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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題9 算法與推理 教案 文
【重點知識回顧】
答案：順序結(jié)構(gòu) 分支結(jié)構(gòu) 循環(huán)結(jié)構(gòu) 合情推理 歸納推理 類比推理 演繹推理
綜合法 分析法 反證法 數(shù)學(xué)歸納法
【典例例題】
題型1算法框圖例1(1)定義函數(shù)CONRND(a,b)是產(chǎn)生區(qū)間(a,b)內(nèi)的任何一個實數(shù)的
隨機數(shù)函數(shù).如圖所示的算法框圖可用來估計π的值.現(xiàn)在N輸入的值為10
0,結(jié)果m的輸出值為21,則由此可估計π的近似值為 . .
(2)(xx年江西)下圖是某算法的程序框圖,則程序運行后輸出的結(jié)果是
.
【分析】(1)讀懂算法框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)和隨機數(shù)函數(shù),用幾何概型求之.
(2)先考慮循環(huán)變量s和計數(shù)變量n的初始值,再確定循環(huán)體及循環(huán)次數(shù)并計算每次的運算結(jié)果,最后確定輸出變量s的值.
【解析】(1)點(A,B)應(yīng)在矩形區(qū)域{(A,B)|-1
1時,輸出m=21,表示點(A,B)在矩形區(qū)域內(nèi)部和單位圓的外部有21個點,根據(jù)幾何概率得?=?,∴π=4 =3.16.
(2)第一次,s1=0+(-1)1+1=0,n=2;第二次,s2=0+(-1)2+2=3,n=3;第三次,s3=3+(-1)3+3=5,n=4;第四次,s4=5+(-1)4+4=10>9,故填10.
【答案】(1)3.16(2)10
總結(jié)：(1)算法用來解決實際問題會是高考的一個命題亮點.本題
借助框圖,考查了幾何概型,又驗證了圓周率的近似值,是一道好題.(2)算
法框圖命題背景常常是數(shù)列、統(tǒng)計、函數(shù)等等.在知識的交匯處命題是
高考的一大特色.本題就是用框圖解決數(shù)列的一道好題.
題型2 直接證明與間接證明
綜合法是“由因?qū)Ч?而分析法則是“執(zhí)果索因”,它們是截然相
反的兩種證明方法,分析法便于我們?nèi)ふ宜悸?而綜合法便于過程的敘
述,兩種方法各有所長,在解決具體的問題中,綜合應(yīng)用,效果會更好.一般
直接證明中的綜合法會在解答題中重點考查.而反證法一般作為客觀題
的判斷方法,很少單獨命題,但可能會在大題中用到.
例3如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PC⊥AD,底面ABCD為
梯形,AB∥DC,AB⊥BC,AB=BC,點E在棱PB上,且PE=2EB.
(1)求證:平面PAB⊥平面PCB;
(2)求證:PD∥平面EAC.
【分析】本題以立體幾何中的四棱錐為載體,重點考查平行與垂直這兩大位置關(guān)系的推理論證,其中第(1)問,要證面面垂直,即要證兩平面中的一個平面經(jīng)過另一平面的一條垂線,從而問題的關(guān)鍵在于尋找平面PAB或平面PCB的垂線,根據(jù)圖形的特征,可證CB與平面PAB垂直,這可由條件AB⊥BC,PA⊥CB即得;第(2)問要使得線面平行,只需保證線線平行,即使PD與平面AEC內(nèi)的一條直線平行,連結(jié)BD交AC于M,從而問題轉(zhuǎn)化為探究PD與EM能否平行的問題.
【解析】(1)∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥BC,
又AB⊥BC,PA∩AB=A,
∴BC⊥平面PAB.
又BC?平面PCB,∴平面PAB⊥平面PCB.
(2)∵PA⊥底面ABCD,∴AC為PC在平面ABCD內(nèi)的射影.
又∵PC⊥AD,∴AC⊥AD.
