2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章《推理與證明》章末復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì) 新人教A版選修2-2.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章《推理與證明》章末復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì) 新人教A版選修2-2 考試要求 1．了解合情推理的思維過(guò)程； 2．掌握演繹推理的一般模式； 3．會(huì)靈活運(yùn)用直接證明和間接證明的方法，證明問(wèn)題； 4．掌握數(shù)學(xué)歸納法的整體思想. 典例精析精講 例1 、如圖，已知□ABCD，直線BC⊥平面ABE，F(xiàn)為CE的中點(diǎn). 例1圖 （1）求證：直線AE∥平面BDF； （2）若，求證：平面BDF⊥平面BCE． 證明：（1）設(shè)AC∩BD＝G，連接FG. 由四邊形ABCD為平行四邊形，得G是AC的中點(diǎn). 又∵F是EC中點(diǎn)，∴在△ACE中，F(xiàn)G∥AE. ∵AE平面BFD，F(xiàn)G?平面BFD，∴AE∥平面BFD； （2）∵，∴. 又∵直線BC⊥平面ABE，∴. 又，∴直線平面. 由（1）知，F(xiàn)G∥AE，∴直線平面. 例2 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和（n為正整數(shù)）. （Ⅰ）令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）令，試比較與的大小，并予以證明. 解：（I）在中，令n=1，可得，即. 當(dāng)時(shí)，， . . 又?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列. 于是. (II)由（I）得，所以 ， . 由①-②得 . 于是確定的大小關(guān)系等價(jià)于比較的大小. 由 可猜想當(dāng)證明如下： 證法1：（1）當(dāng)n=3時(shí)，由上驗(yàn)算顯示成立. （2）假設(shè)時(shí)，. 所以當(dāng)時(shí)猜想也成立. 綜合（1）（2）可知 ，對(duì)一切的正整數(shù)，都有 證法2：當(dāng)時(shí)， 綜上所述，當(dāng)，當(dāng)時(shí). 例3 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，記. （I）求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式； （II）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，找出一個(gè)正整數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； （III）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有. 解：（I）當(dāng)時(shí)，. 又， . ∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列. ∴，. （II）不存在正整數(shù)，使得成立. 證明：由（I）知. ∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè). ∴. 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè). ∴. ∴對(duì)于一切的正整數(shù)n，都有. ∴不存在正整數(shù)，使得成立. （III）由，得 又， 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)， 例4 設(shè)函數(shù)．?dāng)?shù)列滿足，． （Ⅰ）證明：函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)； （Ⅱ）證明：； （Ⅲ）設(shè)，整數(shù)．證明：． 解析：（Ⅰ）證明：， 故函數(shù)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù). （Ⅱ）證明：（用數(shù)學(xué)歸納法）（i）當(dāng)n=1時(shí)，，， ， 由函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，且函數(shù)在處連續(xù)，則在區(qū)間是增函數(shù)，，即成立； （ⅱ）假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，即， 那么當(dāng)時(shí)，由在區(qū)間是增函數(shù)，，得 .而，則， ，也就是說(shuō)當(dāng)時(shí)，也成立； 根據(jù)（?。?、（ⅱ）可得對(duì)任意的正整數(shù)，恒成立. （Ⅲ）證明：由，，可得 . （1） 若存在某滿足，則由（ⅱ）知：； （2）若對(duì)任意都有，則 ，即成立. 例5 已知函數(shù)滿足下列條件：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1，x2都有和，其中是大于0的常數(shù).設(shè)實(shí)數(shù)a0，a，b滿足 和. （Ⅰ）證明:，并且不存在，使得； （Ⅱ）證明:； （Ⅲ）證明:. 證明：（Ⅰ）不妨設(shè)，由， 可知，是R上的增函數(shù).不存在，使得. 又，. （Ⅱ）要證：， 即證：. 不妨設(shè)，由，得. 即.則. （1） 由，得， 即. 則. （2） 由（1）（2）可得.. （Ⅲ）,.,又由（2）中結(jié)論，. 高考真題博覽 1．