2019-2020年高考數(shù)學一輪總復習 6.2 等差數(shù)列教案 理 新人教A版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學一輪總復習 6.2 等差數(shù)列教案 理 新人教A版 典例精析 題型一 等差數(shù)列的判定與基本運算 【例1】已知數(shù)列{an}前n項和Sn=n2-9n. (1)求證:{an}為等差數(shù)列;(2)記數(shù)列{|an|}的前n項和為Tn,求 Tn的表達式. 【解析】(1)證明:n=1時,a1=S1=-8, 當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2-9n-[(n-1)2-9(n-1)]=2n-10, 當n=1時,也適合該式,所以an=2n-10 (n∈N*). 當n≥2時,an-an-1=2,所以{an}為等差數(shù)列. (2)因為n≤5時,an≤0,n≥6時,an>0. 所以當n≤5時,Tn=-Sn=9n-n2, 當n≥6時,Tn=++…+++…+ =-a1-a2-…-a5+a6+a7+…+an =Sn-2S5=n2-9n-2(-20)=n2-9n+40, 所以, 【點撥】根據(jù)定義法判斷數(shù)列為等差數(shù)列,靈活運用求和公式. 【變式訓練1】已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S21=42,若記bn=,則數(shù)列{bn}( ) A.是等差數(shù)列,但不是等比數(shù)列 B.是等比數(shù)列,但不是等差數(shù)列 C.既是等差數(shù)列,又是等比數(shù)列 D.既不是等差數(shù)列,又不是等比數(shù)列 【解析】本題考查了兩類常見數(shù)列,特別是等差數(shù)列的性質.根據(jù)條件找出等差數(shù)列{an}的首項與公差之間的關系從而確定數(shù)列{bn}的通項是解決問題的突破口.{an}是等差數(shù)列,則S21=21a1+d=42. 所以a1+10d=2,即a11=2.所以bn==22-(2a11)=20=1,即數(shù)列{bn}是非0常數(shù)列,既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列.答案為C. 題型二 公式的應用 【例2】設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范圍; (2)指出S1,S2,…,S12中哪一個值最大,并說明理由. 【解析】(1)依題意,有 S12=12a1+>0,S13=13a1+<0, 即 由a3=12,得a1=12-2d.③ 將③分別代入①②式,得 所以-<d<-3. (2)方法一:由d<0可知a1>a2>a3>…>a12>a13, 因此,若在1≤n≤12中存在自然數(shù)n,使得an>0,an+1<0, 則Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值. 由于S12=6(a6+a7)>0,S13=13a7<0, 即a6+a7>0,a7<0,因此a6>0,a7<0, 故在S1,S2,…,S12中,S6的值最大. 方法二:由d<0可知a1>a2>a3>…>a12>a13, 因此,若在1≤n≤12中存在自然數(shù)n,使得an>0,an+1<0, 則Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值. 故在S1,S2,…,S12中,S6的值最大. 【變式訓練2】在等差數(shù)列{an}中,公差d>0,a2 008,a2 009是方程x2-3x-5=0的兩個根,Sn是數(shù)列{an}的前n項的和,那么滿足條件Sn<0的最大自然數(shù)n= . 【解析】由題意知又因為公差d>0,所以a2 008<0,a2 009>0. 當 n=4 015時,S4 015=4 015=a2 0084 015<0;當n=4 016時,S4 016=4 016=4 016>0.所以滿足條件Sn<0的最大自然數(shù)n=4 015. 題型三 性質的應用 【例3】某地區(qū)xx年9月份曾發(fā)生流感,據(jù)統(tǒng)計,9月1日該地區(qū)流感病毒的新感染者有40人,此后,每天的新感染者人數(shù)比前一天增加40人;但從9月11日起,該地區(qū)醫(yī)療部門采取措施,使該種病毒的傳播得到控制,每天的新感染者人數(shù)比前一天減少10人. (1)分別求出該地區(qū)在9月10日和9月11日這兩天的流感病毒的新感染者人數(shù); (2)該地區(qū)9月份(共30天)該病毒新感染者共有多少人? 【解析】(1)由題意知,該地區(qū)9月份前10天流感病毒的新感染者的人數(shù)構成一個首項為40,公差為40的等差數(shù)列. 所以9月10日的新感染者人數(shù)為40+(10-1)40=400(人). 所以9月11日的新感染者人數(shù)為400-10=390(人). (2)9月份前10天的新感染者人數(shù)和為S10==2 200(人), 9月份后20天流感病毒的新感染者的人數(shù),構成一個首項為390,公差為-10的等差數(shù)列. 所以后20天新感染者的人數(shù)和為T20=20390+(-10)=5 900(人). 所以該地區(qū)9月份流感病毒的新感染者共有2 200+5 900=8 100(人). 【變式訓練3】設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S4≥10,S5≤15,則a4的最大值為 【解析】因為等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且S4≥10,S5≤15, 所以≤a4≤3+d,即5+3d≤6+2d,所以d≤1, 所以a4≤3+d≤3+1=4,故a4的最大值為4. 總結提高 1.在熟練應用基本公式的同時,還要會用變通的公式,如在等差數(shù)列中,am=an+(m-n)d. 2.在五個量a1、d、n、an、Sn中,知其中的三個量可求出其余兩個量,要求選用公式要恰當,即善于減少運算量,達到快速、準確的目的. 3.已知三個或四個數(shù)成等差數(shù)列這類問題,要善于設元,目的仍在于減少運算量,如三個數(shù)成等差數(shù)列時,除了設a,a+d,a+2d外,還可設a-d,a,a+d;四個數(shù)成等差數(shù)列時,可設為a-3m,a-m,a+m,a+3m. 4.在求解數(shù)列問題時,要注意函數(shù)思想、方程思想、消元及整體消元的方法的應用.- 配套講稿:
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