2019-2020年高考數(shù)學(xué) 專題47 隨機(jī)變量及其分布黃金解題模板.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 專題47 隨機(jī)變量及其分布黃金解題模板 【高考地位】 隨機(jī)變量及其分布列是高考中的?？贾R(shí)點(diǎn)，主要考查離散型隨機(jī)變量及其分布列、離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念，重點(diǎn)考查n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，往往涉及古典概型、二項(xiàng)式定理等內(nèi)容，其難度不會(huì)太大，但題型可能較靈活，背景更新穎．在高考中主要以選擇題、填空題和解答題的形式考查，其試題難度屬中檔題. 【方法點(diǎn)評(píng)】 類型一 離散型隨機(jī)變量的分布列的求法 使用情景：離散型隨機(jī)變量的分布列的求法 解題模板：第一步 明確隨機(jī)變量可能取哪些值； 第二步 結(jié)合事件特點(diǎn)選取恰當(dāng)?shù)挠?jì)算方法計(jì)算這些可能取值的概率值； 第三步 按要求畫出其分布列即可. 例1【xx遼寧凌源市聯(lián)考】雖然吸煙有害健康，但是由于歷史以及社會(huì)的原因，吸煙也是部分公民交際的重要媒介．世界衛(wèi)生組織1987年11月建議把每年的4月7日定為世界無煙日，且從1989年開始，世界無煙日改為每年的5月31日．某報(bào)社記者專門對(duì)吸煙的市民做了戒煙方面的調(diào)查，經(jīng)抽樣只有的煙民表示愿意戒煙，將頻率視為概率． （1）從該市吸煙的市民中隨機(jī)抽取3位，求至少有一位煙民愿意戒煙的概率； （2）從該市吸煙的市民中隨機(jī)抽取4位， 表示愿意戒煙的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望． 【變式演練1】【xx廣西兩校聯(lián)考】交強(qiáng)險(xiǎn)是車主必須為機(jī)動(dòng)車購(gòu)買的險(xiǎn)種，若普通6座以下私家車投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用（基準(zhǔn)保費(fèi)）統(tǒng)一為元，在下一年續(xù)保時(shí)，實(shí)行的是費(fèi)率浮動(dòng)機(jī)制，保費(fèi)與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費(fèi)率也就越高，具體浮動(dòng)情況如表： 交強(qiáng)險(xiǎn)浮動(dòng)因素和浮動(dòng)費(fèi)率比率表 浮動(dòng)因素 浮動(dòng)比率 上一個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 下浮10% 上兩個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 下浮20% 上三個(gè)及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 下浮30% 上一個(gè)年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故 0% 上一個(gè)年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故 上浮10% 上一個(gè)年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故 上浮30% 某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機(jī)抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號(hào)私家車的下一年續(xù)保時(shí)的情況，統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格： 類型 數(shù)量 10 5 5 20 15 5 以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問題： 按照我國(guó)《機(jī)動(dòng)車交通事故責(zé)任強(qiáng)制保險(xiǎn)條例》汽車交強(qiáng)險(xiǎn)價(jià)格的規(guī)定， .某同學(xué)家里有一輛該品牌車且車齡剛滿三年，記為該品牌車在第四年續(xù)保時(shí)的費(fèi)用，求的分布列與數(shù)學(xué)期望值；（數(shù)學(xué)期望值保留到個(gè)位數(shù)字） 某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車輛記為事故車.假設(shè)購(gòu)進(jìn)一輛事故車虧損5000元，一輛非事故車盈利10000元： ①若該銷售商購(gòu)進(jìn)三輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求這三輛車中至多有一輛事故車的概率； ②若該銷售商一次購(gòu)進(jìn)100輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求他獲得利潤(rùn)的期望值. ②設(shè)為該銷售商購(gòu)進(jìn)并銷售一輛二手車的利潤(rùn)， 的可能取值為-5000,10000. 所以的分布列為： -5000 10000 所以. 所以該銷售商一次購(gòu)進(jìn)100輛該品牌車齡已滿三年的二手車獲得利潤(rùn)的期望為萬元. 