（xx天津理4）對(duì)實(shí)數(shù)和，定義運(yùn)算“”：設(shè)函數(shù)若函數(shù)的圖像與軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 A． 　　　 B． 　　 C． 　　　 D． 【答案】B 2．（xx山東理12）設(shè)，，，是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若（λ∈R），（μ∈R），且,則稱，調(diào)和分割，,已知平面上的點(diǎn)C，D調(diào)和分割點(diǎn)A，B則下面說(shuō)法正確的是 A．C可能是線段AB的中點(diǎn) B．D可能是線段AB的中點(diǎn) C．C，D可能同時(shí)在線段AB上 D．C，D不可能同時(shí)在線段AB的延長(zhǎng)線上 【答案】D 3.（xx湖北理9）若實(shí)數(shù)a,b滿足且，則稱a與b互補(bǔ)，記，那么是a與b互補(bǔ)的 A．必要而不充分的條件 B．充分而不必要的條件 C．充要條件 D．即不充分也不必要的條件 【答案】C 4.（xx福建理15）設(shè)V是全體平面向量構(gòu)成的集合，若映射滿足：對(duì)任意向量a=（x1，y1）∈V，b=（x2，y2）∈V，以及任意∈R，均有 則稱映射f具有性質(zhì)P.現(xiàn)給出如下映射： ① ② ③ 其中，具有性質(zhì)P的映射的序號(hào)為_(kāi)_______.（寫(xiě)出所有具有性質(zhì)P的映射的序號(hào)） 【答案】①③ 5.（xx湖南理16）對(duì)于,將n表示,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí), 為0或1．記為上述表示中ai為0的個(gè)數(shù)（例如：）,故, ）,則 （1）________________;（2） ________________. 【答案】2；1093 6.（xx北京理8）設(shè),，,.記為平行四邊形ABCD內(nèi)部（不含邊界）的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中整點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)，則函數(shù)的值域?yàn)? A． B． C． D． 【答案】C 7.（xx江西理7）觀察下列各式：=3125，=15625，=78125，…則的末四位數(shù)字為 A．3125 B．5625 C．0625 D．8125 【答案】D 8.（xx廣東理8）設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果有，則稱S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的．若T,V是Z的兩個(gè)不相交的非空子集，且有有，則下列結(jié)論恒成立的是 A．中至少有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的 B．中至多有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的 C．中有且只有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉的 D．中每一個(gè)關(guān)于乘法都是封閉的 【答案】A 9.（xx江西理10）如右圖，一個(gè)直徑為l的小圓沿著直徑為2的大圓內(nèi)壁的逆時(shí)針?lè)较驖L動(dòng)，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個(gè)端點(diǎn)．那么，當(dāng)小圓這樣滾過(guò)大圓內(nèi)壁的一周，點(diǎn)M，N在大圓內(nèi)所繪出的圖形大致是 【答案】A 10.（xx安徽理15）在平面直角坐標(biāo)系中，如果與都是整數(shù)，就稱點(diǎn)為整點(diǎn)，下列命題中正確的是_____________（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）. ①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn) ②如果與都是無(wú)理數(shù)，則直線不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn) ③直線經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)經(jīng)過(guò)兩個(gè)不同的整點(diǎn) ④直線經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是：與都是有理數(shù) ⑤存在恰經(jīng)過(guò)一個(gè)整點(diǎn)的直線 【答案】①，③，⑤ 11.（xx四川理16）函數(shù)的定義域?yàn)锳，若時(shí)總有為單函數(shù)．例如，函數(shù)=2x+1（）是單函數(shù)．下列命題： ①函數(shù)=（xR）是單函數(shù)； ②若為單函數(shù)， ③若f：AB為單函數(shù)，則對(duì)于任意bB，它至多有一個(gè)原象； ④函數(shù)f（x）在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則f（x）一定是單函數(shù)． 其中的真命題是 ．（寫(xiě)出所有真命題的編號(hào)） 答案：②③④ 解析 ：①錯(cuò)，，②③④正確 12.（xx山東理15）設(shè)函數(shù),觀察: …… 根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得： 當(dāng)且時(shí)， . 【答案】 13.（xx陜西理13）觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 …… 照此規(guī)律，第個(gè)等式為 . 【答案】