高中數(shù)學《變化率與導數(shù)綜合》學案1北師大版選修2-2

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1、 變化率與導數(shù)變化率問題 學習目標 1.理解函數(shù)的增量的概念 2.理解函數(shù)的增量與自變量的增量的比的極限的具體意義 學習重點 函數(shù)的增量 瞬時速度、切線的斜率、邊際成本 學習難點 極限思想 教學過程 一、導入新課 1. 瞬時速度 問題 1：一個小球自由下落，它在下落 3 秒時的速度是多少？ 析：大家知道，自由落體的運動公式是 s 1 gt 2 （其中 g 是重力加速度） . 2

2、 當時間增量 t 很小時，從 3 秒到（ 3＋ t ）秒這段時間內(nèi)，小球下落的快慢變化不大. 因此，可以用這段時間內(nèi)的平均速度近似地反映小球在下落 3 秒時的速度 . 從 3 秒到（ 3＋ t ）秒這段時間內(nèi)位移的增量： s s(3 t ) s(3) 4.9(3 t) 2 4.9 32 29.4 t 4.9( t ) 2 從而， v s 29.4 4.9 t . t s 越接近 29.4 s 無限趨 從上式可

3、以看出， t 越小， 米/秒；當 t 無限趨近于 0 時， t s 的極限是 29.4. t 近于 29.4 米 / 秒. 此時我們說，當 t 趨向于 0 時， t 當 t 趨向于 0 時，平均速度 s 的極限就是小球下降 3 秒時的速度，也叫做 t 瞬時速度 . 一般地，設物體的運動規(guī)律是 s＝ s（ t），則物體在 t 到（ t＋ t ）這段時間內(nèi)的平均速 度為 s s(t t ) s(t )

4、. 如果 t 無限趨近于 0 時， s 無限趨近于某個常數(shù) a，就說當 t t t t 趨向于 0 時， s 的極限為 a，這時 a 就是物體在時刻 t 的瞬時速度 . t 2. 切線的斜率 問題 2：P（ 1,1）是曲線 y x 2 上的一點， Q 是曲線上點 P 附近的一個點，當點 Q 沿曲線逐 漸向點 P 趨近時割線 PQ 的斜率的變化情況 . 析：設點 Q 的橫坐標為 1＋ x ，則點 Q 的縱坐標為（ 1＋ x ） 2，點 Q 對于點 P 的縱坐標

5、 用心 愛心 專心 1 的增量（即函數(shù)的增量） y (1 x) 2 1 2 x ( x) 2 ， 所以，割線 PQ 的斜率 kPQ y 2 x ( x)2 2 x . x x 由此可知，當點 Q 沿曲線逐漸向點 P 接近時， x 變得越來越小， k PQ 越來越接近 2； 當點 Q 無限接近

6、于點 P 時，即 x 無限趨近于 0 時， k PQ 無限趨近于 2. 這表明，割線 PQ 無限趨近于過點 P 且斜率為 2 的直線 . 我們把這條直線叫做曲線在點 P 處的切線 . 由點斜 式，這條切線的方程為： y 2 x 1. 一般地，已知函數(shù) y f ( x) 的圖象是曲線 C，P（ x0 , y0 ）， Q（ x0 x, y0 y ）是 曲線 C 上的兩點，當點 Q 沿曲線逐漸向點 P 接近時，割線 PQ 繞著點 P 轉(zhuǎn)動 . 當點 Q

7、沿著 曲線無限接近點 P，即 x 趨向于 0 時，如果割線 PQ 無限趨近于一個極限位置 PT，那么直 線 PT 叫做曲線在點 P 處的切線 . 此時，割線 PQ 的斜率 kPQ y PT 的 無限趨近于切線 x 斜率 k，也就是說，當 x 趨向于 0 時，割線 PQ 的斜率 kPQ y 的極限為 k.

8、 x 3. 邊際成本 問題 3：設成本為 C，產(chǎn)量為 q，成本與產(chǎn)量的函數(shù)關系式為 C ( ) 3 q 2 10 ，我們來研究 q 當 q ＝ 50 時 ， 產(chǎn) 量 變 化 q 對 成 本 的 影 響 . 在 本 問 題

9、中 ， 成 本 的 增 量 為 ： C C (50 q) C (50) 3(50 q) 2 10 (3 50 2 10) 300 q 3( q) 2 . 產(chǎn)量變化 q 對成本的影響可用： C 300 3 q 來刻劃， q 越小， C 越接近 300；當 q q q 無限趨近于 0 時， C 無限趨近于 300，我們就說當 q 趨向于 0 時， C 的極限是 300. q

10、 q 我們把 C 的極限 300 叫做當 q＝ 50 時 C (q) 3q 2 10 的邊際成本 . q 一般地，設 C 是成本， q 是產(chǎn)量，成本與產(chǎn)量的函數(shù)關系式為 C＝ C（ q），當產(chǎn)量為 q0 時，產(chǎn)量變化 q 對成本的影響可用增量比 C C (q0 q) C (q0 ) 如果 q 無限 q q 刻劃 .

11、 用心 愛心 專心 2 C 趨近于 0 時， 無限趨近于常數(shù) A ，經(jīng)濟學上稱 A 為邊際成本 . 它表明當產(chǎn)量為 q0 時， q 增加單位產(chǎn)量需付出成本 A （這是實際付出成本的一個近似值） . 二、小結(jié) 瞬時速度是平均速度 s 當 t 趨近于 0 時的極限；切線是割線的極限位置，切線的斜 t 率是割線斜率 y 當 x 趨近于 0 時的極限；邊際成本是平均成本 C 當 q 趨近于 0 時的 x q 極限 . 三、

12、練習與作業(yè)： 1. 某物體的運動方程為 s(t ) 5t 2 （位移單位： m，時間單位： s）求它在 t＝ 2s 時的速度 . 2. 判斷曲線 y 2x 2 在點 P（ 1,2）處是否有切線，如果有，求出切線的方程 . 3. 已知成本 C 與產(chǎn)量 q 的函數(shù)關系式為 C 2q 2 5，求當產(chǎn)量 q＝80 時的邊際成本 . 4. 一球沿某一斜面自由滾下，測得滾下的垂直距離 h（單位： m）與時間 t（單位： s）之 間的函數(shù)關系為 h t 2 ，求 t＝ 4s 時此球在垂直方向的瞬時速度 . 5. 判斷曲線 y 1 x 2 在（ 1， 1 ）處是否有切線，如果有，求出切線的方程. 2 2 6. 已知成本 C 與產(chǎn)量 q 的函數(shù)關系為 C 4q 2 7 ，求當產(chǎn)量 q＝ 30 時的邊際成本 . 用心 愛心 專心 3