2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1.1 正弦定理學(xué)案 新人教A版必修5.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1.1 正弦定理學(xué)案 新人教A版必修5 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 掌握正弦定理的內(nèi)容； 2. 掌握正弦定理的證明方法； 3. 會運用正弦定理解斜三角形的兩類基本問題． 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備 試驗：固定ABC的邊CB及B，使邊AC繞著頂點C轉(zhuǎn)動． 思考：C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 顯然，邊AB的長度隨著其對角C的大小的增大而 ．能否用一個等式把這種關(guān)系精確地表示出來？ 二、新課導(dǎo)學(xué) ※ 學(xué)習(xí)探究 探究1：在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系. 如圖，在RtABC中，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c， 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義， 有，，又， 從而在直角三角形ABC中，． ( 探究2：那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？ 可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況： 當(dāng)ABC是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義， 有CD=，則， 同理可得， 從而． 類似可推出，當(dāng)ABC是鈍角三角形時，以上關(guān)系式仍然成立．請你試試導(dǎo). 新知：正弦定理 在一個三角形中，各邊和它所對角的 的比相等，即 ． 試試： （1）在中，一定成立的等式是（ ）． A． B. C. D. （2）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30，則∠B等于 ． [理解定理] （1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使， ，； （2）等價于 ，，． （3）正弦定理的基本作用為： ①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如； ． ②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值， 如； ． （4）一般地，已知三角形的某些邊和角，求其它的邊和角的過程叫作解三角形． ※ 典型例題 例1. 在中，已知，，cm，解三角形． 變式：在中，已知，，cm，解三角形． 例2. 在． 變式：在． 三、總結(jié)提升 ※ 學(xué)習(xí)小結(jié) 1. 正弦定理： 2. 正弦定理的證明方法：①三角函數(shù)的定義， 還有 ②等積法，③外接圓法，④向量法. 3．應(yīng)用正弦定理解三角形： ①已知兩角和一邊； ②已知兩邊和其中一邊的對角． ※ 知識拓展 ，其中為外接圓直徑. 學(xué)習(xí)評價 ※ 自我評價 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差 ※ 當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計分： 1. 在中，若，則是（ ）. A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等邊三角形 2. 已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4， 則a∶b∶c等于（ ）. A．1∶1∶4 B．1∶1∶2 C．1∶1∶ D．2∶2∶ 3. 在△ABC中，若，則與的大小關(guān)系為（ ）. A. B. C. ≥ D. 、的大小關(guān)系不能確定 4. 已知ABC中，，則= ． 5. 已知ABC中，A，，則 = ． 課后作業(yè) 1. 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30，∠B＝，解此三角形． 2. 已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k (k≠0)，求實數(shù)k的取值范圍為． 1.1.2 余弦定理 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 掌握余弦定理的兩種表示形式； 2. 證明余弦定理的向量方法； 3. 運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題． 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備 復(fù)習(xí)1：在一個三角形中，各 和它所對角的 的 相等，即 = = ． 復(fù)習(xí)2：在△ABC中，已知，A=45，C=30，解此三角形． 思考：已知兩邊及夾角，如何解此三角形呢？ 二、新課導(dǎo)學(xué) ※ 探究新知 問題：在中，、、的長分別為、、. ∵ ， ∴ 同理可得： ， ． 新知：余弦定理：三角形中任何一邊的 等于其他兩邊的 的和減去這兩邊與它們的夾角的 的積的兩倍． 思考：這個式子中有幾個量？ 從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三邊求出一角？ 從余弦定理，又可得到以下推論： ， ， ． [理解定理] （1）若C=，則 ，這時 由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例． （2）余弦定理及其推論的基本作用為： ①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊； ②已知三角形的三條邊就可以求出其它角． 