【變式演練2】【xx廣西玉林市陸川中模擬】某互聯(lián)網(wǎng)理財(cái)平臺(tái)為增加平臺(tái)活躍度決定舉行邀請(qǐng)好友拿獎(jiǎng)勵(lì)活動(dòng)，規(guī)則是每邀請(qǐng)一位好友在該平臺(tái)注冊(cè)，并購(gòu)買至少1萬元的12月定期，邀請(qǐng)人可獲得現(xiàn)金及紅包獎(jiǎng)勵(lì)，現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)為被邀請(qǐng)人理財(cái)金額的，且每邀請(qǐng)一位最高現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)為300元，紅包獎(jiǎng)勵(lì)為每邀請(qǐng)一位獎(jiǎng)勵(lì)50元．假設(shè)甲邀請(qǐng)到乙、丙兩人，且乙、丙兩人同意在該平臺(tái)注冊(cè)，并進(jìn)行理財(cái)，乙、丙兩人分別購(gòu)買1萬元、2萬元、3萬元的12月定期的概率如下表： 理財(cái)金額 萬元 萬元 萬元 乙理財(cái)相應(yīng)金額的概率 丙理財(cái)相應(yīng)金額的概率 （1）求乙、丙理財(cái)金額之和不少于5萬元的概率； （2）若甲獲得獎(jiǎng)勵(lì)為元，求的分布列與數(shù)學(xué)期望． 類型二 超幾何分布問題的求解 使用情景：超幾何分布的實(shí)際應(yīng)用 解題模板：第一步 分析題意，寫出隨機(jī)變量的所有可能取值以及辨別是否屬于古典概型； 第二步 運(yùn)用古典概型的計(jì)算概率公式計(jì)算隨機(jī)變量所有取值所對(duì)應(yīng)的概率； 第三步 畫出隨機(jī)變量的分布列并得出結(jié)論. 例2. 【xx湖南兩校聯(lián)考】微信是現(xiàn)代生活進(jìn)行信息交流的重要工具，隨機(jī)對(duì)使用微信的60人進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表，每天使用微信時(shí)間在兩小時(shí)以上的人被定義為“微信達(dá)人”，不超過2兩小時(shí)的人被定義為“非微信達(dá)人”，己知“非微信達(dá)人”與“微信達(dá)人”人數(shù)比恰為3：2． （1）確定x，y，p，q的值，并補(bǔ)全頻率分布直方圖； （2）為進(jìn)一步了解使用微信對(duì)自己的日常工作和生活是否有影響，從“微信達(dá)人”和“非微信達(dá)人”60人中用分層抽樣的方法確定10人，若需從這10人中隨機(jī)選取3人進(jìn)行問卷調(diào)查，設(shè)選取的3人中“微信達(dá)人”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 使用微信時(shí)間（單位：小時(shí)） 頻數(shù) 頻率 （0，0.5] 3 0.05 （0.5，1] x p （1，1.5] 9 0.15 （1.5，2] 15 0.25 （2，2.5] 18 0.30 （2.5，3] y q 合計(jì) 60 1.00 的分布列為： ξ 0 1 2 3 P 【變式演練3】【xx山東濟(jì)南外國(guó)語學(xué)校模擬】2017年3月29日，中國(guó)自主研制系全球最大水陸兩棲飛機(jī)AG600將于xx年5月計(jì)劃首飛，AG600飛機(jī)的用途很多，最主要的是森林滅火、水上救援、物資運(yùn)輸、海洋探測(cè)、根據(jù)災(zāi)情監(jiān)測(cè)情報(bào)部門監(jiān)測(cè)得知某個(gè)時(shí)間段全國(guó)有10起災(zāi)情，其中森林滅火2起，水上救援3起，物資運(yùn)輸5起，現(xiàn)從10起災(zāi)情中任意選取3起. （1）求三種類型災(zāi)情中各取到1個(gè)的概率； （2）設(shè)表示取到的森林滅火的數(shù)目，求的分布列與數(shù)學(xué)期望. 點(diǎn)睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.對(duì)于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡(jiǎn)單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目 類型三 二項(xiàng)分布問題的求解 使用情景：二項(xiàng)分布的實(shí)際應(yīng)用 解題模板：第一步 首先寫出隨機(jī)變量的所有可能取值以及辨別是否是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)； 第二步 運(yùn)用二項(xiàng)分布隨機(jī)變量所對(duì)應(yīng)的各自的概率； 第三步 畫出分布列表即可得出結(jié)論. 例3．【xx湖南五市十校教研教改共同體聯(lián)考】“一帶一路”近年來成為了百姓耳熟能詳?shù)臒衢T詞匯，對(duì)于旅游業(yè)來說，“一帶一路”戰(zhàn)略的提出，讓“絲路之旅”超越了旅游產(chǎn)品、旅游線路的簡(jiǎn)單范疇，賦予了旅游促進(jìn)跨區(qū)域融合的新理念. 而其帶來的設(shè)施互通、經(jīng)濟(jì)合作、人員往來、文化交融更是將為相關(guān)區(qū)域旅游發(fā)展帶來巨大的發(fā)展機(jī)遇.為此，旅游企業(yè)們積極拓展相關(guān)線路；各地旅游主管部門也在大力打造絲路特色旅游品牌和服務(wù).某市旅游局為了解游客的情況，以便制定相應(yīng)的策略. 在某月中隨機(jī)抽取甲、乙兩個(gè)景點(diǎn)10天的游客數(shù)，統(tǒng)計(jì)得到莖葉圖如下： （1）若將圖中景點(diǎn)甲中的數(shù)據(jù)作為該景點(diǎn)較長(zhǎng)一段時(shí)期內(nèi)的樣本數(shù)據(jù)，以每天游客人數(shù)頻率作為概率.