人教版七年級上冊數(shù)學(xué) 第一章 有理數(shù)全章講義

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1、 初一數(shù)學(xué)有理數(shù)全章講義 1.1正數(shù)和負數(shù) 知識點歸納 一、 正數(shù)和負數(shù)的定義 正數(shù)：大于0的數(shù)叫做正數(shù)。根據(jù)需要，有時在正數(shù)前面加上正號“+”，但是正數(shù)前面的正號“+”，一般省略不寫。 負數(shù)：在正數(shù)前面加上負號“-”的數(shù)叫做負數(shù)。負數(shù)前面的負號“-”不能省略。 注：對于正數(shù)和負數(shù)的概念，不能簡單地理解為帶“+”的數(shù)就是正數(shù)，帶“-”的數(shù)就是負數(shù)。 eg：-a不一定是負數(shù)，因為字母a可以表示任何數(shù)，當a是正數(shù)時，-a是負數(shù)；當a表示負數(shù)時，-a則是一個正數(shù)，而不是負數(shù)；當a表示0時，-a就是在0前面加上一個負號，仍是0,0不分正負。 二、具有相反意義的量

2、 正數(shù)和負數(shù)表示具有相反意義的量。若用正數(shù)表示某種意義的量，則負數(shù)就表示與其相反的量，反之亦然。 常見的表示相反意義的量：零上和零下、前進和后退、海平面以上和海平面以下、收入和支出、向南和向北、盈利和虧損、升高和下降。 三、0的意義（重點理解） 數(shù)0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)。0是正數(shù)和負數(shù)的分界線。0℃是一個確定的溫度，海拔0表示海平面的平均高度。0的意義已經(jīng)不僅是表示“沒有”。 典型例題 1、下列說法不正確的是（ ） A．0不是正數(shù)，也不是負數(shù) B．負數(shù)是帶有“-”的數(shù)，正數(shù)是帶有“+”的數(shù) C．非負數(shù)是正數(shù)或0 D．0是一個特殊的整數(shù)，它并不只是

3、表示“沒有” 2、水位上升-0.5cm的意義是（ ） A．水位上升0.5cm B．水位下降0.5cm C．水位沒有變化 D．水位下降了5cm 3、下列說法錯誤的是（ ） A．-5一定是負數(shù) B．在正數(shù)前面加上“-”就成了負數(shù) C．自然數(shù)一定是正數(shù) D．-a不一定是負數(shù) 4、下列說法正確的有（ ） ①不帶負號的數(shù)都是正數(shù) ②帶負號的數(shù)不一定是負數(shù) ③0℃表示沒有溫度 ④0既不是正數(shù)，也不是負數(shù) A.0個 B.1個 C.2個 D3個 5、在跳遠測驗中，合格標準是4.00m，小明跳

4、出了4.18m，記作+0.18m，小華跳出了3.96m，應(yīng)記作＿＿＿＿ 6、-1,2，-3,4，-5＿＿，＿＿，＿＿，…第81個數(shù)是＿＿，第2005個數(shù)是＿＿。 7、峨眉山上某天的最高氣溫為12℃，最低氣溫為-4℃，那么這天的最高氣溫比最低氣溫高（ ） A.4 B.8℃ C.12℃ D.16℃ 8、一架飛機在距離地面1500米的高空飛行，它第一次下降了-200米，第二次又上升了-100米，第三次下降了300米，此時飛機距離地面多高？ 9、某蓄水池的標準水位記為0m，如果用正數(shù)表示水面高于標準水位的高度，那么 （1）0.08m和-0.2m各表示什么

5、？ （2）水面低于標準水位0.1m和高于標準水位0.23m各表示什么？ 10、2006年我國全年平均降水量比上年減少24毫米，2005年比上年增長8毫米，2004年比上年減少20毫米。用正數(shù)表示這三年我國全年平均降水量比上年的增長量。 1.2.1有理數(shù) 知識點歸納 一、有理數(shù)的概念 正整數(shù)、0、負整數(shù)、正分數(shù)、負分數(shù)都可以寫成分數(shù)的形式，這樣的數(shù)稱為有理數(shù)。 注：（1）正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。 （2）正分數(shù)和負分數(shù)統(tǒng)稱為分數(shù)。 （3）對于小數(shù)，只有能化成分數(shù)的小數(shù)才是有理數(shù)。 （4

6、）我們把有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都看做分數(shù)，因此有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)。 （5）無限循環(huán)小數(shù)不能化成分數(shù)，因此它不是分數(shù)，也不是整數(shù)，所以就不是有理數(shù)。 二、有理數(shù)的分類（重點） 按數(shù)的種類分 按有理數(shù)的性質(zhì)分 有理數(shù) 有理數(shù) 注：（1）有理數(shù)的分類必須按同一標準，不漏、不重。 （2）0和正整數(shù)統(tǒng)稱為非負整數(shù)。 （3）0和負整數(shù)統(tǒng)稱為非正整數(shù)。 （4）0和正有理數(shù)統(tǒng)稱為非負數(shù)。 （5）0和負有理數(shù)統(tǒng)稱為非正數(shù)。

7、 典型例題 1、-7是（ ） A.自然數(shù) B.負分數(shù) C.非負數(shù) D.負整數(shù) 2、所有的正整數(shù)和負整數(shù)結(jié)合在一起構(gòu)成（ ） A.整數(shù)集合 B.有理數(shù)集合 C.自然數(shù)集合 D.以上說法都不對 3、關(guān)于0的說法，正確的有（ ） ①是整數(shù) ②不是正數(shù)，也不是負數(shù) ③是最小的整數(shù) ④是自然數(shù) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 4、下列說法不正確的是（ ） A.-0.5是分數(shù) B.0不是正數(shù)也不是負數(shù) C.整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù) D.0是最小的正數(shù) 5、下列說法錯誤的是（ ）