試試： （1）△ABC中，，，，求． （2）△ABC中，，，，求． ※ 典型例題 例1. 在△ABC中，已知，，，求和． 變式：在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cosC＝，則BC＝________． 例2. 在△ABC中，已知三邊長，，，求三角形的最大內(nèi)角． 變式：在ABC中，若，求角A． 三、總結(jié)提升 ※ 學(xué)習(xí)小結(jié) 1. 余弦定理是任何三角形中邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例； 2. 余弦定理的應(yīng)用范圍： ① 已知三邊，求三角； ② 已知兩邊及它們的夾角，求第三邊． ※ 知識拓展 在△ABC中， 若，則角是直角； 若，則角是鈍角； 若，則角是銳角． 學(xué)習(xí)評價 ※ 自我評價 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差 ※ 當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計分： 1. 已知a＝，c＝2，B＝150，則邊b的長為（ ）. A. B. C. D. 2. 已知三角形的三邊長分別為3、5、7，則最大角為（ ）. A． B． C． D． 3. 已知銳角三角形的邊長分別為2、3、x，則x的取值范圍是（ ）. A． B．＜x＜5 C． 2＜x＜ D．＜x＜5 4. 在△ABC中，||＝3，||＝2，與的夾角為60，則|－|＝________． 5. 在△ABC中，已知三邊a、b、c滿足 ，則∠C等于 ． 課后作業(yè) 1. 在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝，求最大角的余弦值． 2. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求的值. 1.1 正弦定理和余弦定理（練習(xí)） 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 進(jìn)一步熟悉正、余弦定理內(nèi)容； 2. 掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形． 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備 復(fù)習(xí)1：在解三角形時 已知三邊求角，用 定理； 已知兩邊和夾角，求第三邊，用 定理； 已知兩角和一邊，用 定理． 復(fù)習(xí)2：在△ABC中，已知 A＝，a＝25，b＝50，解此三角形． 二、新課導(dǎo)學(xué) ※ 學(xué)習(xí)探究 探究：在△ABC中，已知下列條件，解三角形. ① A＝，a＝25，b＝50； ② A＝，a＝，b＝50； ③ A＝，a＝50，b＝50. 思考：解的個數(shù)情況為何會發(fā)生變化？ 新知：用如下圖示分析解的情況（A為銳角時）． 試試： 1. 用圖示分析（A為直角時）解的情況？ 2．用圖示分析（A為鈍角時）解的情況？ ※ 典型例題 例1. 在ABC中，已知，，，試判斷此三角形的解的情況． 變式：在ABC中，若，，，則符合題意的b的值有_____個． 例2. 在ABC中，，，，求的值． 變式：在ABC中，若，，且，求角C． 三、總結(jié)提升 ※ 學(xué)習(xí)小結(jié) 1. 已知三角形兩邊及其夾角（用余弦定理解決）； 2. 已知三角形三邊問題（用余弦定理解決）； 3. 已知三角形兩角和一邊問題（用正弦定理解決）； 4. 已知三角形兩邊和其中一邊的對角問題（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、兩解和無解三種情況）． ※ 知識拓展 在ABC中，已知，討論三角形解的情況 ：①當(dāng)A為鈍角或直角時，必須才能有且只有一解；否則無解； ②當(dāng)A為銳角時， 如果≥，那么只有一解； 如果，那么可以分下面三種情況來討論： （1）若，則有兩解； （2）若，則只有一解； （3）若，則無解． 學(xué)習(xí)評價 ※ 自我評價 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差 ※ 當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計分： 1. 已知a、b為△ABC的邊，A、B分別是a、b的對角，且，則的值=（ ）. A. B. C. D. 2. 已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么這個三角形的最大角是（ ）. A．135 B．90 C．120 D．150 3. 如果將直角三角形三邊增加同樣的長度，則新三角形形狀為（ ）. A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．由增加長度決定 4. 在△ABC中，sinA:sinB:sinC＝4:5:6，則cosB＝ ． 5. 已知△ABC中，，試判斷△ABC的形狀 ． 課后作業(yè) 1. 在ABC中，，，，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值范圍． 2. 在ABC中，其三邊分別為a、b、c，且滿足，求角C． 1.2應(yīng)用舉例—①測量距離 學(xué)習(xí)目標(biāo) 能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)測量距離的實際問題 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備 復(fù)習(xí)1：在△ABC中，∠C＝60，a＋b＝，c＝2，則∠A為 . 復(fù)習(xí)2：在△ABC中，sinA＝，判斷三角形的形狀. 二、新課導(dǎo)學(xué) ※ 典型例題 例1. 如圖，設(shè)A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離是55m，BAC=，ACB=. 求A、B兩點的距離(精確到0.1m). 提問1：ABC中，根據(jù)已知的邊和對應(yīng)角，運用哪個定理比較適當(dāng)？ 提問2：運用該定理解題還需要那些邊和角呢？ 