今從這段時(shí)期內(nèi)任取4天，記其中游客數(shù)超過130人的天數(shù)為，求概率 ； （2）現(xiàn)從上圖20天的數(shù)據(jù)中任取2天的數(shù)據(jù)（甲、乙兩景點(diǎn)中各取1天），記其中游客數(shù)不低于125且不高于135人的天數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【變式演練4】【xx衡水金卷高三大聯(lián)考】如今我們的互聯(lián)網(wǎng)生活日益豐富，除了可以很方便地網(wǎng)購(gòu)，網(wǎng)上叫外賣也開始成為不少人日常生活中不可或缺的一部分.為了解網(wǎng)絡(luò)外賣在市的普及情況，市某調(diào)查機(jī)構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了關(guān)于網(wǎng)絡(luò)外賣的問卷調(diào)查，并從參與調(diào)查的網(wǎng)民中抽取了200人進(jìn)行抽樣分析，得到下表：（單位：人） （1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.15的前提下認(rèn)為市使用網(wǎng)絡(luò)外賣的情況與性別有關(guān)？ （2）①現(xiàn)從所抽取的女網(wǎng)民中利用分層抽樣的方法再抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)選出3人贈(zèng)送外賣優(yōu)惠券，求選出的3人中至少有2人經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)外賣的概率； ②將頻率視為概率，從市所有參與調(diào)查的網(wǎng)民中隨機(jī)抽取10人贈(zèng)送禮品，記其中經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)外賣的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望和方差. 參考公式：，其中. 參考數(shù)據(jù)： 【高考再現(xiàn)】 1【xx山東，理18】（本小題滿分12分）在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示. （I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率。 （II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX. 【答案】（I）(II)X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P X的數(shù)學(xué)期望是. 因此X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P X的數(shù)學(xué)期望是 = 【考點(diǎn)】1.古典概型.2.隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.3.超幾何分布. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率公式和超幾何分布概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.解答本題，首先要準(zhǔn)確確定所研究對(duì)象的基本事件空間、基本事件個(gè)數(shù)，利用超幾何分布的概率公式.本題屬中等難度的題目，計(jì)算量不是很大，能很好的考查考生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、基本運(yùn)算求解能力等. 2. 【xx課標(biāo)1，理19】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm）．根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布． （1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學(xué)期望； （2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查． （?。┰囌f明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性； （ⅱ）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 經(jīng)計(jì)算得，，其中為抽取的第個(gè)零件的尺寸，． 用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和（精確到0.01）． 附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則， ，． （ii）由，得的估計(jì)值為，的估計(jì)值為，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在之外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查. 剔除之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，因此的估計(jì)值為10.02. ，剔除之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為， 因此的估計(jì)值為. 【考點(diǎn)】正態(tài)分布，隨機(jī)變量的期望和方差. 【名師點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量中重要的數(shù)學(xué)概念，反應(yīng)隨機(jī)變量取值的平均水平.求解離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望時(shí)，首先要分清事件的構(gòu)成與性質(zhì)，確定離散型隨機(jī)變量的所有取值，然后根據(jù)概率類型選擇公式，計(jì)算每個(gè)變量取每個(gè)值的概率，列出對(duì)應(yīng)的分布列，最后求出數(shù)學(xué)期望.