8、A．負整數(shù)和負分數(shù)統(tǒng)稱為負有理數(shù) B．正整數(shù)，0，負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù) C．正有理數(shù)和負有理數(shù)組成全體有理數(shù) D．3.14是小數(shù)，也是分數(shù) 6、下列說法正確的的是（ ） A.有理數(shù)是指整數(shù)、分數(shù)、正有理數(shù)、0、負有理數(shù) B.一個有理數(shù)不是整數(shù)就是負數(shù) C.一個有理數(shù)不是整數(shù)就是分數(shù) D.以上說法都正確 7、0.四個數(shù)中，有理數(shù)的個數(shù)為（ ） A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 8.有理數(shù)中，是整數(shù)而不是正數(shù)的是（ ），是分數(shù)而不是正分數(shù)的是（ ）。 9、有理數(shù)中，最小

9、的自然數(shù)是（ ）,最小的正整數(shù)是（ ）。 10、整數(shù)與分數(shù)統(tǒng)稱為（ ），整數(shù)包括（ ），分數(shù)包括（ ）。 11、通常把（ ）和（ ）統(tǒng)稱為非負整數(shù)，把（ ）和（ ）統(tǒng)稱為非正整數(shù)；把（ ）和（ ）統(tǒng)稱為非負數(shù)，把（ ）和（ ）統(tǒng)稱為非正數(shù)。 12、將下列各數(shù)按要求分別填入相應(yīng)的集合中。 0.2. (1)正整數(shù)集合：{ } (2)負整數(shù)集合：{

10、 } (3)正分數(shù)集合：{ } (4)負分數(shù)集合：{ } (5)整數(shù)集合：{ } (6)分數(shù)集合：{ } (7)有理數(shù)集合：{

11、 } 1.2.2數(shù)軸 知識點歸納 一、數(shù)軸的概念 規(guī)定了原點，正方向，單位長度的直線叫做數(shù)軸。 注意事項： （1）數(shù)軸是一條兩端無限延長的直線。 （2）原點，正方向，單位長度是數(shù)軸的三要素，三者缺一不可。 （3）同一數(shù)軸上的單位長度要統(tǒng)一。 （4）數(shù)軸的三要素都是根據(jù)實際需要規(guī)定的。 （5）定義中的“規(guī)定”二字，是說原點的規(guī)定、正方向的選取、單位長度大小的確定，都是根據(jù)實際需要規(guī)定的，通常取向右為正方向。 二、數(shù)軸的畫法（重點） 畫數(shù)軸時，關(guān)鍵要體現(xiàn)數(shù)軸的三要素：原點、正

12、方向、單位長度，三者缺一不可。 其步驟如下： 1、畫一條水平的直線； 2、在直線上任意選取一點為原點，并用這點表示零（在原點下方標上“0”）； 3、確定正方向（一般規(guī)定向右為正），用箭頭表示出來； 4、選取適當?shù)拈L度作為單位長度，從原點向右，每隔一個單位長度選取一點，依次表示1,2,3，…；從原點向左，每隔一個單位長度選取一點，依次表示-1，-2，-3，…。 三、數(shù)軸上的點與有理數(shù)的關(guān)系（重點、難點） 一般地，設(shè)a是一個正數(shù)，則數(shù)軸上表示數(shù)a的點在原點的右邊，與原點的距離是a個長度單位；表示數(shù)-a的點在原點的左邊，與原點的距離是a個長度單位。所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，正

13、有理數(shù)可以用原點右邊（或上邊）的點表示，負有理數(shù)可以用原點左邊（或下邊）的點表示，0用原點表示。 注：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，但數(shù)軸上的點不都表示有理數(shù)，也就是說，有理數(shù)與數(shù)軸上的點不是一一對應(yīng)的關(guān)系。 四、利用數(shù)軸比較大?。ㄖ攸c、難點） 1、數(shù)軸上的數(shù)的大小比較：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)比左邊的數(shù)大 2、有理數(shù)大小比較法則：（1）正數(shù)都大于0 （2）負數(shù)都小于0 （3）正數(shù)大于負數(shù) （4）兩個負數(shù)比較大?。壕嘣c距離遠的數(shù)比距離遠點近的數(shù)小，即在原點的左側(cè)，離原點越遠，數(shù)越小。 典型例題 1、規(guī)定了（ ）、（ ）、（ ）的直線叫做數(shù)

14、軸。 2、在數(shù)軸上表示數(shù)-3的點在原點的（ ），與原點的距離為（ ）個長度單位。 3、在數(shù)軸上到原點距離是2.5個長度單位的點表示的數(shù)是（ ）。 4、P點表示的數(shù)是-1，到P點4個單位長度的點表示的數(shù)是（ ）。 5、一個動點從表示1的點出發(fā)，先向左移動2個單位，再向右移動3個單位長度，則終點離原點的距離是（ ）個單位長度。 6、若點A表示數(shù)-3，點B表示數(shù)7，那么A、B間的距離是（ ）。 7、下列圖中表示數(shù)軸的是（ ）. A. B.