在梯形ABCD中,由AB⊥BC,AB=BC,得∠BAC=?,
又∵AB∥DC,∴∠DCA=∠BAC=?,又AC⊥AD,故△DAC為等腰直角三角形.
∴DC=?AC=??AB=2AB.
連結(jié)BD交AC于點M,連結(jié)EM,則?=?=2.
在△BPD中,?=?=2,∴PD∥EM.
又PD?平面EAC,EM?平面EAC,∴PD∥平面EAC.
立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分,在高考中的試題多以中檔題形式出現(xiàn),綜合考查線面平行及垂直問題等基礎(chǔ)知識,在備考復(fù)習(xí)時,要依據(jù)課本知識,構(gòu)建空間思維網(wǎng)絡(luò),熟練掌握線面平行、垂直的性質(zhì)、判定定理.
題型3：合情推理
例3．（1）觀察圓周上n個點之間所連的弦，發(fā)現(xiàn)兩個點可以連一條弦，3個點可以連3條弦，4個點可以連6條弦，5個點可以連10條弦，你由此可以歸納出什么規(guī)律？
（2）把下面在平面內(nèi)成立的結(jié)論類比推廣到空間，并判斷類比的結(jié)論是否成立：
1）如果一條直線與兩條平行直線中的一條相交，則必于另一條相交。
2）如果兩條直線同時垂直與第三條直線，則這兩條直線平行。
解析：（1）設(shè)為個點可連的弦的條數(shù)，則
（2）
1）一個平面如和兩個平行平面中的一個相交，則必然和另一個也相交，次結(jié)論成立；
2）若兩個平面同時垂直第三個騙馬，則這兩個平面也相互平行，此結(jié)論不成立。
點評：當(dāng)前提為真，結(jié)論可能為真的推理。一定要理解合情推理的必要性。
題型4：演繹推理
例4．（07年天津）如圖，在五面體中，點是矩形的對角線的交點，面是等邊三角形，棱。
（1）證明//平面；
（2）設(shè)，證明平面。
解析：（Ⅰ）證明：取CD中點M，連結(jié)OM.
在矩形ABCD中，，又，
則，連結(jié)EM，于是四邊形EFOM為平行四邊形.
又平面CDE，切EM平面CDE，∵FO∥平面CDE
（Ⅱ）證明：連結(jié)FM，由（Ⅰ）和已知條件，在等邊△CDE中，
且。
因此平行四邊形EFOM為菱形，從而EO⊥FM而FM∩CD=M，∴CD⊥平面EOM，從而CD⊥EO.而，所以EO⊥平面CDF。
點評：本小題考查直線與平面平行、直線與平面垂直等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和推理論證能力.
題型5：特殊證法（如：數(shù)學(xué)歸納法）
例5．（1）用反證法證明：如果a>b>0，那么；
（2）（全國II）設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1，n＝1，2，3，…。
（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通項公式。
解析：（1）假設(shè)不大于，則或者<,或者=。
∵a>0，b>0，∴<<，<
，ab>0矛盾，∴.
證法二（直接證法），
∵a>b>0,∴a - b>0即，
∴，∴。
（2）(Ⅰ)當(dāng)n＝1時，x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1，
于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝。
當(dāng)n＝2時，x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a2－，
于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a1＝。
(Ⅱ)由題設(shè)(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，Sn2－2Sn＋1－anSn＝0。
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0 ①
由(Ⅰ)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝。
由①可得S3＝，由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，…
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論
(i)n＝1時已知結(jié)論成立；
(ii)假設(shè)n＝k時結(jié)論成立，即Sk＝，
當(dāng)n＝k＋1時，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，
故n＝k＋1時結(jié)論也成立．
綜上，由(i)、(ii)可知Sn＝對所有正整數(shù)n都成立，
于是當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝，
又n＝1時，a1＝＝，所以｛an｝的通項公式an＝，n＝1，2，3，…
點評：要應(yīng)用好反證法、數(shù)學(xué)歸納法證明一些涉及代數(shù)、不等式、幾何的結(jié)論。
題型10：框圖
例10．（1）方案1：派出調(diào)研人員赴北京、上海、廣州調(diào)研，待調(diào)研人員回來后決定生產(chǎn)數(shù)量；
方案2：商家如戰(zhàn)場！抓緊時間搞好調(diào)研，然后進行生產(chǎn)，調(diào)研為此項目的的瓶頸，因此需要添加力量，齊頭并進搞調(diào)研，以便提前結(jié)束調(diào)研，盡早投產(chǎn)使產(chǎn)品占領(lǐng)市場.