正態(tài)分布是一種重要的分布，之前考過一次，尤其是正態(tài)分布的原則. 3. 【xx課標(biāo)II，理18】海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100 個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）某頻率分布直方圖如下： （1） 設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件：“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg, 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，估計(jì)A的概率； （2） 填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)： 箱產(chǎn)量＜50kg 箱產(chǎn)量≥50kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 （3） 根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值（精確到0.01） 附： 【答案】(1)； (2) 有的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)； (3)。 （2）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表 箱產(chǎn)量 箱產(chǎn)量 舊養(yǎng)殖法 62 38 新養(yǎng)殖法 34 66 由于，故有的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)。 （3）因?yàn)樾吗B(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于的直方圖面積為 ， 箱產(chǎn)量低于的直方圖面積為， 故新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值為。 【考點(diǎn)】 獨(dú)立事件概率公式；獨(dú)立性檢驗(yàn)原理；頻率分布直方圖估計(jì)中位數(shù)。 【名師點(diǎn)睛】利用獨(dú)立性檢驗(yàn)，能夠幫助我們對(duì)日常生活中的實(shí)際問題作出合理的推斷和預(yù)測(cè)。獨(dú)立性檢驗(yàn)就是考察兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，并能較為準(zhǔn)確地給出這種判斷的可信度，隨機(jī)變量的觀測(cè)值值越大，說明“兩個(gè)變量有關(guān)系”的可能性越大。 利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)時(shí)，應(yīng)注意三點(diǎn)：①最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；②中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的；③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和。 4. 【xx北京，理17】為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機(jī)分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥.一段時(shí)間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù)，并制成下圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示未服藥者. （Ⅰ）從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，求此人指標(biāo)y的值小于60的概率； （Ⅱ）從圖中A，B，C，D四人中隨機(jī).選出兩人，記為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望E（）； （Ⅲ）試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大小.（只需寫出結(jié)論） 【答案】（Ⅰ）0.3；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）在這100名患者中，服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差. 所以的分布列為 0 1 2 故的期望. （Ⅲ）在這100名患者中，服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差. 【考點(diǎn)】1.古典概型；2.超幾何分布；3.方差的定義. 【名師點(diǎn)睛】求分布列的三種方法 1．由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到離散型隨機(jī)變量的分布列； 2．由古典概型求出離散型隨機(jī)變量的分布列； 3．由互斥事件的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率及n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)有k次發(fā)生的概率求離散型隨機(jī)變量的分布列． 5. 【xx天津，理16】從甲地到乙地要經(jīng)過3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為. （Ⅰ）設(shè)表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望； （Ⅱ）若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率. 