15、 C. D. 8、數(shù)軸上表示整數(shù)的點稱為整點，某數(shù)軸的單位長度是1cm，若在這個數(shù)軸上隨意畫出一 條長2005cm的線段AB，則線段AB蓋住的整點有（ ） A. 2003或2004個 B.2004或2005個 C.2005或2006個 D.2006或2007個 9、畫出數(shù)軸，用數(shù)軸畫出表示下列各點的數(shù)并用“>”連接起來。 4，-2，-4.5，0， 10、如圖，寫出數(shù)軸上點A、B、C、D、E表示的數(shù)。 11、小敏家、學(xué)校、郵

16、局、圖書館坐落在同一條東西走向的大街上，依次記為A，B，C，D， 學(xué)校位于小敏家西150m，郵局位于小敏家東100m，圖書館位于小敏家西400m。 （1） 用數(shù)軸表示A，B，C，D的位置. （2） 一天小敏從家里以每分鐘50m的速度先去郵局寄信后又往圖書館方向共走了8min.試問小敏這時約在什么位置？距離圖書館和學(xué)校各約多少米？ 1.2.3相反數(shù) 知識點歸納 一、相反數(shù)的概念 只有符號不同的兩個數(shù)，我們說其中一個是另一個的相反數(shù)；特別地，0的相反數(shù)是0. 注：（1）“0的相反數(shù)是0”是相反數(shù)定義的一部分，千萬不能把它漏掉. （2）相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，不能單

17、獨存在，單獨的一個數(shù)不能說是相反數(shù). （3）“只有符號不同的兩個數(shù)”中的“只有”指的是除符號不同以外數(shù)字完全相同，不要理解為只要符號不同的兩個數(shù)就是互為相反數(shù). 二、相反數(shù)的意義 任何一個數(shù)都有相反數(shù)，而且只有一個相反數(shù)，正數(shù)的相反數(shù)一定是負數(shù)；負數(shù)的相反數(shù)一定是正數(shù)；0的相反數(shù)仍是0. 幾何意義：互為相反數(shù)的兩個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的兩個點到原點的的距離相等且位于原點的兩側(cè)；反之，位于原點兩側(cè)且到原點距離相等的點所表示的兩個數(shù)互為相反數(shù)。 代數(shù)意義：相反數(shù)中，“相反”的意思是說：“只有符號相反”，即兩個數(shù)除符號不同外其余都相同。 【注意】：（1）一個數(shù)的相反數(shù)的相反數(shù)是它本身.

18、 （2）注意區(qū)別“相反數(shù)” 與“相反意義的量”。前者是指具有相反符號的一對數(shù)，后者指相對具有相反意義的量。 三、相反數(shù)的表示方法 一般的，一個數(shù)a的相反數(shù)可以表示為-a。 根據(jù)相反數(shù)的意義，只改變原數(shù)的符號即可得到原數(shù)的相反數(shù)，就是說只要在一個數(shù)的前面加“-”號即可得到這個數(shù)的相反數(shù)。 【注意】（1）數(shù)a表示任意一個數(shù)，可以是正數(shù)、負數(shù)和0，還可以表示任意的一個式子。 （2）一個數(shù)的前面加上“-”號表示這個數(shù)的相反數(shù)，加上“+”號表示這個數(shù)本身。 四、相反數(shù)的求法 求一個數(shù)的相反數(shù)，只要在它的前面添上“-”號即可得到原數(shù)的相反數(shù)；當原數(shù)是多個數(shù)的和差時，要用括號括起來再添

19、“-”號；若原數(shù)是單個數(shù)且前面有“-”則也應(yīng)先括起來再添“-”號，然后化簡。如：（1）-a的相反數(shù)是-（-a），即a；（2）a+b的相反數(shù)是-（a+b）；（3）-（-2）的相反數(shù)是-[-(-2)]，即-2. 五、多重符號的化簡 當“-”號的個數(shù)為偶數(shù)時，化簡結(jié)果為正；當“-”號個數(shù)為奇數(shù)時，化簡結(jié)果為負。 六、相反數(shù)的性質(zhì) 任何一個數(shù)都有相反數(shù)，而且只有一個。正數(shù)的相反數(shù)一定是負數(shù)；負數(shù)的相反數(shù)一定是正數(shù)；0的相反數(shù)仍是0。 【注意】 （1）若兩個數(shù)互為相反數(shù)，則它們的和為0. （2）數(shù)軸上表示相反數(shù)的兩個數(shù)關(guān)于原點對稱. （3）相反數(shù)等于它本身的數(shù)只有0. （4）相反數(shù)是成

20、對出現(xiàn)的，不能單獨存在. （5）“只有符號不同的兩個數(shù)”中的“只有”指的是除符號不同以外數(shù)字完全相同，不要理解為只要符號不同的兩個數(shù)就是互為相反數(shù). 典型例題 1、 判斷下列說法是否正確。 （1）-3與互為相反數(shù)。（ ） （2）5的相反數(shù)是。（ ） （3）0的相反數(shù)是-0，所以0與-0不是互為相反數(shù)。（ ） 2、下列敘述正確的是（ ） A.符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù) B.一個數(shù)的相反數(shù)一定是負數(shù) C.非負數(shù)的相反數(shù)是非整數(shù) D.正數(shù)的相反數(shù)是分數(shù) 3、如果a=-a，那么表示a

21、的點在數(shù)軸上的位置是（ ） A.原點左側(cè) B.原點右側(cè) C.原點 D.原點或原點右側(cè) 4、一個數(shù)的相反數(shù)小于它本身，這個數(shù)是（ ） A.正數(shù) B.負數(shù) C.非正數(shù) D.非負數(shù) 5、一個數(shù)的相反數(shù)大于它本身，這個數(shù)是（ ） A.正數(shù) B.負數(shù) C.非正數(shù) D.非負數(shù) 6、一個數(shù)的相反數(shù)是非負數(shù)，則這個數(shù)一定是（ ） A.正數(shù) B.負數(shù) C.正數(shù)或0 D.負數(shù)或0 7、一個數(shù)的相反數(shù)是非正數(shù)，則這個數(shù)一定是（ ） A.正數(shù)