分析：這是一道關(guān)于測量從一個可到達(dá)的點到一個不可到達(dá)的點之間的距離的問題 題目條件告訴了邊AB的對角，AC為已知邊， 再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個已知角算出AC的對角， 應(yīng)用正弦定理算出AB邊. 新知1：基線 在測量上，根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的 叫基線. 例2. 如圖，A、B兩點都在河的對岸（不可到達(dá)），設(shè)計一種測量A、B兩點間距離的方法. 分析：這是例1的變式題，研究的是兩個 的點之間的距離測量問題. 首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定C、D兩點. 根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC， 再利用余弦定理可以計算出AB的距離. 變式：若在河岸選取相距40米的C、D兩點，測得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA =60. 練：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東30，燈塔B在觀察站C南偏東60，則A、B之間的距離為多少？ 三、總結(jié)提升 ※ 學(xué)習(xí)小結(jié) 1. 解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟： （1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖 （2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型； （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解 （4）檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解. 2．基線的選?。? 測量過程中，要根據(jù)需要選取合適的基線長度，使測量具有較高的精確度. 學(xué)習(xí)評價 ※ 自我評價 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差 ※ 當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計分： P A C 1. 水平地面上有一個球，現(xiàn)用如下方法測量球的大小，用銳角的等腰直角三角板的斜邊緊靠球面，P為切點，一條直角邊AC緊靠地面，并使三角板與地面垂直，如果測得PA=5cm，則球的半徑等于（ ）. A．5cm B． C． D．6cm 2. 臺風(fēng)中心從A地以每小時20千米的速度向東北方向移動，離臺風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間為（ ）. A．0.5小時 B．1小時 C．1.5小時 D．2小時 3. 在中，已知， 則的形狀（ ）. A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 4.在中，已知，，，則的值是 ． 5. 一船以每小時15km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔B在北偏東，行駛４h后，船到達(dá)C處，看到這個燈塔在北偏東，這時船與燈塔的距離為 km． 課后作業(yè) 1. 隔河可以看到兩個目標(biāo)，但不能到達(dá)，在岸邊選取相距km的C、D兩點，并測得∠ACB＝75，∠BCD＝45，∠ADC＝30，∠ADB＝45，A、B、C、D在同一個平面，求兩目標(biāo)A、B間的距離. 2. 某船在海面A處測得燈塔C與A相距海里，且在北偏東方向；測得燈塔B與A相距海里，且在北偏西方向. 船由向正北方向航行到D處，測得燈塔B在南偏西方向. 這時燈塔C與D相距多少海里？ 1.2應(yīng)用舉例—②測量高度 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)底部不可到達(dá)的物體高度測量的問題； 2. 測量中的有關(guān)名稱. 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備 復(fù)習(xí)1：在ABC中，，則ABC的形狀是怎樣？ 復(fù)習(xí)2：在ABC中，、b、c分別為A、B、C的對邊，若=1:1:，求A:B:C的值. 二、新課導(dǎo)學(xué) ※ 學(xué)習(xí)探究 新知：坡度、仰角、俯角、方位角 方位角---從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平轉(zhuǎn)角 ； 坡度---沿余坡向上的方向與水平方向的夾角； 仰角與俯角---視線與水平線的夾角當(dāng)視線在水平線之上時，稱為仰角；當(dāng)視線在水平線之下時，稱為俯角. 探究：AB是底部B不可到達(dá)的一個建筑物，A為建筑物的最高點，設(shè)計一種測量建筑物高度AB的方法. 分析：選擇基線HG，使H、G、B三點共線， 要求AB，先求AE 在中，可測得角 ，關(guān)鍵求AC 在中，可測得角 ，線段 ，又有 故可求得AC ※ 典型例題 例1. 如圖，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角=54，在塔底C處測得A處的俯角=50. 已知鐵塔BC部分的高為27.3 m，求出山高CD(精確到1 m) 例2. 如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛，到A處時測得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在東偏南15的方向上，行駛5km后到達(dá)B處，測得此山頂在東偏南25的方向上，仰角為8，求此山的高度CD. 問題1： 欲求出CD，思考在哪個三角形中研究比較適合呢？ 問題2： 在BCD中，已知BD或BC都可求出CD，根據(jù)條件，易計算出哪條邊的長？ 變式：某人在山頂觀察到地面上有相距2500米的A、B兩個目標(biāo)，測得目標(biāo)A在南偏西57，俯角是60，測得目標(biāo)B在南偏東78，俯角是45，試求山高. 