【答案】 (1) (2) 所以，隨機(jī)變量的分布列為 0 1 2 3 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望. 6. 【xx課標(biāo)3，理18】某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表： 最高氣溫 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率. （1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列； （2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y（單位：元）.當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n（單位：瓶）為多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？ 【答案】(1)分布列略； (2) n=300時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元. 【解析】 【考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量的分布列；數(shù)學(xué)期望； 【名師點(diǎn)睛】離散型隨機(jī)變量的分布列指出了隨機(jī)變量X的取值范圍以及取各值的概率；要理解兩種特殊的概率分布——兩點(diǎn)分布與超幾何分布；并善于靈活運(yùn)用兩性質(zhì)：一是pi≥0(i＝1,2，…)；二是p1＋p2＋…＋pn＝1檢驗(yàn)分布列的正誤. 【反饋練習(xí)】 1．【xx四川德陽三校聯(lián)考】為了引導(dǎo)居民合理用電，國(guó)家決定實(shí)行合理的階梯電價(jià)，居民用電原則上以住宅為單位（一套住宅為一戶）. 階梯級(jí)別 第一階梯 第二階梯 第三階梯 月用電范圍（度） （0,210] （210,400] 某市隨機(jī)抽取10戶同一個(gè)月的用電情況，得到統(tǒng)計(jì)表如下： 居民用電戶編號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 用電量（度） 53 86 90 124 132 200 215 225 300 410 若規(guī)定第一階梯電價(jià)每度0.5元，第二階梯超出第一階梯的部分每度0.6元，第三階梯超出第二階梯的部分每度0.8元，試計(jì)算A居民用電戶用電410度時(shí)應(yīng)交電費(fèi)多少元？ 現(xiàn)要在這10戶家庭中任意選取3戶，求取到第二階梯電量的戶數(shù)的分布列與期望； 以表中抽到的10戶作為樣本估計(jì)全市的居民用電，現(xiàn)從全市中依次抽取10戶，若抽到戶用電量為第一階梯的可能性最大，求的值. 【答案】（1）分布列見解析， （2） 故的分布列是 0 1 2 3 所以 可知從全市中抽取10戶的用電量為第一階梯，滿足，可知 ,解得， 所以當(dāng)時(shí)，概率最大，所以 2．【xx齊齊哈爾八中三?！磕辰處熣{(diào)查了名高三學(xué)生購(gòu)買的數(shù)學(xué)課外輔導(dǎo)書的數(shù)量，將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)制成如圖所示的條形圖. （1）若該教師從這名學(xué)生中任取人，記這人所購(gòu)買的數(shù)學(xué)課外輔導(dǎo)書的數(shù)量之和為，求的概率； （2）從這名學(xué)生中任取人，記表示這人所購(gòu)買的數(shù)學(xué)課外輔導(dǎo)書的數(shù)量之差的絕對(duì)值.求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【答案】（1）；（2） 試題解析： 3．【xx福建四校聯(lián)考】某學(xué)校為倡導(dǎo)全體學(xué)生為特困學(xué)生捐款，舉行“一元錢，一片心，誠(chéng)信用水”活動(dòng)，學(xué)生在購(gòu)水處每領(lǐng)取一瓶礦泉水，便自覺向捐款箱中至少投入一元錢?，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)了連續(xù)5天的售出和收益情況，如下表： 售出水量x（單位：箱） 7 6 6 5 6 收益y（單位：元） 165 142 148 125 150 (Ⅰ) 若x與y成線性相關(guān)，則某天售出8箱水時(shí)，預(yù)計(jì)收益為多少元？ (Ⅱ) 期中考試以后，學(xué)校決定將誠(chéng)信用水的收益，以獎(jiǎng)學(xué)金的形式獎(jiǎng)勵(lì)給品學(xué)兼優(yōu)的特困生，規(guī)定：特困生考入年級(jí)前200名，獲一等獎(jiǎng)學(xué)金500元；考入年級(jí)201—500 名，獲二等獎(jiǎng)學(xué)金300元；考入年級(jí)501名以后的特困生將不獲得獎(jiǎng)學(xué)金。甲、乙兩名學(xué)生獲一等獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為，獲二等獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為，不獲得獎(jiǎng)學(xué)金的概率均為. ⑴在學(xué)生甲獲得獎(jiǎng)學(xué)金條件下，求他獲得一等獎(jiǎng)學(xué)金的概率； ⑵已知甲、乙兩名學(xué)生獲得哪個(gè)等第的獎(jiǎng)學(xué)金是相互獨(dú)立的，求甲、乙兩名學(xué)生所獲得獎(jiǎng)學(xué)金總金額X 的分布列及數(shù)學(xué)期望。 