22、 B.負數(shù) C.正數(shù)或0 D.負數(shù)或0 8、下面兩個數(shù)互為相反數(shù)的是（ ） A.與0.2 B.與-0.333 C.與-2.25 D.-[-（-5）]與[+(-5)] 9、-（+4）是（ ）的相反數(shù)；-（-7）是（ ）的相反數(shù)。 10、a的相反數(shù)是（ ），當a=13時，a的相反數(shù)是（ ），當a=-5時，a的相反數(shù)是（ ），當a=0時，a的相反數(shù)是（ ）。 11、如果-a=-9，那么-a的相反數(shù)是（ ）。 12、如果-x的相反數(shù)是-2，那么x=（ ）；如果x-3的相反數(shù)是0，那么x=（

23、 ）。 13、求下列各數(shù)的相反數(shù)。 ，，0,1,0.1，-a，-2xy，a-b， 14、化簡： （1） （2） （3）-[+（-2）] （4） （5）+{-[-(-2)]} 15、已知a-4與-1互為相反數(shù)，求a的值。 16、已知x與y互為相反數(shù)，y與z互為相反數(shù)，已知z=2，求x、y的值。 17、數(shù)軸上離原點的距離小于3.5的整數(shù)點的個數(shù)為m，距離原點等于3.5的點的個數(shù)為n，求m-n的值。 1.2.4 絕對值 知識點歸納 一、 絕對值的概念 數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原

24、點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|，讀作“a的絕對值”。 【注意】（1）一個數(shù)的絕對值就是在數(shù)軸上表示這個數(shù)的點與原點的距離，由于距離總是正數(shù)和零，所以一個數(shù)的絕對值是正數(shù)或零，即是一個非負數(shù)，這就是絕對值的一個重要性質(zhì)——非負性。 （2）在數(shù)軸上，表示這個數(shù)的點離原點的距離越遠，絕對值越大；反之離原點距離越近，絕對值越小。 （3） 一個有理數(shù)是由符號和絕對值兩個方面來確定的。 二、絕對值的意義 1、絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點到原點的的距離，離原點的距離越遠，絕對值越大；離原點的距離越近，絕對值越小。 2、絕對值的代數(shù)意義：一個正數(shù)的絕對值是它本身，一個負

25、數(shù)的絕對值是它本身的相反數(shù)，0的絕對值是0. 三、絕對值的表示方法（重點） ||= 【注意】（1）非負數(shù)的絕對值等于他本身，即 （2）非正數(shù)的絕對值等于它本身的相反數(shù)，即 四、絕對值得性質(zhì)（重點、難點） 1、絕對值具有非負性，任何一個數(shù)的絕對值總是正數(shù)或零，即：。 2、0的絕對值是0，絕對值等于0的數(shù)是0，絕對值最小的數(shù)是0，即：。 3、互為相反的兩個數(shù)絕對值相等，即：。 4、絕對值相等的兩個數(shù)相等或互為相反數(shù)，即：或。 5、絕對值等于同一個整數(shù)的數(shù)有兩個，它們互為相反數(shù)，即：。 6、若幾個數(shù)的絕對值的和為0，則這幾個數(shù)分別為0，即：。 五、絕對值的求法

26、 1、在數(shù)軸上找到表示這個數(shù)a的點，這個點與原點的距離就是這個數(shù)a的絕對值。 2、一個正數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點與原點的距離恰好等于這個數(shù)本身，所以正數(shù)的絕對值是它本身。 3、一個負數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點與原點的距離是這個數(shù)的相反數(shù)，所以一個負數(shù)的絕對值是它本身的相反數(shù)。 4、表示0的點就是原點，原點與原點的距離是0，所以|0|=0。 【注意】在求一個數(shù)a的絕對值時要注意：先判斷這個數(shù)a是正數(shù)、負數(shù)還是0，再根據(jù)絕對值的代數(shù)意義求出這個數(shù)的絕對值。 六、利用絕對值比較兩個負數(shù)的大?。ㄖ攸c） 1、比較兩個負整數(shù)的大小：根據(jù)絕對值大的數(shù)反而小 2、比較兩個負分數(shù)的大小時，有兩點必須注意：①絕對

27、值大的數(shù)反而??；②比較絕對值時，分母相同，分子大的數(shù)大；分子相同，分母大的數(shù)反而小，也可以將分數(shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)進行比較。 3、利用絕對值比較兩個負數(shù)大小的步驟：①分別計算兩個數(shù)的絕對值；②比較絕對值的大?。虎叟卸▋蓚€數(shù)的大?。ǜ鶕?jù)絕對值大的數(shù)反而小）。 七、含有字母的絕對值的化簡求值（重點、難點） 化簡絕對值要分兩步走，即“先判后去”——先判斷這個數(shù)是正數(shù)、零還是負數(shù)，再由絕對值的意義確定去掉絕對值的符號的結(jié)果是等于它本身還是等于它本身的相反數(shù)或零。 e.g：化簡 第一步：取0點：令，得； 第二步：取范圍：和或和； 第三步：在各范圍內(nèi)化簡： ①當時，， ②當時，，

