2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 18.4 柯西不等式和排序不等式教案 理 新人教A版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 18.4 柯西不等式和排序不等式教案 理 新人教A版 典例精析 題型一 用柯西不等式、排序不等式證明不等式 【例1】設(shè)a1,a2,…,an都為正實(shí)數(shù),證明:++…++≥a1+a2+…+an. 【證明】方法一:由柯西不等式,有 (++…++)(a2+a3+…+an+a1)≥ (++…+)2=(a1+a2+…+an)2. 不等式兩邊約去正數(shù)因式a1+a2+…+an即得所證不等式. 方法二:不妨設(shè)a1≤a2≤…≤an,則a≤a≤…≤a,≥≥…≥. 由排序不等式有 a+a+…+a+a≥a+a+…+a=a1+a2+…+an, 故不等式成立. 方法三:由均值不等式有 +a2≥2a1,+a3≥2a2,…,+a1≥2an,將這n個(gè)不等式相加得 ++…+++a2+a3+…+an+a1≥2(a1+a2+…+an),整理即得所證不等式. 【點(diǎn)撥】 根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)形式觀察是否符合柯西不等式、排序不等式的結(jié)構(gòu)形式或有相似之處.將其配成相關(guān)結(jié)構(gòu)形式是解決問題的突破口,有時(shí)往往要進(jìn)行添項(xiàng)、拆項(xiàng)、重組、配方等方法的處理. 【變式訓(xùn)練1】已知a+b+c=1,且a、b、c是正數(shù),求證:++≥9. 【證明】左邊=[2(a+b+c)](++) =[(a+b)+(b+c)+(c+a)](++)≥(1+1+1)2=9, (或左邊=[(a+b)+(b+c)+(c+a)](++) =3++++++ ≥3+2+2+2=9) 所以++≥9. 題型二 用柯西不等式求最值 【例2】 若實(shí)數(shù)x,y,z滿足x+2y+3z=2,求x2+y2+z2的最小值. 【解析】 由柯西不等式得,(12+22+32)(x2+y2+z2)≥(x+2y+3z)2=4 (當(dāng)且僅當(dāng)1=kx,2=ky,3=kz時(shí)等號(hào)成立, 結(jié)合x+2y+3z=2,解得x=,y=,z=), 所以14(x2+y2+z2)≥4.所以x2+y2+z2≥. 故x2+y2+z2的最小值為. 【點(diǎn)撥】 根據(jù)柯西不等式,要求x2+y2+z2的最小值,就要給x2+y2+z2再配一個(gè)平方和形式的因式,再考慮需要出現(xiàn)定值,就要讓柯西不等式的右邊出現(xiàn)x+2y+3z的形式,從而得到解題思路.由此可見,柯西不等式可以應(yīng)用在求代數(shù)式的最值中. 【變式訓(xùn)練2】已知x2+2y2+3z2=,求3x+2y+z的最小值. 【解析】因?yàn)?x2+2y2+3z2)[32+()2+()2] ≥(3x+y+z)2≥(3x+2y+z)2, 所以(3x+2y+z)2≤12,即-2≤3x+2y+z≤2, 當(dāng)且僅當(dāng)x=-,y=-,z=-時(shí), 3x+2y+z取最小值,最小值為-2. 題型三 不等式綜合證明與運(yùn)用 【例3】 設(shè)x>0,求證:1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn. 【證明】(1)當(dāng)x≥1時(shí),1≤x≤x2≤…≤xn,由排序原理:順序和≥反序和得 11+xx+x2x2+…+xnxn≥1xn+xxn-1+…+xn-1x+xn1, 即1+x2+x4+…+x2n≥(n+1)xn.① 又因?yàn)閤,x2,…,xn,1為序列1,x,x2,…,xn的一個(gè)排列,于是再次由排序原理:亂序和≥反序和得1x+xx2+…+xn-1xn+xn1≥1xn+xxn-1+…+xn-1x+xn1, 即x+x3+…+x2n-1+xn≥(n+1)xn,② 將①和②相加得1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn.③ (2)當(dāng)0<x<1時(shí),1>x>x2>…>xn. 由①②仍然成立,于是③也成立. 綜合(1)(2),原不等式成立. 【點(diǎn)撥】 分類討論的目的在于明確兩個(gè)序列的大小順序. 【變式訓(xùn)練3】把長為9 cm的細(xì)鐵線截成三段,各自圍成一個(gè)正三角形,求這三個(gè)正三角形面積和的最小值. 【解析】設(shè)這三個(gè)正三角形的邊長分別為a、b、c,則a+b+c=3,且這三個(gè)正三角形面積和S滿足: 3S=(a2+b2+c2)(12+12+12)≥(a+b+c)2=?S≥. 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí),等號(hào)成立. 總結(jié)提高 1.柯西不等式是基本而重要的不等式,是推證其他許多不等式的基礎(chǔ),有著廣泛的應(yīng)用.教科書首先介紹二維形式的柯西不等式,再從向量的角度來認(rèn)識(shí)柯西不等式,引入向量形式的柯西不等式,再介紹一般形式的柯西不等式,以及柯西不等式在證明不等式和求某些特殊類型的函數(shù)極值中的應(yīng)用. 2.排序不等式也是基本而重要的不等式.一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形,例如不等式a2+b2≥2ab.有些重要不等式則可以借助排序不等式得到簡捷的證明.證明排序不等式時(shí),教科書展示了一個(gè)“探究——猜想——證明——應(yīng)用”的研究過程,目的是引導(dǎo)學(xué)生通過自己的數(shù)學(xué)活動(dòng),初步認(rèn)識(shí)排序不等式的數(shù)學(xué)意義、證明方法和簡單應(yīng)用. 3.利用柯西不等式或排序不等式常常根據(jù)所求解(證)的式子結(jié)構(gòu)入手,構(gòu)造適當(dāng)?shù)膬山M數(shù),有難度的逐步調(diào)整去構(gòu)造.對于具體明確的大小順序、數(shù)目相同的兩列數(shù)考慮它們對應(yīng)乘積之和的大小關(guān)系時(shí),通??紤]排序不等式.- 配套講稿:
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