附： ， 。 【答案】（Ⅰ）186元；（Ⅱ）（1）；（2）分布列見解析，期望為600. (Ⅱ) ⑴設(shè)事件 A 為“學(xué)生甲獲得獎(jiǎng)學(xué)金”，事件 B 為“學(xué)生甲獲得一等獎(jiǎng)學(xué)金”， 則即學(xué)生甲獲得獎(jiǎng)學(xué)金的條件下，獲得一等獎(jiǎng)學(xué)金的概率為 ⑵ X的取值可能為0，300，500，600，800，1000 ，， ， ， 即 的分布列為： （元） 4．【xx廣西賀州桂梧高中聯(lián)考】為了檢測(cè)某輪胎公司生產(chǎn)的輪胎的寬度，需要抽檢一批輪胎（共10個(gè)輪胎），已知這批輪胎寬度（單位： ）的折線圖如下圖所示： （1）求這批輪胎寬度的平均值； （2）現(xiàn)將這批輪胎送去質(zhì)檢部進(jìn)行抽檢，抽檢方案是：從這批輪胎中任取5個(gè)作檢驗(yàn)，這5個(gè)輪胎的寬度都在內(nèi)，則稱這批輪胎合格，如果抽檢不合格，就要重新再抽檢一次，若還是不合格，這批輪胎就認(rèn)定不合格. 求這批輪胎第一次抽檢就合格的概率； 記為這批輪胎的抽檢次數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望. 【答案】（1）195（mm）(2)2 故這批輪胎第一次抽檢就合格的概率為. 的可能取值為1,2， ， . 則的分布列為： 故. 5．【xx黑龍江齊齊哈爾一?！?016年6月22 日，“國(guó)際教育信息化大會(huì)”在山東青島開幕.為了解哪些人更關(guān)注“國(guó)際教育信息化大會(huì)”，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了年齡在15-75歲之間的100人進(jìn)行調(diào)查，經(jīng)統(tǒng)計(jì)“青少年”與“中老年”的人數(shù)之比為9: 11. （1）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并判斷能否有的把握認(rèn)為“中老年”比“青少年”更加關(guān)注“國(guó)際教育信息化大會(huì)”； （2）現(xiàn)從抽取的青少年中采用分層抽樣的辦法選取9人進(jìn)行問卷調(diào)查.在這9人中再選取3人進(jìn)行面對(duì)面詢問，記選取的3人中關(guān)注“國(guó)際教育信息化大會(huì)”的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望. 附:參考公式，其中. 臨界值表： 【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有的把握認(rèn)為“中老年”比“青少年”更加關(guān)注“國(guó)際教育信息化大會(huì)”. （2）分布列見解析， （2）根據(jù)題意知選出關(guān)注的人數(shù)為3，不關(guān)注的人數(shù)為6，在這9人中再選取3人進(jìn)行面對(duì)面詢問， 的取值可以為0，1，2，3，則 ， ， ， . 所以的分布列為 數(shù)學(xué)期望. 6. 【xx陜西西安聯(lián)考】某單位N名員工參加“社區(qū)低碳你我他”活動(dòng)，他們的年齡在25歲至50歲之間，按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布圖如圖所示，下表是年齡的頻率分布表. （1）現(xiàn)要從年齡較小的第組中用分層抽樣的方法抽取6人，則年齡第組人數(shù)分別是多少？ （2）在（1）的條件下，從這6中隨機(jī)抽取2參加社區(qū)宣傳交流活動(dòng)，X表示第3組中抽取的人數(shù)，求X的分布列和期望值 【答案】（1）年齡第1，2，3組人數(shù)分別是1人，1人，4人．（2）見解析 （2）X可以取0，1，2， P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==， 其分布列為： X 0 1 2 P E（X）=0+1+2=． 7．【xx湖南株洲兩校聯(lián)考】微信是現(xiàn)代生活進(jìn)行信息交流的重要工具，隨機(jī)對(duì)使用微信的60人進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表，每天使用微信時(shí)間在兩小時(shí)以上的人被定義為“微信達(dá)人”，不超過2兩小時(shí)的人被定義為“非微信達(dá)人”，己知“非微信達(dá)人”與“微信達(dá)人”人數(shù)比恰為3：2． （1）確定x，y，p，q的值，并補(bǔ)全頻率分布直方圖； （2）為進(jìn)一步了解使用微信對(duì)自己的日常工作和生活是否有影響，從“微信達(dá)人”和“非微信達(dá)人”60人中用分層抽樣的方法確定10人，若需從這10人中隨機(jī)選取3人進(jìn)行問卷調(diào)查，設(shè)選取的3人中“微信達(dá)人”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 使用微信時(shí)間（單位：小時(shí)） 頻數(shù) 頻率 （0，0.5] 3 0.05 （0.5，1] x p （1，1.5] 9 0.15 （1.5，2] 15 0.25 （2，2.5] 18 0.30 （2.5，3] y q 合計(jì) 60 1.00 【答案】（Ⅰ）（II）分布列見解析； 8. 【xx東北名校聯(lián)考】甲乙兩家快遞公司其“快遞小哥”的日工資方案如下：甲公司規(guī)定底薪元，每單抽成元；乙公司規(guī)定底薪元，每日前單無抽成，超過單的部分每單抽成元 （1）設(shè)甲乙快遞公司的“快遞小哥”一日工資（單位：元）與送貨單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為，求； （2）假設(shè)同一公司的“快遞小哥”一日送貨單數(shù)相同，現(xiàn)從兩家公司各隨機(jī)抽取一名“快遞小哥”，并記錄其天的送貨單數(shù)，得到如下條形圖: 若將頻率視為概率，回答下列問題： ①記乙快遞公司的“快遞小哥”日工資為（單位：元），求的分布列和數(shù)學(xué)期望； ②小趙擬到兩家公司中的一家應(yīng)聘“快遞小哥”的工作，如果僅從日收入的角度考慮，請(qǐng)你利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為他作出選擇，并說明理由. 