28、 典型例題： 1、-5的絕對值是（ ） A.5 B. C.-5 D.0.5 2、若且，則的值為（ ） A. B. C. D.不能確定 3、數(shù)軸上的點A到原點的距離是6，則點A表示的數(shù)是（ ） A.6或-6 B.6 C.-6 D.3或-3 4、 下列各式錯誤的是（ ） A. B. C. D. 5、若則的關(guān)系是（ ） A.相等 B.互為相反數(shù) C.相等或互為相反數(shù) D.以上均不正確 6、下列說法中錯誤的個數(shù)是（ ） ①絕對值是它本

29、身的數(shù)有兩個，它們是0和1 ②一個有理數(shù)的絕對值必是正數(shù) ③2的相反數(shù)的絕對值是2 ④任何有理數(shù)的絕對值都不是負數(shù) A.0 B.1 C.2 D.3 7、在下列四個數(shù)中，比0小的數(shù)是（ ） A.0.5 B.-2 C.1 D.3 8、下列各式中正確的是（ ） A. B. C. D. 9、有理數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點如圖所示，則，，的大小關(guān)系是（ ） A. B. C..

30、 D. 10、滿足的數(shù)有（ ） A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 無數(shù)個 11、已知，則的值為（ ） A. B. C. D. 以上答案均不正確 12、若，則為（ ） A. B. C. D. 13、設(shè)是最小的正整數(shù)，是最大負整數(shù)的相反數(shù)，是絕對值最小的有理數(shù)，則的大小關(guān)系是（ ） A. B. C. D. 14、下列推理：①②③ ④，其中正確的個數(shù)為（ ） A.

31、1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個 15、為有理數(shù)，且，則的大小順序是（ ） A. B. C. D. 16、求下列各數(shù)的絕對值，并將所有數(shù)在數(shù)軸上表示出來。 （1） （2） （3） （4） 17、比較下列各組數(shù)的大小。 （1）和 （2）和 （3）和 （4）和 18、計算： （1） （2） (3) （4） 19、把下列各式去掉絕對值的符號。 （1）

32、 （2） 20、已知，求的值 21、已知且，求的值 1.3.1有理數(shù)的加法 知識點歸納 一、有理數(shù)加法的定義 1、把兩個有理數(shù)合成一個有理數(shù)的運算叫作有理數(shù)的加法。 2、兩個有理數(shù)相加，有以下幾種情況： （1）兩數(shù)都是正數(shù)；（2）兩數(shù)都是負數(shù)；（3）兩數(shù)異號，即一個是正數(shù)，一個是負數(shù)； （4）一個是正數(shù)，一個是0；（5）一個是負數(shù)，一個是0；（6）兩個數(shù)都是0. 二、有理數(shù)的加法法則 1、有理數(shù)的加法法則共有4條： （1）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加； （2）異

33、號兩數(shù)相加，絕對值不相等時，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值； （3）互為相反的兩個數(shù)相加得0； （4）一個數(shù)與0相加，仍得這個數(shù)。 2、用字母表示加法法則： （1）同號兩數(shù)相加 若則；若則； （2）異號兩數(shù)相加，絕對值不相等時， 若且則 若且則 （3）互為相反的兩個數(shù)相加：若且則 （4） 一個數(shù)與0相加： 【注意】理解與運用有理數(shù)的加法法則應(yīng)該注意以下幾點： （1）符號相同的兩個數(shù)相加的算法，實際上有兩種：兩個正數(shù)相加或兩個負數(shù)相加。兩個數(shù)相加后得一個數(shù)，符號不變，絕對值相加，實際上說明了這類題的算法。 （2）絕對值不相等的異號兩數(shù)相加時，

34、最后結(jié)果是由大的絕對值減去小的絕對值和較大的加數(shù)的符號兩部分組成，千萬不要兩個絕對值相加。 （3）互為相反的兩個數(shù)相加時，也可以用絕對值不相等的異號兩數(shù)相加的法則進行計算。 （4）任何數(shù)同0相加仍得任何數(shù)，在小學(xué)就接觸過，不同的是中學(xué)還接觸到負數(shù)與0相加，仍得這個負數(shù)。 （5）計算時不能只計算絕對值，忘記確定符號。計算時要牢記步驟，不管是同號還是異號兩數(shù)相加，一定要先確定符號，再計算絕對值。 （6）不要將“同號兩數(shù)相加”和“異號兩數(shù)相加”的法則弄混，要熟練掌握法則，準確計算絕對值的加減。 （7）不能認為和一定大于加數(shù)：受小學(xué)加法的影響，認為和一定大于每個加數(shù)，這是錯誤的。要打破小學(xué)學(xué)

35、習(xí)中的思維定式。 三、有理數(shù)加法的運算步驟 進行有理數(shù)加法運算時，應(yīng)按以下“一判二定三加減”的步驟： （1）判斷類型，根據(jù)類型確定用哪一個法則； （2）根據(jù)加數(shù)的絕對值的大小及加數(shù)的符號確定和的符號； （3） 對絕對值進行加減運算確定數(shù)值。 四、有理數(shù)加法的運算律 有理數(shù)加法運算律 加法交換律 文字語言 兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。 符號語言 加法結(jié)合律 文字語言 三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變。 符號語言 五、有理數(shù)加法運算律運算技巧 利用有理數(shù)的加法運算律，可以使計算簡捷，實際運算常采用下列技巧： （1

