)若,當(dāng)時,求動點的軌跡方程. 【答案】(1)證明見解析;(2). 【解析】 (1)設(shè),則, 因為,所以,又,所以 因為,, 且, 所以,又都過點,所以三點共線. 【反思提升】綜合上面的九種類型,配方法在高考題目中頻繁出現(xiàn),配方法是對數(shù)學(xué)式子進行一種定向的變形技巧,由于這種配成“完全平方”的恒等變形,使問題的結(jié)構(gòu)發(fā)生了轉(zhuǎn)化,從中可找到已知與未知之間的聯(lián)系,促成問題的解決.主要用于已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解以及與最值一類有關(guān)的問題中.對于應(yīng)用配方法的意識在于平時的訓(xùn)練與積累。- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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