【答案】（1）甲： ，乙： （2）①見解析②推薦小趙去乙快遞公式應(yīng)聘. 9. 【xx河北衡水聯(lián)考】如今我們的互聯(lián)網(wǎng)生活日益豐富，除了可以很方便地網(wǎng)購(gòu)，網(wǎng)上叫外賣也開始成為不少人日常生活中不可或缺的一部分.為了解網(wǎng)絡(luò)外賣在市的普及情況， 市某調(diào)查機(jī)構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了關(guān)于網(wǎng)絡(luò)外賣的問卷調(diào)查，并從參與調(diào)查的網(wǎng)民中抽取了200人進(jìn)行抽樣分析，得到表格：（單位：人） 經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)外賣 偶爾或不用網(wǎng)絡(luò)外賣 合計(jì) 男性 50 50 100 女性 60 40 100 合計(jì) 110 90 200 （1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為市使用網(wǎng)絡(luò)外賣的情況與性別有關(guān)？ （2）①現(xiàn)從所抽取的女網(wǎng)民中利用分層抽樣的方法再抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)選出3人贈(zèng)送外賣優(yōu)惠券，求選出的3人中至少有2人經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)外賣的概率； ②將頻率視為概率，從市所有參與調(diào)查的網(wǎng)民中隨機(jī)抽取10人贈(zèng)送禮品，記其中經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)外賣的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望和方差. 參考公式： ，其中. 參考數(shù)據(jù)： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】(1)不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.15的前提下認(rèn)為市使用網(wǎng)絡(luò)外賣情況與性別有關(guān)； (2)①；②答案見解析. （2）①依題意，可知所抽取的5名女網(wǎng)民中，經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)外賣的有（人）， 偶爾或不用網(wǎng)絡(luò)外賣的有（人）. 則選出的3人中至少有2人經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)外賣的概率為. ②由列聯(lián)表，可知抽到經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)外賣的網(wǎng)民的概率為， 將頻率視為概率，即從市市民中任意抽取1人，恰好抽到經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)外賣的市民的概率為. 由題意得，∴； . 10. 【xx云南昆明一中摸底】某市為了解本市萬名學(xué)生的漢字書寫水平，在全市范圍內(nèi)進(jìn)行了漢字聽寫考試，發(fā)現(xiàn)其成績(jī)服從正態(tài)分布，現(xiàn)從某校隨機(jī)抽取了名學(xué)生，將所得成績(jī)整理后，繪制出如圖所示的頻率分布直方圖. （1）估算該校名學(xué)生成績(jī)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）； （2）求這名學(xué)生成績(jī)?cè)趦?nèi)的人數(shù)； （3）現(xiàn)從該校名考生成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生中隨機(jī)抽取兩人，該兩人成績(jī)排名（從高到低）在全市前名的人數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 參考數(shù)據(jù)：若，則， 【答案】（1）；（2）；（3）. ， ， . 的分布列： 數(shù)學(xué)期望. 11. 【xx貴州黔東南州聯(lián)考】近年來我國(guó)電子商務(wù)行業(yè)迎來發(fā)展的新機(jī)遇，與此同時(shí)，相關(guān)管理部門推出了針對(duì)電商商品和服務(wù)的評(píng)價(jià)體系．現(xiàn)從評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對(duì)其評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，對(duì)商品好評(píng)率為，對(duì)服務(wù)好評(píng)率為，其中對(duì)商品和服務(wù)都做出好評(píng)的交易為80次． （1）是否可以在犯錯(cuò)誤率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān)？ （2）若針對(duì)商品的好評(píng)率，采用分層抽樣的方式從這200次交易中取出5次交易，并從中選擇兩次交易進(jìn)行客戶回訪，求只有一次好評(píng)的概率． 注：1. 注2. 【答案】（1）見解析；（2）.