36、）互為相反的兩個數(shù)可以先相加； （2）幾個數(shù)的和為0可先相加； （3）幾個數(shù)相加可得整數(shù)的可先相加； （4）同分母的分數(shù)可先相加； （5）異號且絕對值相近的兩數(shù)可先相加； （6）符號相同的數(shù)可先相加。 1.3.2有理數(shù)的減法 知識點歸納 一、 一、有理數(shù)減法的意義 1、 有理數(shù)的減法，就是已知兩個有理數(shù)的和與其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算。 2、 有理數(shù)的減法與加法互為逆運算。 3、 任意兩個數(shù)都可以進行減法運算。 4、 幾個有理數(shù)相減，差仍為有理數(shù)，差由兩部分構(gòu)成：（1）性質(zhì)符號；（2）數(shù)字即數(shù)的絕對值。 二、有理數(shù)的減法法則 內(nèi)容：減去一個數(shù)，等于

37、加上這個數(shù)的相反數(shù)，即。這里的表示任意有理數(shù)。 這樣一來，就把有理數(shù)的減法運算轉(zhuǎn)化為加法運算了，具體步驟是： （1） 將減號變成加號，把減數(shù)的相反數(shù)變成加數(shù)； （2） 按照加法運算的步驟去做。 【注意】 （1） 有理數(shù)的減法是有理數(shù)加法的逆運算，做減法時常用轉(zhuǎn)化的思想，把減法轉(zhuǎn)化成加法計算； （2） 進行減法運算時，首先應(yīng)弄清減數(shù)的符號）（是“+”還是“-”）； （3） 將有理數(shù)減法轉(zhuǎn)化為加法時，要同時改變兩個符號：一個是把運算符號“-”變?yōu)椤?”；另一個是改變減數(shù)的性質(zhì)符號，變成它的相反數(shù)，如： （-5）-（+3）=（-5）+（-3）=-8 （-5）-（-3）=

38、（-5）+（+3）=-2 三、有理數(shù)的加減混合運算 對有理數(shù)的加減混合運算應(yīng)作如下理解： （1）因為減法可以轉(zhuǎn)化為加法運算，于是加減混合運算可以統(tǒng)一為加法運算，用式子表示為：這稱為幾個數(shù)的代數(shù)和。 （2）代數(shù)和中，加號和括號可以省略。 【特別提示】只有把加減法統(tǒng)一成加法后，才能寫成代數(shù)和，正數(shù)要帶著性質(zhì)符號（當正數(shù)在式子的第一項時可以省略）。 四、有理數(shù)加減混合運算的方法和步驟 1、運用有理數(shù)的減法法則將有理數(shù)混合運算中的減法轉(zhuǎn)化為加法； 2、寫成省略加號和括號的形式； 3、運用加法法則、加法交換律、加法結(jié)合律簡化運算。 【注意】（1）簡化和的形式后，要注意“+”“-”

39、的理解和使用.既可看作運算符號，也可看作數(shù)的性質(zhì)符號. （2）運用加法運算律時，第一。交換加數(shù)位置時，要連同它的性質(zhì)符號一起交換位置，千萬不要把符號漏掉；第二，在應(yīng)用結(jié)合律時，應(yīng)突出湊整、同分母、同號的特點。 五、運用作差法比較兩個有理數(shù)的大小 運用有理數(shù)的減法運算律可以比較兩個有理數(shù)的大小，這就是“作差法”。要比較兩個有理數(shù)與的大小，可先求出與的差。 （1）當時，； （2）當時，； （3）當時，. 以上結(jié)論，反過來也成立。 1.4.1有理數(shù)的乘法 知識點歸納 一、有理數(shù)的乘法法則 1、異號兩數(shù)相乘得負數(shù)，并把絕對值相乘.

40、 2、任何數(shù)與0相乘，都得0. 3、同號兩數(shù)相乘得正數(shù)，并把絕對值相乘。 【注意】（1）有理數(shù)的乘法法則可以簡述為:兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘，任何數(shù)與0相乘，都得0. （2）不為0的兩數(shù)相乘，先確定符號，再把絕對值相乘. （3）當因數(shù)中有負號時，必須用括號括起來. （4）數(shù)字與字母、字母與字母、數(shù)字與括號之間相乘時可省略乘號. （5）有理數(shù)的乘法實質(zhì)是通過符號法則，將有理數(shù)的乘法轉(zhuǎn)化為小學(xué)算術(shù)乘法來完成. 二、有理數(shù)乘法的運算律 有 理 數(shù) 乘 法 運 算 律 乘法交換律 文字語言 兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變。 符號語言

41、 乘法結(jié)合律 文字語言 三個數(shù)相乘，先把前兩個因數(shù)相乘，然后把結(jié)果與第三個數(shù)相乘；或者先把后兩個數(shù)相乘，再把第一個數(shù)與所得的結(jié)果相乘，積不變。 符號語言 乘法分配律 文字語言 一個數(shù)與來那個個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別與這兩個數(shù)相乘，再把積相加。 符號語言 【注意事項】 （1）乘法交換律和乘法結(jié)合律，是指因數(shù)的位置交換和因數(shù)的結(jié)合，它們都包含性質(zhì)符號. （2）用乘法分配律時，要平均分配，不能漏乘，且要注意符號法則的應(yīng)用. （3）進行乘法運算時，一定要把小數(shù)轉(zhuǎn)化為分數(shù)，帶分數(shù)轉(zhuǎn)化為假分數(shù)，能約分的要先約分。 （4）乘法運算律可推廣為：三個以上的有理