三、總結(jié)提升 ※ 學(xué)習(xí)小結(jié) 利用正弦定理和余弦定理來解題時，要學(xué)會審題及根據(jù)題意畫方位圖，要懂得從所給的背景資料中進(jìn)行加工、抽取主要因素，進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮喕? ※ 知識拓展 在湖面上高h(yuǎn)處，測得云之仰角為，湖中云之影的俯角為，則云高為. 學(xué)習(xí)評價 ※ 自我評價 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差 ※ 當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計分： 1. 在ABC中，下列關(guān)系中一定成立的是（ ）. A． B． C． D． 2. 在ABC中，AB=3，BC=，AC=4，則邊AC上的高為（ ）. A． B． C． D． 3. D、C、B在地面同一直線上，DC=100米，從D、C兩地測得A的仰角分別為和，則A點離地面的高AB等于（ ）米． A．100 B． C．50 D．50 4. 在地面上點，測得一塔塔頂和塔基的仰角分別是和，已知塔基高出地面，則塔身的高為_________． 5. 在ABC中，，，且三角形有兩解，則A的取值范圍是 ． 課后作業(yè) 1. 為測某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20m的樓的樓頂處測得塔頂A的仰角為30，測得塔基B的俯角為45，則塔AB的高度為多少m？ 2. 在平地上有A、B兩點，A在山的正東，B在山的東南，且在A的南25西300米的地方，在A側(cè)山頂?shù)难鼋鞘?0，求山高. 1.2應(yīng)用舉例—③測量角度 學(xué)習(xí)目標(biāo) 能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關(guān)計算角度的實際問題. 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備 復(fù)習(xí)1：在中，已知，，且，求. 復(fù)習(xí)2：設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A=，，求的值. 二、新課導(dǎo)學(xué) ※ 典型例題 例1. 如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行67.5 n mile后到達(dá)海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東32的方向航行54.0 n mile后達(dá)到海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C，此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行，需要航行多少距離?(角度精確到0.1，距離精確到0.01n mile) 分析： 首先由三角形的內(nèi)角和定理求出角ABC， 然后用余弦定理算出AC邊， 再根據(jù)正弦定理算出AC邊和AB邊的夾角CAB. 例2. 某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75的方向以10海里/小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/小時的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追？需要多少時間才追趕上該走私船？ ※ 動手試試 練1. 甲、乙兩船同時從B點出發(fā)，甲船以每小時10(＋1)km的速度向正東航行，乙船以每小時20km的速度沿南60東的方向航行，1小時后甲、乙兩船分別到達(dá)A、C兩點，求A、C兩點的距離，以及在A點觀察C點的方向角. 練2. 某漁輪在A處測得在北45的C處有一魚群，離漁輪9海里，并發(fā)現(xiàn)魚群正沿南75東的方向以每小時10海里的速度游去，漁輪立即以每小時14海里的速度沿著直線方向追捕，問漁輪應(yīng)沿什么方向，需幾小時才能追上魚群？ 三、總結(jié)提升 ※ 學(xué)習(xí)小結(jié) 1. 已知量與未知量全部集中在一個三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.； 2．已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形，這時需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解. ※ 知識拓展 已知ABC的三邊長均為有理數(shù)，A=，B=，則是有理數(shù)，還是無理數(shù)？ 因為，由余弦定理知 為有理數(shù)， 所以為有理數(shù). 學(xué)習(xí)評價 ※ 自我評價 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差 ※ 當(dāng)堂檢測（時量：5分鐘 滿分：10分）計分： 1. 從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關(guān)系為（ ）. A． B．= C．+= D．+= 2. 已知兩線段，，若以、為邊作三角形，則邊所對的角A的取值范圍是（ ）. A． B． C． D． 3. 關(guān)于的方程有相等實根，且A、B、C是的三個內(nèi)角，則三角形的三邊滿足（ ）. A． B． C． D． 4. △ABC中，已知a:b:c=(+1) :(-1): ，則此三角形中最大角的度數(shù)為 . 5. 在三角形中，已知:A，a，b給出下列說法: (1)若A≥90，且a≤b，則此三角形不存在 (2)若A≥90，則此三角形最多有一解 (3)若A＜90，且a=bsinA，則此三角形為直角三角形，且B=90 (4)當(dāng)A＜90，a下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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