（2）公司人事結(jié)構(gòu)圖
解析：（1）方案1：派出調(diào)研人員赴北京、上海、廣州調(diào)研，待調(diào)研人員回來后決定生產(chǎn)數(shù)量。
方案2： 商家如戰(zhàn)場！抓緊時間搞好調(diào)研，然后進行生產(chǎn)，調(diào)研為此項目的的瓶頸，因此需要添加力量，齊頭并進搞調(diào)研，以便提前結(jié)束調(diào)研，盡早投產(chǎn)使產(chǎn)品占領(lǐng)市場。
于是：
（2）
點評：建立合理的結(jié)構(gòu)圖和流程圖解決實際問題，要形成良好的書寫習(xí)慣遵循從上到下、從左到右的規(guī)則。
【模擬演練】
1.如果執(zhí)行右面的程序框圖，那么輸出的（ ?。?
Ａ．2450 Ｂ．2500
Ｃ．2550 Ｄ．2652
2.如右圖所示的程序框圖的輸出結(jié)果是 （ ）
A. B. C. D.
開始
？
是
否
輸出
結(jié)束
k≤n
開始
S←1,k←1
結(jié)束
是
否
S←S2
輸出S
k←k+1
輸入n=3
第2題
k≥-50
開始
k=1
S=0
結(jié)束
是
否
S=S-2k
輸出S
k=k-1
第1題
3.如果執(zhí)行右面的程序框圖，那么輸出的是 ( )
A． B． C． D．
是
否
開始
輸入a,b,c
x=a
b>x
輸出x
結(jié)束
x=b
x=c
否
是
4.右面的程序框圖，如果輸入三個實數(shù)a、b、c，要
求輸出這三個數(shù)中最大的數(shù)，那么在空白的判斷
框中，應(yīng)該填入下面四個選項中的（ ）
A. c > x B. x > c C. c > b D. b > c
二.填空題
1如果執(zhí)行下面
的程序框圖，那么輸出的=_________ ．
第4題
開始
k←1
S←0
k≤100?
S←S+2k-1
k←k+1
結(jié)束
輸出S
否
是
2.閱讀圖4的程序框圖，若輸入m=4,n=3,則輸出a=_______,i=________。
（注：框圖中的賦值符號“＝”，也可以寫成“←”或“：＝”）
3.運行下圖所示的程序流程圖，則輸出的值
P←PI
I←I+2
P←1，I←1
開始
輸出I
是
否
結(jié)束
（第3題圖）
為_________________．
4 .執(zhí)行下圖的程序框圖，如果輸入的，那么輸出的________________.
開始
結(jié)束
是
否
A＜35
A←1
A←2A+1
打印
5.根據(jù)下面的框圖，打印的最后一個數(shù)據(jù)是 .
n≤k
開始
輸入正整數(shù)k
n←-1,S←0
S←S+2n
輸出S
結(jié)束
是
否
n←n+1
第4題
答案：
一.選擇題
1. 解答過程：由程序知
答案C
2.答案：C
3.答案：C
4. 解答過程：易知選A
二.填空題
1.答案：10000
2. 解答過程：要結(jié)束程序的運算，就必須通過整除的條件運算，
而同時也整除，那么的最小值應(yīng)為和的最小公倍
數(shù)12，即此時有。
3. 答案：
4. 答案：2548
5. 答案：63
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