42、數(shù)相乘，可以任意交換因數(shù)的位置，或者把其中的幾個因數(shù)相乘.如：一個數(shù)同幾個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這幾個數(shù)相乘，再把積相加。 （5）利用乘法分配律去掉括號時要注意以下兩個方面： A.括號外面是正數(shù)時，去掉括號后式子各項的符號與原括號內(nèi)式子相應(yīng)各項的符號相同； B.括號外面的因數(shù)是負數(shù)時，去掉括號后式子各項的符號與原括號內(nèi)式子相應(yīng)各項的符號相反，另外還要特別注意再去括號時，不要漏項。 三、有理數(shù)乘法法則的推廣 1、幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定。當負因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負；當負因數(shù)的個數(shù)有偶數(shù)個時，積為正。 2、幾個數(shù)相乘，如果有一個因數(shù)為0，那么積就等于

43、0. 【注意事項】 （1）在有理數(shù)的乘法中，每一個乘數(shù)都叫做一個因數(shù)； （2）幾個不等于0的有理數(shù)相乘，先根據(jù)負因數(shù)的個數(shù)確定符號，然后把絕對值相乘； （3）幾個數(shù)相乘，如果有一個因數(shù)為0，那么積就等于0.反之，如果積為0，那么至少有一個因數(shù)為0. 四、兩個有理數(shù)的乘法步驟 1、確定積的符號，根據(jù)同號得正，異號得負這一結(jié)論。 2、把絕對值相乘，這與小學(xué)里的乘法一致。 五、幾個非零有理數(shù)的乘法步驟 1、先確定積的符號，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定.當負因數(shù)由奇數(shù)個時，積為負；當負因數(shù)的個數(shù)由偶數(shù)個時，積為正。 2、再把絕對值相乘。 注：進行有理數(shù)的乘法運算時，一般來說，把小數(shù)

44、化成分數(shù)，把帶分數(shù)化成假分數(shù)進行計算時簡單些。 1.4.2有理數(shù)的除法 知識點歸納 一、倒數(shù)的意義：乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù) 【注意事項】 （1）“互為倒數(shù)”的兩個數(shù)是相互依存的； （2）0和任何數(shù)相乘都等于0而不是1，因此0沒有倒數(shù)； （3）的倒數(shù)是； （4）倒數(shù)的結(jié)果必須化成最簡形式，使分母中不含小數(shù)和分數(shù)； （5）互為倒數(shù)的兩個數(shù)必定同號（同為正數(shù)或同為負數(shù)）。 二、倒數(shù)的求法 1、求一個數(shù)的倒數(shù)，可以直接寫成這個數(shù)的幾分之一，即的倒數(shù)是 2、求一個分數(shù)的倒數(shù)，只要將分子、分母交換一下位置即可，即的倒數(shù)是 3、求一個帶分數(shù)的倒數(shù)，應(yīng)先將帶

45、分數(shù)化成假分數(shù)再求其倒數(shù) 4、求一個小數(shù)的倒數(shù)，先將小數(shù)化成分數(shù)，然后再求倒數(shù) 5、求一個數(shù)的負倒數(shù)，先求這個數(shù)的倒數(shù)，再求倒數(shù)的相反數(shù)即可。（乘積為-1的兩個數(shù)互為負倒數(shù)） 三、有理數(shù)的除法法則 1、除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù) 2、兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除 3、0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0 有理數(shù)的除法公式 【注意事項】 （1）一般在不能整除的情況下，應(yīng)用第一個法則，在能整除的情況下應(yīng)用第二個法則 （2）因為找不到一個與0相乘結(jié)果不為0，所以0不能當除數(shù) （3）第二個法則與有理數(shù)的乘

46、法法則相似，兩數(shù)相除時先確定商的符號，再確定商的絕對值。 四、有理數(shù)的乘除混合運算 有理數(shù)的乘除混合運算通常先統(tǒng)一為乘法，變成多個有理數(shù)相乘。 1、因為乘法與除法是同一級運算，應(yīng)按從左到右的順序運算 2、結(jié)果的符號由算式中負數(shù)的個數(shù)決定，負數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)個時結(jié)果為正；負數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)個時結(jié)果為負 3、化成后，應(yīng)先約分再相乘 五、有理數(shù)的加減乘除混合運算 有理數(shù)的四則混合運算，應(yīng)遵循有括號先算括號（一般先算小括號，再算中括號，最后算大括號）里面的運算，無括號則應(yīng)按“先乘除，后加減”的順序計算。 知識點歸納 一、乘方的概念 定義：求n個相同因數(shù)的積的運算，叫作乘方，

47、即，記作，讀作的n次方。 【注意】其實乘方運算是求若干相同因數(shù)的積的一種簡便運算，這里要注意因數(shù)一定要相同。 二、冪的概念 定義：乘方的結(jié)果叫作冪。 【注意事項】 （1）乘方與冪不同，乘方是一種運算，冪是乘方運算的一種結(jié)果，乘方與冪的關(guān)系，就如同乘法與積的關(guān)系一樣； （2）只有乘方才有冪，不能單獨出現(xiàn)一個數(shù)就叫冪。 三、指數(shù)、底數(shù)的概念 定義：相同因數(shù)的個數(shù)叫指數(shù)，相同因數(shù)叫底數(shù)。如在n中，叫底數(shù)，n叫指數(shù)。 注意：底數(shù)一定是相同的因數(shù) 四、乘方運算法則 正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)。 【注意事項】 （1）有時一個數(shù)也可看作它本身的一

48、次方 （2）有理數(shù)的乘方是有理數(shù)乘法的簡便運算，因此有理數(shù)乘方的符號源于有理數(shù)乘法的符號法則。 五、有理數(shù)的混合運算 1、運算順序： （1）先算乘方，再算乘除，最后算加減； （2）同級運算，從左到右進行； （3）如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號。大括號依次進行。 （4）通常把六種基本運算分為三級：加減是第一級運算，乘除是第二級運算，乘方和開方是第三級運算。 （5）運算順序的規(guī)定是先做高級運算，再做低級運，同級運算是指加與減（或乘與除）在一起的運算。 【注意事項】 （1）在計算時，應(yīng)強化順序意識，但該簡便運算時還應(yīng)簡便運算； （2）要活用運算順序，不能一味強調(diào)順

49、序計算。如：同級運算，按從左到右的順序進行；將加減法統(tǒng)一成加法，乘除運算統(tǒng)一成乘法后就不可按這個順序進行，各根據(jù)需要運用交換律、結(jié)合律靈活選擇運算順序；對于有括號的，則先做括號內(nèi)的運算，可以用分配律時就可以先去括號而不是先算括號里的等； （3）應(yīng)注意數(shù)的性質(zhì)符號的變化，不能出錯。 六、-1的n次方 -1的奇次冪為-1，-1的偶次冪為1，用式子表示為（-1）2n =1，（-1）2n+1 =-1.（n為正整數(shù)） 【推廣】用字母表示有理數(shù)，為正整數(shù)，則有： （1）當時，； （2）當時，； （3）當. 1.5.2科學(xué)計數(shù)法 知識點歸納 一、絕對值大于10的數(shù)的科學(xué)計數(shù)法 1、科學(xué)

50、計數(shù)法：把一個絕對值大于10的數(shù)寫成的形式（其中是整數(shù)位只有一位的數(shù)，是正整數(shù)），這種計數(shù)的方法就是科學(xué)計數(shù)法。 2、用科學(xué)計數(shù)法計數(shù)時應(yīng)注意： （1）不能改變數(shù)的大小； （2）表示成的形式； （3）； （4）負數(shù)也可以用科學(xué)計數(shù)法表示，“-”照寫，其他與正數(shù)一樣。 3、一個數(shù)寫成的形式時，的整數(shù)位只有一位，否則錯誤。 4、把一個數(shù)寫成的形式時，若這個數(shù)是大于10的數(shù)，則比這個數(shù)的整數(shù)位少1. 二、把科學(xué)計數(shù)法形式的數(shù)轉(zhuǎn)化為原數(shù) 1,、根據(jù)10的指數(shù)來確定，是幾，就把小數(shù)點向右移動幾位。 2、把科學(xué)計數(shù)法表示的數(shù)中的指數(shù)加上1，就得到了原數(shù)的整數(shù)位。 【注意事項】 （1

51、）當把科學(xué)計數(shù)法形式的數(shù)轉(zhuǎn)化成原數(shù)時，可在以上方法中任選一種，便可解決問題。 （2）化繁為簡的思想方法：用科學(xué)計數(shù)法表示數(shù)，易讀、易寫、易記，不易出錯，減少閱讀書寫和記憶的麻煩，這滲透了化繁為簡的思想。 1.5.3近似數(shù) 知識點歸納 一、準確數(shù)和近似數(shù) 1、準確數(shù)往往是生活中可以用自然數(shù)表示的人數(shù)或物體的個數(shù)等。 2、在實際問題中有的量不可能或者沒有必要用準確數(shù)表示，而用有理數(shù)近似地表示出來，這個數(shù)就是這個量的近似數(shù)（或近似值）。 注：一般地，表示測量出來的數(shù)，通常是近似數(shù)。 二、有效數(shù)字 一個近似數(shù)，從左邊第一個不是0的數(shù)字起，到末尾數(shù)字為止，所有的數(shù)字都叫做這個數(shù)的有效數(shù)

52、字。 【提示】 1、有效數(shù)字的確定，要注意以下幾點： （1）從左邊第一個非零數(shù)字起，為第一個有效數(shù)字； （2）到精確的數(shù)位上，后面的數(shù)字按四舍五入處理； （3）有效數(shù)字包括重復(fù)數(shù)字和0、 2、對于同一個數(shù)字取近似值時，有效數(shù)字個數(shù)越多，精確度越高。 3、特別地，用科學(xué)計數(shù)法表示的近似數(shù)，規(guī)定它的有效數(shù)字是中的有效數(shù)字。 4、還可根據(jù)保留幾位有效數(shù)字取近似數(shù)。 三、近似數(shù)精確度的表示 近似數(shù)和準確數(shù)的接近程度可以用精確度表示，一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，就稱這個數(shù)精確到哪一位，精確度是精確程度。精確度有兩種形式：一是精確到哪一位，二是保留幾個有效數(shù)字。 四、近似數(shù)和有效數(shù)字的確定方法 1、對一般數(shù)字的近似數(shù)有兩個原則：一是非零數(shù)字都是有效數(shù)字；二是前面的“0”都不是有效數(shù)字，夾在非零數(shù)字中間的“0”和后面的“0”都是有效數(shù)字。 2、對用科學(xué)計數(shù)法表示的數(shù)：由中的的確定，的有效數(shù)字就是這個近似數(shù)的有效數(shù)字，與無關(guān)。 3、對帶有計數(shù)單位的近似數(shù)，方法同上，如1.2萬，同有兩個有效數(shù)字1、2，而不是5個有效數(shù)字1、2、0、0、0。 【注意事項】 （1）有些近似數(shù)大小是相同的，但精確度和有效數(shù)字不同。 （2）有些近似數(shù)表現(xiàn)形式不同，但數(shù)值大小、精確程度和有效數(shù)字是相同的。